Ecuación del calor

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La ecuación del calor predice que si un cuerpo a una temperatura T se sumerge en una caja con agua a menor temperatura, la temperatura del cuerpo disminuirá, y finalmente (teóricamente después de un tiempo finito, y siempre que no existan fuentes de calor externas) la temperatura del cuerpo y la del agua serán iguales (estarán en equilibrio térmico).

La ecuación del calor es una importante ecuación diferencial en derivadas parciales del tipo parabólica que describe la distribución del calor (o variaciones de la temperatura) en una región a lo largo del transcurso del tiempo.

Definición[editar]

Para el caso de una función de tres variables (x,y,z) \in \R^3 y de la variable temporal t, el enunciado clásico es[1]

\frac{\partial T}{\partial t} -\alpha\left(\frac{\partial^2T}{\partial x^2}+\frac{\partial^2T}{\partial y^2}+\frac{\partial^2T}{\partial z^2}\right)=0

donde \alpha es la difusividad térmica, que es una propiedad del material.

En forma general, para utilizar en cualquier sistema de coordenadas, la ecuación es:

\frac{\partial u}{\partial t} - \alpha \nabla^2 u=0

donde \alpha es una constante positiva, y \nabla^2 es el operador de Laplace. En el problema físico de variación de temperatura, u(x,y,z,t) es la temperatura y \alpha es la difusividad térmica. En tratados matemáticos es común considerar el caso en que \alpha=1.

Considerando la ecuación de estado, de la primera ley de la termodinámica (es decir, la conservación de la energía), se escribe de la siguiente forma (asumiendo que no hay transferencia de masa, o fuentes de radiación, pero si una fuente de energía Q). Esta forma es más general y particularmente útil para analizar como las diversas propiedades (c_p o \rho) influyen sobre cada término.

\rho c_p \frac{\partial T}{\partial t} - \nabla \cdot \left( k \nabla T \right) = Q

La ecuación del calor es de una importancia fundamental en numerosos y diversos campos de la ciencia. En el ámbito de las matemáticas, son las ecuaciones parabólicas en derivadas parciales por antonomasia. En el campo de la estadística, la ecuación del calor está vinculada con el estudio del movimiento browniano a través de la ecuación de Fokker–Planck. La ecuación de difusión, es una versión más general de la ecuación del calor, y se relaciona principalmente con el estudio de procesos de difusión química.

El problema físico y la ecuación[editar]

Caso unidimensional[editar]

La ecuación de calor se obtiene a partir de la ley de Fourier y del principio de conservación de la energía[2] . Según la ley de Fourier, la razón de cambio del flujo de energía calórica por unidad de área a través de una superficie es proporcional al gradiente de temperatura negativo en la superficie,

\mathbf{q} = - k \, \nabla u \

donde k es la conductividad térmica y u es la temperatura. En una dimensión, el gradiente es una derivada espacial ordinaria, y así la ley de Fourier es,

q = -k \frac{\partial u}{\partial x} \,

En ausencia de trabajo realizado, un cambio en la energía interna por unidad de volumen en el material, \Delta Q, es proporcional al cambio de la temperatura, \Delta u (en esta sección, \Delta es el operador de diferencia ordinario, no el Laplaciano). Entonces,

\Delta Q = c_p\rho \, \Delta u \,

donde c_p es la capacidad calórica específica y \rho es la densidad de masa del material. Definiendo que la energía es nula cuando la temperatura es el cero absoluto, se puede reescribir como:

Q = c_p\rho u. \,

El incremento en energía interna en una pequeña región espacial del material

x-\Delta x \le \xi \le x+\Delta x

sobre un lapso de tiempo

t-\Delta t\le \tau \le t+\Delta t

está dado por[n. 1]

c_p\rho \int_{x-\Delta x}^{x+\Delta x} [u(\xi,t+\Delta t)-u(\xi,t-\Delta t)]\, d\xi = c_p\rho\int_{t-\Delta t}^{t+\Delta t}\int_{x-\Delta x}^{x+\Delta x} \frac{\partial u}{\partial\tau}\,d\xi \, d\tau

donde se utilizó el teorema fundamental del cálculo. Si no hay trabajo realizado, y no hay fuentes de calor, el cambio en la energía interna en el intervalo [x-\Delta x,x+\Delta x] queda completamente definido por el flujo de calor que atraviesa los contornos. Según la ley de Fourier, esto es

k\int_{t-\Delta t}^{t+\Delta t}\left[\frac{\partial u}{\partial x}(x+\Delta x,\tau)-\frac{\partial u}{\partial x}(x-\Delta x,\tau)\right]\,d\tau = k\int_{t-\Delta t}^{t+\Delta t}\int_{x-\Delta x}^{x+\Delta x}\frac{\partial^2u}{\partial\xi^2}\,d\xi\, d\tau

otra vez por el teorema fundamental del cálculo.[n. 2] Aplicando conservación de la energía,

\int_{t-\Delta t}^{t+\Delta t}\int_{x-\Delta x}^{x+\Delta x} [c_p\rho u_\tau - k u_{\xi\xi}]\, d\xi \, d\tau = 0.

