Ecuación diferencial

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Visualización de transferencia de calor en una cámara de una bomba, creada resolviendo la ecuación de calor. El calor se genera internamente en la cámara y es refrigerada en los bordes, dando un estado estacionario de distribución de temperatura.

Una ecuación diferencial es una ecuación matemática que relaciona una función con sus derivadas. En las aplicaciones, las funciones usualmente representan cantidades físicas, las derivadas representan sus razones de cambio, y la ecuación define la relación entre ellas. Como estas relaciones son muy comunes, las ecuaciones diferenciales juegan un rol primordial en muchas disciplinas, incluyendo la ingeniería, física, economía, y biología.

En matemáticas puras, las ecuaciones diferenciales se estudian desde perspectivas diferentes, la mayoría concernientes con el conjunto de soluciones de funciones que satisfacen la ecuación. Solo las ecuaciones diferenciales más simples se pueden resolver mediante fórmulas explícitas; sin embargo, pueden determinarse algunas propiedades de las soluciones de una cierta ecuación diferencial sin hallar su forma exacta.

Si la solución exacta no puede hallarse, esta puede obtenerse numéricamente, mediante una aproximación usando computadoras. La teoría de sistemas dinámicos hace énfasis en el análisis cualitativo de los sistemas descriptos por ecuaciones diferenciales, mientras que muchos métodos numéricos han sido desarrollados para determinar soluciones con cierto grado de exactitud.

Historia[editar]

Las ecuaciones diferenciales aparecieron por primera vez en los trabajos de cálculo de Newton y Leibniz. En 1671, el Capítulo 2 de su trabajo "Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum",[1] Isaac Newton hizo una lista de tres clases de ecuaciones diferenciales:

\frac {dy}{dx} = f(x)
\frac {dy}{dx} = f(x,y)
x_1 \frac {\partial y}{\partial x_1} + x_2 \frac {\partial y}{\partial x_2} = y

Resolvió estos ecuaciones y otrass usando series infinitas y discutió la no unicidad de las soluciones.

Jacob Bernoulli propuso la ecuación diferencial de Bernoulli en 1695.[2] Esta es una ecuación diferencial ordinaria de la forma

y'+ P(x)y = Q(x)y^n\,

para que luego, en los siguientes años, Leibniz obtuvo sus soluciones mediante simplificaciones.[3]

Históricamente, el problema de una cuerda vibrante tal como la de un instrumento musical, fue estudiado por Jean le Rond d'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli, y Joseph-Louis Lagrange.[4] [5] [6] [7] En 1746, d’Alembert descubrió la ecuación de onda unidimensional, y en diez siguientes Euler descubrió la ecuación de onda tridimensional.[8]

Las ecuaciones de Euler-Lagrange fueron desarrolladas en la década de 1750 por Euler y Lagrange en relación con sus estudios del problema de la tautócrona. Este es el problema de determinar una curva en la cual una partícula con peso caerá en un punto fijo en cierta cantidad fija de tiempo, independiente del punto de partida.

Lagrange resolvió este problema en 1755 y envió la solución a Euler. Ambos desarrollaron el método de Lagrange y lo aplicaron a la mecánica, lo que los condujo a la mecánica Lagrangiana.

Fourier publicó su trabajo de transferencia de calor en Théorie analytique de la chaleur (Teoría analítica del calor),[9] en la que basó su razonamiento en la ley de Newton de refrigeración, esto es, que la transferencia de calor entre dos moléculas adyacentes es proporcional a diferencias extremadamente pequeñas de sus temperaturas. En este libro Fourier expone la ecuación del calor para la difusión conductiva del calor. Esta ecuación diferencial parcial es actualmente objeto de estudio en la física matemática.

Las ecuaciones diferenciales estocásticas, que amplian tanto la teoría de las ecuaciones diferenciales como la teoría de la probabilidad, fueron introducidas con un tratamiento riguroso por Kiyoshi Itō y Ruslan Stratonovich durante los años 1940 y 1950.

