Ecuación de Poisson

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En matemática y física, la ecuación de Poisson es una ecuación en derivadas parciales con un amplio uso en electrostática, ingeniería mecánica y física teórica. Se debe al matemático, geómetra y físico francés Siméon-Denis Poisson, que la publicó en 1812 como corrección de la ecuación diferencial parcial de segundo orden de Laplace para la energía potencial.[1]

La ecuación de Poisson se define como:

donde es el operador laplaciano, y f y φ son funciones reales o complejas. En un sistema de coordenadas cartesianas tridimensional, toma la forma:

Si f = 0, la ecuación se convierte en la ecuación de Laplace

Problema de Poisson[editar]

La ecuación de Poisson junto con las condiciones de contorno homogéneas, constituye uno de los tres problemas clásicos relacionados con el operador laplaciano que se detallan a continuación. Concretamente el problema de Poisson es el problema de encontrar una función definida sobre el dominio que satisfaga:

(1)

Este tipo de problema puede ser resuelto de manera sencilla, mediante el método de la función de Green, para :

Problemas de potencial[editar]

La ecuación anterior aparece en problemas electrostáticos y de potencial gravitatorio. En esos problemas representa la densidad de carga eléctrica o bien la densidad de masa. Además la constante debe ser tomada 1/ para problemas electrostáticos (en SI), mientras que en problemas de potencial gravitatorio se toma como .

Problema de Dirichlet[editar]

El problema de Dirichlet es un problema de encontrar una función armónica sobre un dominio tal que sea igual a otra función dada sobre el contorno de tal dominio:

(2)

En electrostática el problema de Dirichlet se corresponde con el problema de encontrar el campo dentro de una cavidad metálica "conectada a tierra" (potencial constante) de forma dentro de la cual hay una distribución de carga dada por .

Relación con el problema de Poisson[editar]

Existe un medio para reducir el problema de Dirichlet a un problema de Poisson. Si es una función de clase C1 sobre la frontera del dominio y es una extensión de a todo el dominio que sea de clase C2, es decir:

Entonces la solución del problema de Dirichlet (2) viene dada por una función suma de la extensión anterior y otra función que es solución de un problema de Poisson como (1):

Problema de Neumann[editar]

El problema de Neumann es similar al anterior pero en lugar de fijar el valor de la función incógnita sobre la frontera, fija el valor de la derivada perpendicularmente a la superficie.

(3)

Referencias[editar]

  1. Bulletin de la société philomatique.

Bibliografía[editar]

  • Richtmyer, Robert D. (1978): Principles of advanced mathematical physics, Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-08873-3.

Enlaces externos[editar]