Esto es verdadero para cualquier región rectangular [t-\Delta t,t+\Delta t] \times [x-\Delta x,x+\Delta x]. Por el lema fundamental del cálculo variacional, el integrando debe desvanecer a:

c_p\rho u_t - k u_{xx} = 0. \,\!

El cual puede reescribirse como:

u_t = \frac{k}{c_p\rho}u_{xx},

o:

\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{k}{c_p\rho} \left(\frac{\partial^2u}{\partial x^2}\right)

el cual es la ecuación del calor, donde el coeficiente (comúnmente denominado α)

\alpha = \frac{k}{c_p\rho}\,\!

se conoce como la difusividad térmica.

Se puede agregar un término más a la ecuación para tener en cuenta las pérdidas de calor por radiación, fenómeno que depende del exceso de temperatura u=T-T_s en algún punto dado comparado con el entorno. Cuando el exceso de temperatura es relativamente pequeño, la pérdida por radiación es aproximadamente μu, donde resulta la ecuación de transferencia de calor unidimensional de la forma

\frac{\partial u}{\partial t}= \frac{k}{c_p\rho} \left(\frac{\partial^2u}{\partial x^2}\right)-\mu u.

Sin embargo, cuando hay exceso de temperatura significativo, según la ley de Stefan-Boltzmann la pérdida neta de calor radiado es proporcional a T^4-T_s^4, y la ecuación anterior es errónea. Para grandes excesos de temperatura, T^4 - T_s^4 \approx u^4, queda la ecuación de transferencia de calor para altas temperaturas de la forma:

\frac{\partial u}{\partial t}=\alpha\left(\frac{\partial^2u}{\partial x^2}\right)-\ m u^4

donde \ m= \epsilon\sigma p/\rho Ac_p. Aquí, \sigma es la constante de Stefan-Boltzmann, \epsilon es la constante característica del material, p es el perímetro de la sección de la barra y A es su área de sección. Sin embargo, usando T en vez de u tenemos una mejor aproximación en este caso.

Caso tridimiensional[editar]

En el caso especial de propagación de ondas de calor en un medio isotrópico y homogéneo en un espacio de tres dimensiones, la ecuación es

{\partial u\over \partial t} =
\alpha \left({\partial^2 u\over \partial x^2 } +
{\partial^2 u\over \partial y^2 } +
{\partial^2 u\over \partial z^2 }\right) = \alpha ( u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} ) \quad

donde:

La ecuación del calor es una consecuencia de la ley de Fourier de conducción (ver conducción del calor).

Si el medio no es todo el espacio, entonces para resolver la ecuación de calor se necesita solo que se especifiquen las condiciones de contorno para u. Para determinar la unicidad de las soluciones en todo el espacio se necesita suponer una cota exponencial sobre el crecimiento de las soluciones.[3]

Las soluciones de la ecuación del calor se caracterizan por una suavidad gradual de la distribución de temperatura inicial por el flujo de calor desde las áreas más cálidas hacia las más frías de un objeto. Generalmente, muchos estados diferentes y condiciones iniciales tienden al mismo equilibrio estable.

La ecuación del calor es un ejemplo prototipo de una ecuación diferencial en derivadas parciales del tipo parabólico

Usando el operador de Laplace, la ecuación se puede simplificar, y generalizar a ecuaciones similares en el espacio de un número arbitrario de dimensiones:

u_t = \alpha \nabla^2 u = \alpha \Delta u, \quad \,\!

donde el operador de Laplace puede ser Δ o ∇2, la divergencia del gradiente, se toma en las variables espaciales.

La ecuación del calor gobierna la difusión de calor, es decir, es otro proceso de difusión, tal como la difusión de partículas o la propagación del potencial de acción en células neuronales. Sin embargo no son de naturaleza difusiva, algunos problemas de mecánica cuántica también están gobernadas por una ecuación análoga a la ecuación del calor (ver más adelante). También puede utilizarse para modelar algunos problemas en finanzas, como por ejemplo en los procesos de Black-Scholes o Ornstein-Uhlenbeck.

Notas[editar]

  1. Se asume que el material tiene una densidad de masa y capacidad calórica constante, tanto en el espacio como en el tiempo, aunque las generalizaciones se dan después.
  2. En dimensiones mayores, se utiliza en su lugar el teorema de la divergencia.

Referencias[editar]

Bibliografía[editar]

Enlaces externos[editar]