Tipos[editar]

Las ecuaciones diferenciale pueden dividirse en varios tipos. Aparte de describir las propiedades de la ecuación en si, las clases de ecuaciones diferenciales pueden ayudar a buscar la elección de la aproximación a una solución. es muy común que estas distinciones incluyan si la ecuación es: Ordinaria/Parcial, Lineal/No lineal, y Homogénea/Inhomogénea. Esta lista es demasiado grande; hay muchas otras propiedades y subclases de ecuaciones diferenciales las cuales pueden ser muy útiles en contextos específicos.

Ecuaciones diferenciales ordinarias[editar]

Una ecuación diferencial ordinaria (EDO) es una ecuación que contiene una función de una variable independiente y sus derivadas. El término "ordinaria" se usa en contraste con la ecuación diferencial parcial la cual puede ser respecto a más de una variable independiente.

Las ecuaciones diferenciales lineales, las cuales tienen soluciones que pueden sumarse y ser multiplicadas por coeficientes, están bien definidas y comprendidas, y tienen soluciones exactas que peuden hallarse. En contraste, las EDOs cuyas soluciones no pueden sumarse son no lineales, y su solución es mas intricada, y muy pocas veces pueden hallarse en forma exacta de funciones elementales: las soluciones suelen obtenerse en forma de series o forma integral. Los métodos numéricos y gráficos para EDOs, pueden realizarse manualmente o mediante computadoras, se pueden aproximar las soluciones de las EDOs y su resultado puede ser muy útil, muchas veces suficientes como para prescindir de la solución exacta y analítica.

Ecuaciones diferenciales parciales[editar]

Una ecuación diferencial parcial (EDP) es una ecuación diferencial que contiene una función multicariabley sus derivadas parciales. Estas ecuaciones estas funciones se utilizan para formular problemas que involucran funciones de varias variables, y pueden resolverse manualmente, usarse para crear una simulación por computadora.

Las EDPs usarse para describir una amplia variedad de fenómenos tal como el sonido, el calor, electroestática, electrodinámica, fluidodinámica, elasticidad, o mecánica cuántica. Estos distintos fenómenos físicos pueden formalizarse en términos de EDPs. Con ecuadiones diferenciales ordinarias es muy común realizar modelos unidimensionales de sistemas dinámicos, las ecuaciones diferenciales parciales se utilizan para modelos de sistemas multidimensionales. Las EDPs tienen us generalización en las ecuaciones diferenciales parciales estocásticas.

Ecuaciones diferenciales lineales[editar]

Una ecuación diferencial es lineal si la función desconocida y sus derivadas que aparecen son de potencia 1 (no se permiten los productos de la función desconocida y sus derivadas). La propiedad característica de las ecuaciones lineales es que sus soluciones tienen la forma de un subespacio afín de un espacio de soluciones apropiados, cuyo resultado se desarrolla en la teoría de ecuiaciones diferenciales lineales.

Las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas son una subclase de las ecuaciones diferenciales lineales para la cual el espacio de soluciones es un subespacio lineal, es decir, la suma de cualquier conjunto de soluciones o múltiplos de soluciones, es también una solución. Los coeficientes de la función desconocida, y sus derivadas en una ecuación diferencial lineal pueden ser funciones de la variable o variables independientes, si estos coeficientes son constantes, entonces se habla de ecuaciones diferenciales lineales a coeficientes constantes.

Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma \, a_n(x)y^{(n)} + a_{n-1}(x) y^{(n-1)} + \dots + a_1(x)y' +a_0(x)y=g(x), es decir:

  • Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero.
  • En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo interviene la variable independiente.
  • Una combinación lineal de sus soluciones es también solución de la ecuación.

Ejemplos:

  • \,y'= y es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden, tiene como soluciones y = f(x) =  k \cdot e^x , con k un número real cualquiera.
  • \,y'' + y = 0 es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones y = f(x) = a \cos (x) + b  \sin (x)\,, con a y b reales.
  • \,y'' - y = 0 es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones \,a \cdot e^x+b \cdot 1/(e^x), con a y b reales.

