Semimartingala

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Una semimartingala es un tipo de proceso estocástico que aparece frecuentemente en integración estocástica, más específicamente un proceso estocástico X es una semimartingala si puede descomponerse como suma de una martingala local y un proceso adaptado y de variación finita.

La clase de todas las martingalas definidas sobre un espacio de probabilidad, en el que se ha definido una filtración de σ-álgebras. Además las semimartingalas son "buenos integradores" y forman la mayor clase posible de procesos estocásticos respecto a las cuales se puede definir la integral de Itō y la integral de Stratonovich.

Definición matemática[editar]

Definición previa

Un proceso X es una semimartingala total si X es un proceso de tipo càdlàg, adaptado y tal que es continuo.

Recúerdese que para un proceso estocástico X y un tiempo de parada T, la notación XT denota al proceso (donde . Con esa notación se define el concepto general de semimartingala:

Definición 1 de semimartingala

Un proceso X se denomina semimartingala si, para cada el proceso es una semimartingala total.

Una definición alternativa es la siguiente:

Definición 2 de semimartingala

Un proceso estocástico definido sobre la filtración (Ω,F,(Ft)t ≥ 0,P) se denomina semimartingala si puede descomponerse en la forma:
donde M es una maritingala local y A es un proceso adaptado de tipo càdlàg que localmente es de variación acotada.

Un proceso estocástico con valores en es una semimartingala si cada una de sus componentes X = (X1,…,Xn) es una semimartignala.

Ejemplos[editar]

  • El proceso de Wiener (o movimiento browniano) es una semimartingala.
  • Un proceso estocástico adaptado con caminos de tipo càdlag de variación finita sobre compactos es una semimartingala.
  • Toda martingala de cuadrado integrable con caminos de tipo càdlàg es una semimartingala.
  • Toda martingala local de tipo càdlàg y localmente de cuadradro integrable es una semimartingala.
  • Una martingala local con caminos continuos es una semimartingala.
  • Un proceso estocástico adaptado de tipo càdlàg Xt y descomponible como suma , donde A0 = M0 = 0, donde M es localmente de cuadrado integrable, A es de tipo càdlàg, adaptado y con caminos de variación finita sobre compactos, es una semimartingala.

Semimartingalas e integración[editar]

Sea X un proceso estocástico para el cual se define un operador integral IX asociado a X. Para que dicho operador pueda ser entendido como una "integral" debería cumplir algunos requisitos razonables: debe ser lineal y debería satisfacer cierta versión del teorema de la convergencia acotada. Una forma débil de esta convergencia acotada es que la convergencia uniforme de procesos de una sucesión de procesos Hn a H implique solamente la convergencia en probabilidad de IX(Hn) a IX(H).

A partir de las consideraciones anteriores, dado un proceso X se define una aplicación lineal definida por:

(*)

donde denota el espacio de todos los procesos estocásticos simples y predictibles sobre el espacio de probabilidad considerado (con la topología adecuadada sobre ). En la ecuación anterior (*) el integrando es, por tanto, un proceso estocástico que admitiría la representación:

donde:

es la función característica del conjunto A que vale 1 si el argumento de la función pertenece a A y 0 en caso contrario.

Propiedades[editar]

Esta sección recoge algunos teoremas que aclaran el concepto de semimartingala definida sobre un espacio de probabilidad .

Estabilidad[editar]

Teorema 1

Si Q es una medida de probabilidad y es absolutamente continua respecto a P, entonces toda P-semimartingala X es una Q-semimartingala.

Esta última propiedad se sigue del hecho de que la convergencia en probabilidad respecto a P implica la convergencia respecto a Q, por ser absolutamente continua esta probabilidad respecto de la otra. Otro resultado interesante es el siguiente:

Teorema 2

Sea una sucesión de medidas de probabilidad tales que X es una semimartingala para cada k. Sea , donde , y además . Entonces X es una semimartingala con respecto a R también.

Referencias[editar]

Bibliografía[editar]

  • Protter, Philip (1995). «II. Semimartingales and Stochastic Integrals». Stochastic Integration and Differential Equations: A New Approach (en inglés). Springer. pp. p. 43-86.