Ecuación diferencial estocástica

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Dos instancias de caminos brownianos geométricos, con diferentes parámetros que son soluciones de la ecuación diferencial escocástica lineal de Itō. La línea azul presenta un arrastre mayor, mientras que la línea verde presenta una mayor varianza.

Una ecuación diferencial estocástica (EDE) es una ecuación diferencial en la cual uno o más de sus términos es un proceso estocástico y cuya solución es también un proceso estocástico. Las ecuaciones diferenciales estocásticas se utilizan para modelar diversos fenómenos como los precios de las acciones. Usualmente, las ecuaciones diferenciales estocásticas tienen ruido blanco que puede ser interpretado como la derivada del movimiento browniano o del proceso de Wiener. Sin embargo, debe mencionarse que otro tipo de fluctuaciones aleatorias son posibles como el proceso de salto.

Introducción[editar]

El primer trabajo relacionado con las ecuaciones diferenciales estocásticas fue la descripción del movimiento browniano hecha por Albert Einstein (1905). Simultáneamente Marian Smoluchowski trabajó sobre el mismo tema. Sin embargo, otro de los primeros trabajos relacionados es el trabajo del Louis Bachelier (1900) en su tesis doctoral Teoría de la Especulación, dedicada a las fluctuaciones de títulos bursátiles. Este trabajo fue secundado por Paul Langevin y posteriormente Kiyoshi Itō y Ruslan L. Stratonovich formularon de manera rigurosa la noción de ecuación diferencial estocástica (EDS).

Terminología[editar]

En física, las ecuaciones diferenciales estocásticas (EDS) se escriben como ecuaciones de Langevin. Por eso a veces se denominan de manera algo confusa "ecuaciones de Langevin" aunque existen muchas formas alternativas. Estas formas incluyen ecuaciones diferenciales ordinarias que contienen una parte determinista junto a un término adcional aleatorio que es un ruido blanco. Una segunda forma es la ecuación de Smoluchowski o más en general ecuación de Fokker-Planck, estas últimas son ecuaciones en derivadas parciales que describen la evolución de la función de densidad de probabilidad asociada a la solución de la ecuación estocástica. La tercera forma es la que se usa con mayor frecuencia en matemática general y finanzas cuantiativas (ver más abajo). Esta forma es similar a la forma de Langevin, pero se escrie usualmente en forma diferencial. Las ecuaciones diferenciales estocásticas aparecen en dos variedades, correspondiéndose con las dos tipos de cálculo estocástico.

Cálculo estocástico[editar]

La teoría matemática del movimiento browniano y los procesos de Wiener dan lugar a un tipo de evolución matemática extremadamente compleja. Un proceso de Wiener en el espacio euclídeo da lugar a una curva continua que es casi con seguridad no diferenciable en ningún punto, por tanto, requiere definir sus propias reglas de cálculo. Existen dos formas diferentes de abordar el cálculo estocástico, el llamado cálculo estocástico de Itō y el cálculo estocástico de Stratonovich. Cada uno de los dos enfoques presenta ventajas y desventajas, y los neófitos frecuentemente experimentan dificultades sobre cual de las dos formas es más apropiadas para una determinada situación. Si bien existen algunas recomendaciones generales para la elección (e.g. Øksendal, 2003), siempre es posible convertir un problema en la forma de Itō en un problema equivalente en la forma de Stratonovich y viceversa. Aun así uno de be ser cuidadoso con el enfoque adecuado al escribir la ecuación diferencia estocástica de partida.

Soluciones numéricas[editar]

Las soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales, especialmente en el caso de ecuaciones diferenciales estocásticas en derivadas parciales es un área relativamente nueva. Casi todos los algoritmos que se usan para la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias funcionan inadecuadamente para las ecuaciones diferenciales estocásticas, presentando frecuentemente una convergencia muy mala. Un libro de texto estándar que ilustra varios de los algoritmos existentes es Kloeden & Platen (1995).

Entre los métodos numéricos usados están el método de Euler-Maruyama y el método de Runge-Kutta para EDE.