Ecuaciones diferenciales no lineales[editar]

Existen my pocos métodos para resolver ecuaciones diferenciales no lineales en forma exacta; aquellas de se conocen es muy común que dependan de la ecuación teniendo simetrías particulares. Las ecuaciones diferenciales no lineales pueden exhibir un comportamiento muy complicado en intervalos grandes de tiempo, característica del caos. Cada una de las cuestiones fundamentales de la existencia, unicidad, y extendibilidad de las soluciones para ecuaciones diferenciales no lineales, y el problema bien definido de los problemas de condiciones iniciales y de controno para EDPs no lineales son problemas difíciles y su resolución en casos especiales se considera que es un avance significativo en la teoría matemática (por ejemplo la existencia y suavidad de Navier-Stokes). Sin embargo, si la ecuación diferencial es una representación de un proceso físico significativo formulado correctamente, entonces se espera tener una solución. [10]

Ecuaciones diferenciales lineales suelen aparecer por medio de aproximaciones a ecuaciones lineales. Estas aproximaciones son válidas únicamente bajo condiciones restringidas. Por ejemplo, la ecuación del oscilador armónico es una aproximación de la ecuación no lineal de un péndulo que es válida para pequeñas amplitudes de oscilación (ver más adelante).

Ecuaciones semilineales y cuasilineales[editar]

No existe un procedimiento general para resolver ecuaciones diferenciales no lineales. Sin embargo, algunos casos particulares de no linealidad sí pueden ser resueltos. Son de interés el caso semilineal y el caso cuasilineal.

Una ecuación diferencial ordinaria de orden n se llama cuasilineal si es "lineal" en la derivada de orden n. Más específicamente, si la ecuación diferencial ordinaria para la función \scriptstyle y(x) puede escribirse en la forma:

f(y^{(n)},y^{(n-1)},\dots,y'',y',y,x)=0, \qquad \qquad
f_1(z):=f(z,\alpha_{n-1},\dots,\alpha_2,\alpha_1,\alpha_0,\beta_0)

Se dice que dicha ecuación es cuasilineal si \scriptstyle f_1(\cdot) es una función afín, es decir, \scriptstyle f_1(z) = az + b.

Una ecuación diferencial ordinaria de orden n se llama semilineal si puede escribirse como suma de una función "lineal" de la derivada de orden n más una función cualquiera del resto de derivadas. Formalmente, si la ecuación diferencial ordinaria para la función \scriptstyle y(x) puede escribirse en la forma:

f(y^{(n)},y^{(n-1)},\dots,y'',y',y,x)= \hat{f}(y^{(n)},x)+ g(y^{(n-1)},\dots,y',y,x) \qquad \qquad
f_2(z):= \hat{f}(z,\beta_0)

Se dice que dicha ecuación es semilineal si \scriptstyle f_2(\cdot) es una función lineal.

Orden de la ecuación[editar]

Las ecuaciones diferenciales se describen por su orden, determinado por el término con mayor número de derivadas. Una ecuación que contiene solo derivadas simpler es una ecuación diferencial de primer orden, una ecuación que contiene hasta segundas derivadas es unaecuación diferencial de segundo orden, y así sucesivamente.[11] [12]

Ejemplos de orden en ecuaciones:

Primer orden: y' + y(x) = f(x)
Segundo orden: y''+ 4y =0
tercer orden: xy''' - 2xy'' + 4y' = 0

Grado de la ecuación[editar]

Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación esté en forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.

Ejemplos[editar]

En el primer grupo de ejemplos, sea u una función desconocida que depende de x, y c y ω son constantes conocidas. Observar que tanto las ecuaciones diferenciales ordinarias como parciales pueden clasificarse como lineal y no lineal.

  • Ecuación diferencial ordinaria lineal a coeficientes constantes de primer orden:
 \frac{du}{dx} = cu+x^2.
  • Ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea de segundo orden:
 \frac{d^2u}{dx^2} - x\frac{du}{dx} + u = 0.
  • Ecuación diferencial ordinaria lineal a coeficientes constantes homogénea de segundo orden que describe un oscilador armónico:
 \frac{d^2u}{dx^2} + \omega^2u = 0.
  • Ecuación diferencial ordinaria no lineal inhomogénea de primer orden:
 \frac{du}{dx} = u^2 + 4.
  • Ecuación diferencial ordinaria no lineal (debido a la función seno) de segundo orden, que describe el movimiento de un péndulo de longitud L:
 L\frac{d^2u}{dx^2} + g\sin u = 0.


