Ecuación diferencial de Bernoulli

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La ecuación diferencial de Bernoulli es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, formulada por Jacob Bernoulli. Esta ecuación fue transformada, por Gottfried Leibniz en 1693 y por Johann Bernoulli en 1697, en una ecuación diferencial lineal de primer orden, mediante la sustitución , [1] que se caracteriza por adoptar la forma:

donde y son funciones continuas en un intervalo abierto y α es un número real cualquiera[2]

Método de resolución[editar]

Caso general[editar]

Si se descuentan los casos particulares en que α=0 y α=1 y se divide la ecuación por yα se obtiene:

(1)

Definiendo:

o,equivalentemente, Z = y1-α

lleva inmediatamente a las igualdades:

Gracias a esta última relación se puede reescribir (1) como:

(2)

Ecuación a la cual se puede aplicar el método de resolución de una ecuación diferencial lineal obteniendo como resultado:

Donde es una constante arbitraria. Pero como Z = y1-α se tiene que:

Finalmente, las funciones que satisfacen la ecuación diferencial pueden calcularse utilizando la expresión:

(3)

Con . Donde el factor integrante se define en, por ejemplo, 0 < x < ∞.

Caso particular: α = 0[editar]

En este caso la ecuación se reduce a una ecuación diferencial lineal cuya solución viene dada por:

(4)

Caso particular: α = 1[editar]

Tenemos una ecuación diferencial lineal (Ecuación de variables separables). En este caso la solución viene dada por:

(5)

Ejemplo[editar]

Para resolver la ecuación:

(*)

Se hace el cambio de variable , que introducido en (*) da simplemente:

(**)

Multiplicando la ecuación anterior por el factor: se llega a:

Si se sustituye (**) en la última expresión y operando:

Que es una ecuación diferencial lineal que puede resolverse fácilmente. Primeramente se calcula el factor integrante típico de la ecuación de Bernouilli:

Y se resuelve ahora la ecuación:

Deshaciendo ahora el cambio de variable:

Teniendo en cuenta que el cambio que hicimos fue :

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. "Historia de las matemáticas" (1987), Ríbnikov, K., Librería Científica, Lima; p.257
  2. "Ecuaciones diferenciales" (1988) Zill, Dennis G., ISBN 968-7270-45-4, pg. 66

Bibliografía[editar]

  • Spiegel, Murray R.; Abellanas, Lorenzo (1992). McGraw-Hill, ed. Fórmulas y tablas de matemática aplicada. Aravaca (Madrid). ISBN 84-7615-197-7. 

Enlaces externos[editar]