Función diferenciable

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El concepto de función diferenciable es una generalización para el cálculo en varias variables del concepto más simple de función derivable. En esencia una función diferenciable admite derivadas en cualquier dirección y puede aproximarse al menos hasta primer orden por una aplicación afín.

La formulación rigurosa de esta idea intuitiva sin embargo es algo más complicada y requiere de conocimientos de álgebra lineal. Debe notarse que aunque una función de varias variables admita derivadas parciales según cada una de sus variables no necesariamente eso implica que sea una función diferenciable.

Definición[editar]

Una función de múltiples variables se dirá diferenciable en si, siendo un conjunto abierto en , existe una transformación lineal que cumpla:

Donde cumple que:

o sea tiende a cero "más rápido" que función lineal, cuando h tiende a 0. Necesariamente la transformación lineal es la única cosa que se ve más claramente si adoptamos como definición de función derivable aquella para la cual se cumple que exista una aplicación lineal tal que:

Visualización Geométrica[editar]

Para fijar ideas, usando una función cuyo gráfico sería una "sábana". La función es diferenciable si la "sábana" no está "quebrada" en los puntos donde es diferenciable, o sea la función es "suave" en todos los puntos de su dominio, existiendo la matriz jacobiana o derivada en esos puntos.

Funciones reales de una variable[editar]

Una función real de una variable que admite derivada en todos sus puntos y tal que dicha derivada sea continua es trivialmente una función diferenciable. Por esa razón para funciones reales de una variable el concepto de función derivable y función diferenciable son básicamente equivalentes.

Sin embargo, para funciones de más de una variable la situación es más complicada. Ya que la existencia de derivadas no comporta que una función sea automáticamente diferenciable.

Ejemplos para funciones de dos variables[editar]

De función diferenciable[editar]

La función f(x,y) es diferenciable si x, y son diferentes de 0, puesto que existen las derivadas parciales en un entorno de cualquier punto y son continuas en él:

De función derivable no-diferenciable[editar]

En cambio la función g(x,y) es continua, admite derivadas según las variables x e y, e incluso derivadas direccionales, sin embargo no es diferenciable en (0,0):

De función no-continua y no-diferenciable[editar]

La función no es diferenciable en (0,0) puesto que no es continua en ese punto ni existen derivadas parciales de cualquier orden en el punto (0,0):

Función diferenciable de varias variables[editar]

Una aplicación vectorial entre varias variables de la forma se dice diferenciable en un punto si puede encontrarse una matriz , llamada matriz jacobiana, que representa una aplicación lineal tal que:

O de forma equivalente:

donde es un punto de ,es decir y , la transformación lineal, que viene dada por la matriz jacobiana de en el punto

En esas condiciones se puede ver la función admite derivadas parciales de todas las variables y además resulta:

Función diferenciable entre variedades[editar]

Referencias[editar]

  • Bombal, R. Marín & Vera: Problemas de Análisis matemático: Cálculo Diferencial, 1988, ed. AC, ISBN 84-7288-101-6.

Véase también[editar]