En el siguiente grupo de ejemplos, la función desconocida u depende de dos variables x y t o x e y.

  • Ecuación diferencial parcial lineal homogénea de primer orden:
 \frac{\partial u}{\partial t} + t\frac{\partial u}{\partial x} = 0.
  • Ecuación diferencial parcial lineal homogénea a coeficientes constantes de segundo orden del tipo elíptico, la ecuación de Laplace:
 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0.
 \frac{\partial u}{\partial t} = 6u\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial^3 u}{\partial x^3}.

Solución de una ecuación diferencial[editar]

Existencia de soluciones[editar]

La resolución de ecuaciones diferenciales no es como aquellas resoluciones de las ecuaciones algebraicas. No solo sus soluciones en ocasiones son poco claras, pero si las soluciones son únicas o existen también son de objeto de interés.

Para problemas de primer orden con condiciones iniciales, el teorema de existencia de Peano nos da un conjunto de circunstancias en la cual la solución existe. Para cualquier punto dado (a,b) en el plano xy, y definida una región rectangular Z, tal que Z = [l,m]\times[n,p] y (a,b) está en el interior de Z. Si tenemos una ecuación diferencial \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = g(x,y) y la condición que y=b cuando x=a, entonces hay una solución local a este problema si g(x,y) y \frac{\partial g}{\partial x} son ambas continuas en Z. La solución existe en algún intervalo con su centro en a. La solución puede no ser única. (Ver Ecuación diferencial ordinaria para otros resultados.)

Sin embargo, esto solo nos ayuda con problemas de primer orden con condiciones iniciales. supongamos que tenemos un problema lineal con condiciones iniciales de orden enésimo:


f_{n}(x)\frac{\mathrm{d}^n y}{\mathrm{d}x^n} + \cdots + f_{1}(x)\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d}x} + f_{0}(x)y = g(x)

tal que


y(x_{0})=y_{0}, y'(x_{0}) = y'_{0}, y''(x_{0}) = y''_{0}, \cdots

Para cualquier f_{n}(x) no nulo, si \{f_{0},f_{1},\cdots\} y g son continuos sobre algún intervalo conteniendo x_{0}, y es único y existe.[13]

Tipos de soluciones[editar]

Una solución de una ecuación diferencial es una función que al reemplazar a la función incógnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación, es decir, la convierte en una identidad. Hay tres tipos de soluciones:

Solución general[editar]

La solución general es una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes. Es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc). En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinación lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no dependiente de y(x) ni de sus derivadas igual a 0) más una solución particular de la ecuación completa.

Solución particular[editar]

Si fijando cualquier punto P(X_0,Y_0) por donde debe pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuación, éste recibirá el nombre de solución particular de la ecuación en el punto P(X_0,Y_0), que recibe el nombre de condición inicial.

Es un caso particular de la solución general, en donde la constante (o constantes) recibe un valor específico.

Solución singular[editar]

La solución singular es una función que verifica la ecuación, pero que no se obtiene particularizando la solución general. Es solución de la ecuación no consistente en una particular de la general.

Observaciones sobre las soluciones[editar]

Sea la ecuación diferencial ordinaria de orden n f(y^{(n)},y^{(n-1)},\dots,y'',y',y,x)=0,, es fácil verificar que la función y= f(x) es su solución. Basta calcular sus derivadas de f(x), luego reemplazarlas en la ecuación , junto con f(x) y probar que se obtiene una identidad en x.

