Integral de Itō

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Integral de Itô de movimiento browniano con respecto a sí mismo.

Una integral de Itô o integral estocástica de Itô es una generalización de la integral de Riemann-Stieltjes en análisis. Los integrandos y los integradores son ahora procesos estocásticos:

donde H es un proceso localmente cuadrático-integrable adaptado a el filtrado generado por X, que es un movimiento Browniano, o más genéricamente, una semimartingala. Concretamente, la integral desde 0 a cualquier t es una variable aleatoria. El camino de un movimiento Browniano no satisface los requisitos necesarios del cálculo infinitesimal tradicional, ya que como el integrando es un proceso estocástico, la integral de Itô se define para lograr integrar una función que es no diferenciable en ningún punto y además tiene una variación infinita en cada intervalo de tiempo.

Notación[editar]

El proceso Y se define como antes como

es en sí mismo un proceso estocástico con el parámetro de tiempo t, que también se escribe a veces como Y = H · X (Rogers y Williams, 2000). Por otra parte, la integral se escribe a menudo en forma diferencial dY = H dX, equivalente a Y − Y0H · X. Como el cálculo de Itô se ocupa de los procesos estocásticos de tiempo continuo, se supone que un subyacente espacio de probabilidad filtrada se da.

El σ-algebra Ft representa la información disponible hasta el tiempo t, y el proceso X se adapta si Xt es Ft-medible. Un movimiento browniano B se entiende de ser un Ft-mov. browniano, que es sólo un movimiento browniano estándar con las propiedades que Bt es Ft-medible y tanto Bt+s − Bt independiente de Ft para todo s,t ≥ 0 (Revuz y Yor, 1999).

Véase[editar]

Referencias[editar]

  • Bichteler, Klaus (2002), Stochastic Integration With Jumps (1st edición), Cambridge University Press, ISBN 0-521-81129-5 
  • Hagen Kleinert (2004). Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets, 4th edition, World Scientific (Singapore); Paperback ISBN 981-238-107-4. Fifth edition available online: PDF-files, with generalizations of Itô's lemma for non-Gaussian processes.
  • He, Sheng-wu; Wang, Jia-gang; Yan, Jia-an (1992), Semimartingale Theory and Stochastic Calculus, Science Press, CRC Press Inc., ISBN 978-0849377150 
  • Karatzas, Ioannis; Shreve, Steven (1991), Brownian Motion and Stochastic Calculus (2ª edición), Springer, ISBN 0-387-97655-8 
  • Lau, Andy; Lubensky, Tom (2007), «State-dependent diffusion», Phys. Rev. E 76 (1): 011123, doi:10.1103/PhysRevE.76.011123 
  • Nualart, David (2006), The Malliavin calculus and related topics, Springer, ISBN 3-540-28328-5 
  • Øksendal, Bernt K. (2003), Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications, Berlin: Springer, ISBN 3-540-04758-1 
  • Protter, Philip E. (2004), Stochastic Integration and Differential Equations (2ª edición), Springer, ISBN 3-540-00313-4 
  • Revuz, Daniel; Yor, Marc (1999), Continuous martingales and Brownian motion, Berlin: Springer, ISBN 3-540-57622-3 
  • Rogers, Chris; Williams, David (2000), Diffusions, Markov processes and martingales - Volume 2: Itô calculus, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-77593-0 
  • Mathematical Finance Programming in TI-Basic, which implements Ito calculus for TI-calculators.