Ecuación diferencial estocástica

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a: navegación, búsqueda

Una ecuación diferencial estocástica es una ecuación diferencial en la cual uno o más de sus términos es un proceso estocástico y cuya solución es también un proceso estocástico. Las ecuaciones diferenciales estocásticas se utilizan para modelar diversos fenómenos como los precios de las acciones. Usualmente, las ecuaciones diferenciales estocásticas tienen ruido blanco que puede ser interpretado como la derivada del movimiento browniano o del proceso de Wiener. Sin embargo, debe de mencionarse que otro tipo de fluctuaciones aleatorias son posibles como el proceso de salto.

Ecuación diferencial de Itō[editar]

Uno de los primeros ejemplos históricos de ecuación diferencial es la ecuación diferencial de Itō propuesta en los años 1940. La ecuación involucra una variable aleatorio X_t cuyos incrementos con el tiempo vienen dados por una parte determinista más una parte aleatoria dada por un proceso de Wiener

 \mathrm{d} X_t = \mu(X_t,t)\, \mathrm{d} t +  \sigma(X_t,t)\, \mathrm{d}W_t ,

donde W_t es el proceso de Wiener (o movimiento browniano estandarizado). Esta ecación debe ser interpretada como una expresión informal, que es rigurosa interpretable en forma de ecuación integral

 X_{t+s} - X_{t} = \int_t^{t+s} \mu(X_u,u) \mathrm{d} u + \int_t^{t+s} \sigma(X_u,u)\, \mathrm{d}W_u .

donde la última de las integrales es una integral de Itō, mientras que la primera es simplemente una integral de Riemann.

Referencias[editar]

Bibliografía[editar]

  • Adomian, George (1983). Stochastic systems. Mathematics in Science and Engineering (169). Orlando, FL: Academic Press Inc. 
  • Adomian, George (1986). Nonlinear stochastic operator equations. Orlando, FL: Academic Press Inc. 
  • Adomian, George (1989). Nonlinear stochastic systems theory and applications to physics. Mathematics and its Applications (46). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group. 
  • Øksendal, Bernt K. (2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. Berlin: Springer. ISBN 3-540-04758-1. 
  • Teugels, J. and Sund B. (eds.) (2004). Encyclopedia of Actuarial Science. Chichester: Wiley. pp. 523–527. 
  • C. W. Gardiner (2004). Handbook of Stochastic Methods: for Physics, Chemistry and the Natural Sciences. Springer. p. 415. 
  • Thomas Mikosch (1998). Elementary Stochastic Calculus: with Finance in View. Singapore: World Scientific Publishing. p. 212. ISBN 981-02-3543-7. 
  • Seifedine Kadry, (2007). A Solution of Linear Stochastic Differential Equation. USA: WSEAS TRANSACTIONS on MATHEMATICS, April 2007. p. 618. ISSN 1109-2769. 
  • Bachelier, L., (1900). Théorie de la speculation (in French), PhD Thesis. NUMDAM: http://archive.numdam.org/ARCHIVE/ASENS/ASENS_1900_3_17_/ASENS_1900_3_17__21_0/ASENS_1900_3_17__21_0.pdf. In English in 1971 book 'The Random Character of the Stock Market' Eds. P.H. Cootner. 
  • P.E. Kloeden and E. Platen, (1995). Numerical Solution of Stochastic Differential Equations,. Springer,.