Las soluciones de E.D.O. se presentanen forma de funciones implícitamente definidas, y a veces imposibles de expresar de manera explícita. Por ejemplo[14]

 xy = \log y +c

que es solución de

 \frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{y^2}{1-xy}

La más simple de todas las ecuación es \text{d}y/\text{d}x = f(x) cuya solución es  y = \int{f(x)\ \text{d}x} +c En algunos casos es posible resolver por métodos elmentales del cálculo. Sin embargo, en otros casos, la solución analítica requiere técnicas de variable compleja o más sofisticadas como sucede con las integrales:

 y = \int{\exp(x^2)\ \text{d}x} y en la integral  y = \int{\frac{\sin x}{x}\ \text{d}x}

no puede estructurase mediante un número finito de funciones elementales.[15]

Aplicaciones[editar]

Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de la ingeniería para el modelado de fenómenos físicos. Su uso es común tanto en ciencias aplicadas, como en ciencias fundamentales (física, química, biología) o matemáticas, como en economía.

En dinámica estructural, la ecuación diferencial que define el movimiento de una estructura es:

\mathbf{Mx}''(t)+ \mathbf{Cx}'(t)+\mathbf{Kx}(t)=\mathbf{P}(t) \,

Donde M es la matriz que describe la masa de la estructura, C es la matriz que describe el amortiguamiento de la estructura, K es la matriz de rigidez que describe la rigidez de la estructura, x es vector de desplazamientos [nodales] de la estructura, P es el vector de fuerzas (nodales equivalentes), y t indica tiempo. Esta es una ecuación de segundo orden debido a que se tiene el desplazamiento x y su primera y segunda derivada con respecto al tiempo.

La vibración de una cuerda está descrita por la siguiente ecuación diferencial en derivadas parciales de segundo orden:

{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c^2 {\partial^2 u \over \partial x^2 },

donde t\, es el tiempo y x\, es la coordenada del punto sobre la cuerda y c\, una constante que corresponde a la velocidad de propagación de dicha onda. A esta ecuación se le llama ecuación de onda.

Resolución de algunas ecuaciones[editar]

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Newton, Isaac. (c.1671). Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum (The Method of Fluxions and Infinite Series), published in 1736 [Opuscula, 1744, Vol. I. p. 66].
  2. Bernoulli, Jacob (1695), «Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis», Acta Eruditorum 
  3. Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56670-0 
  4. Cannon, John T.; Dostrovsky, Sigalia (1981). The evolution of dynamics, vibration theory from 1687 to 1742. Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences 6. New York: Springer-Verlag. pp. ix + 184 pp. ISBN 0-3879-0626-6.  GRAY, JW (July 1983). «BOOK REVIEWS». BULLETIN (New Series) OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY 9 (1).  (retrieved 13 Nov 2012).
  5. Wheeler, Gerard F.; Crummett, William P. (1987). «The Vibrating String Controversy». Am. J. Phys. 55 (1): 33–37. Bibcode:1987AmJPh..55...33W. doi:10.1119/1.15311. 
  6. Por una colección especial de 9 trabajos básicos de estos autores, ver First Appearance of the wave equation: D'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli. - the controversy about vibrating strings (retrieved 13 Nov 2012). Herman HJ Lynge and Son.
  7. Por las contribuciones de Lagrange a las ecuaciones de ondas acústicas, consultar Acoustics: An Introduction to Its Physical Principles and Applications Allan D. Pierce, Acoustical Soc of America, 1989; page 18.(retrieved 9 Dec 2012)
  8. Speiser, David. Discovering the Principles of Mechanics 1600-1800, p. 191 (Basel: Birkhäuser, 2008).
  9. Fourier, Joseph (1822). Théorie analytique de la chaleur (en french). Paris: Firmin Didot Père et Fils. OCLC 2688081. 
  10. Boyce, William E.; DiPrima, Richard C. (1967). Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (4th edición). John Wiley & Sons. p. 3. 
  11. Weisstein, Eric W. "Ordinary Differential Equation Order." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/OrdinaryDifferentialEquationOrder.html
  12. Order and degree of a differential equation, accessed Dec 2015.
  13. Zill, Dennis G. A First Course in Differential Equations (5th edición). Brooks/Cole. ISBN 0-534-37388-7. 
  14. Simmons. Ecuaciones diferenciales. Libros Mc Graw Hill
  15. Simmons. Op. cit.

Bibliografía[editar]

Enlaces externos[editar]