Ecuación diferencial de Itō[editar]

Uno de los primeros ejemplos históricos de ecuación diferencial es la ecuación diferencial de Itō propuesta en los años 1940. La ecuación involucra una variable aleatorio X_t cuyos incrementos con el tiempo vienen dados por una parte determinista más una parte aleatoria dada por un proceso de Wiener

 \mathrm{d} X_t = \mu(X_t,t)\, \mathrm{d} t +  \sigma(X_t,t)\, \mathrm{d}W_t ,

donde W_t es el proceso de Wiener (o movimiento browniano estandarizado). Esta ecuación debe ser interpretada como una expresión informal, que es rigurosa interpretable en forma de ecuación integral

 X_{t+s} - X_{t} = \int_t^{t+s} \mu(X_u,u) \mathrm{d} u + \int_t^{t+s} \sigma(X_u,u)\, \mathrm{d}W_u .

donde la última de las integrales es una integral de Itō, mientras que la primera es simplemente una integral de Riemann.

Existencia y unicidad de soluciones[editar]

Como en una ecuación diferencial ordinario o en derivadas parciales, es importante conocer si una determiada EDE tiene solución, y si es o no única. A continuación se presenta un teorema típico de existencia y unicidad para la EDE de Itō que toma valores en el espacio euclídeo de n dimensiones (Rn) y conducido por un movimiento browniano m-dimensional B; la demostración puede encontrarse en Øksendal (2003, §5.2).

Sea T > 0, y sea

\mu : \mathbb{R}^{n} \times [0, T] \to \mathbb{R}^{n};
\sigma : \mathbb{R}^{n} \times [0, T] \to \mathbb{R}^{n \times m};

una función medible para la cual existen constantes C y D tales que

\big| \mu (x, t) \big| + \big| \sigma (x, t) \big| \leq C \big( 1 + | x | \big);
\big| \mu (x, t) - \mu (y, t) \big| + \big| \sigma (x, t) - \sigma (y, t) \big| \leq D | x - y |;

para todo t ∈ [0, T] y todo x y y ∈ Rn, donde

| \sigma |^{2} = \sum_{i, j = 1}^{n} | \sigma_{ij} |^{2}.

Sea Z una variable aleatoria que es independiente de la σ-álgebra generada por Bs, s ≥ 0, y con varianza finita:

\mathbb{E} \big[ | Z |^{2} \big] < + \infty.

Entonces la ecuación diferencial estocástica o problema de valor inicial estocástico

\mathrm{d} X_{t} = \mu (X_{t}, t) \, \mathrm{d} t + \sigma (X_{t}, t) \, \mathrm{d} B_{t} \mbox{ for } t \in [0, T];
X_{0} = Z;

tiene una solución continua en t que es casi seguro única (t,\omega)\mapsto X_t(\omega) tal que X es un proceso adaptado a la filtración FtZ generada por Z y Bs, s ≤ t y además

\mathbb{E} \left[ \int_{0}^{T} | X_{t} |^{2} \, \mathrm{d} t \right] < + \infty.

Referencias[editar]

Bibliografía[editar]

  • Adomian, George (1983). Stochastic systems. Mathematics in Science and Engineering (169). Orlando, FL: Academic Press Inc. 
  • Adomian, George (1986). Nonlinear stochastic operator equations. Orlando, FL: Academic Press Inc. 
  • Adomian, George (1989). Nonlinear stochastic systems theory and applications to physics. Mathematics and its Applications (46). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group. 
  • Øksendal, Bernt K. (2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. Berlin: Springer. ISBN 3-540-04758-1. 
  • Teugels, J. and Sund B. (eds.) (2004). Encyclopedia of Actuarial Science. Chichester: Wiley. pp. 523–527. 
  • C. W. Gardiner (2004). Handbook of Stochastic Methods: for Physics, Chemistry and the Natural Sciences. Springer. p. 415. 
  • Thomas Mikosch (1998). Elementary Stochastic Calculus: with Finance in View. Singapore: World Scientific Publishing. p. 212. ISBN 981-02-3543-7. 
  • Seifedine Kadry, (2007). A Solution of Linear Stochastic Differential Equation. USA: WSEAS TRANSACTIONS on MATHEMATICS, April 2007. p. 618. ISSN 1109-2769. 
  • Bachelier, L., (1900). Théorie de la speculation (in French), PhD Thesis. NUMDAM: http://archive.numdam.org/ARCHIVE/ASENS/ASENS_1900_3_17_/ASENS_1900_3_17__21_0/ASENS_1900_3_17__21_0.pdf. In English in 1971 book 'The Random Character of the Stock Market' Eds. P.H. Cootner. 
  • P.E. Kloeden and E. Platen, (1995). Numerical Solution of Stochastic Differential Equations,. Springer,.