Modelo de Black-Scholes

El modelo de Black-Scholes o ecuación de Black-Scholes es una ecuación usada en matemática financiera para determinar el precio de determinados activos financieros.

A partir de la ecuación diferencial parcial parabólica del modelo, conocida como ecuación de Black-Scholes, se puede deducir la fórmula de Black-Scholes, la cual proporciona una estimación teórica del precio de las opciones estilo europeo y muestra que la opción tiene un precio único dado el riesgo del valor subyacente y su rendimiento esperado (sustituyendo el rendimiento esperado del valor por la tasa libre de riesgo). La ecuación y el modelo reciben su nombre en honor a los economistas Fischer Black y Myron Scholes. A veces también se atribuye a Robert C. Merton, quien escribió el primer artículo académico sobre el tema.

El principio principal detrás del modelo es cubrir (cobertura) la opción comprando y vendiendo el activo subyacente de una manera específica para eliminar el riesgo. Este tipo de cobertura se denomina "cobertura delta revisada continuamente" y es la base de estrategias de cobertura más complicadas, como las utilizadas por bancos de inversión y fondos de cobertura (hedge funds).

El modelo es ampliamente utilizado, aunque a menudo con algunos ajustes. Las suposiciones del modelo se han generalizado de diferentes maneras, lo que ha llevado a una plétora de modelos que se utilizan actualmente en la valoración de derivados y la gestión de riesgos.​ Las ideas fundamentales del modelo, ejemplificadas por la fórmula de Black-Scholes, son utilizadas con frecuencia por los participantes del mercado, a diferencia de los precios reales. Estas ideas incluyen límites de no arbitraje y la valoración neutral al riesgo (gracias a la revisión continua). Además, la ecuación de Black-Scholes, una ecuación diferencial parcial que gobierna el precio de la opción, permite la valoración utilizando métodos numéricos cuando no es posible una fórmula explícita.

La fórmula de Black-Scholes tiene solo un parámetro que no se puede observar directamente en el mercado: la volatilidad futura promedio del activo subyacente, aunque puede inferirse a partir del precio de otras opciones. Dado que el valor de la opción (ya sea de compra -call- o de venta -put-) es creciente en este parámetro, se puede invertir para producir una "superficie de volatilidad" que luego se utiliza para calibrar otros modelos, por ejemplo, para derivados over-the-counter (OTC).

Historia

La tesis de Louis Bachelier ​en 1900 fue la primera publicación en aplicar el movimiento browniano a la valoración de derivados, aunque su trabajo tuvo poco impacto durante muchos años e incluía limitaciones importantes para su aplicación a los mercados modernos.​ En la década de 1960, Case Sprenkle,​ James Boness,​ Paul Samuelson y el entonces estudiante de doctorado de Samuelson, Robert C. Merton,​ realizaron importantes contribuciones a la teoría de valoración de opciones.

Fischer Black y Myron Scholes demostraron en 1968 que una revisión dinámica de una cartera elimina el rendimiento esperado del valor, creando el argumento de neutralidad al riesgo.​ Basaron su pensamiento en trabajos previos realizados por investigadores y practicantes del mercado, incluidos los trabajos mencionados anteriormente, así como en el trabajo de Sheen Kassouf y Edward O. Thorp. Black y Scholes luego intentaron aplicar la fórmula a los mercados, pero incurrieron en pérdidas financieras debido a una falta de gestión de riesgo en sus operaciones. En 1970, decidieron regresar al entorno académico. Después de tres años de esfuerzos, la fórmula —que lleva su nombre en su honor por hacerla pública— fue finalmente publicada en 1973 en un artículo titulado "The Pricing of Options and Corporate Liabilities" en el Journal of Political Economy. Robert C. Merton fue el primero en publicar un artículo que ampliaba la comprensión matemática del modelo de valoración de opciones y acuñó el término "modelo de valoración de opciones Black-Scholes".​

La fórmula condujo a un auge en el trading de opciones y proporcionó legitimidad matemática a las actividades del Chicago Board Options Exchange y otros mercados de opciones en todo el mundo.​

Merton y Scholes recibieron el Premio Nobel de Economía de 1997 por su trabajo, citando el comité su descubrimiento de la revisión dinámica neutral al riesgo como un avance que separa la opción del riesgo del valor subyacente.​ Aunque no era elegible para el premio debido a su fallecimiento en 1995, Black fue mencionado como contribuyente por la Royal Swedish Academy of Sciences.​

Movimientos brownianos geométricos simulados con parámetros de datos de mercado

Desarrollo del modelo de Black-Scholes para el caso europeo

Hipótesis

El modelo Black-Scholes asume que el mercado consiste en al menos un activo riesgoso, usualmente llamado acción, y un activo libre de riesgo, usualmente llamado mercado monetario, efectivo o bono.

Se hacen las siguientes suposiciones sobre los activos (que se relacionan con los nombres de los activos):

• Tasa libre de riesgo: La tasa de rendimiento del activo libre de riesgo es constante y, por lo tanto, se denomina tasa de interés libre de riesgo.
• Marcha aleatoria (Random walk): El rendimiento logarítmico instantáneo del precio de la acción es una marcha aleatoria infinitesimal con deriva (drift); más precisamente, el precio de la acción sigue un movimiento browniano geométrico, y se supone que la deriva y la volatilidad del movimiento son constantes. Si la deriva y la volatilidad varían con el tiempo, se puede deducir una fórmula de Black-Scholes modificada adecuadamente, siempre que la volatilidad no sea aleatoria.
• La acción no paga dividendos.​

Las suposiciones sobre el mercado son:

• No hay oportunidades de arbitraje (es decir, no hay forma de obtener una ganancia libre de riesgo superior a la tasa libre de riesgo).
• Posibilidad de pedir prestado y prestar cualquier cantidad, incluso fraccionaria, de efectivo a la tasa libre de riesgo.
• Posibilidad de comprar y vender cualquier cantidad, incluso fraccionaria, de la acción (esto incluye las ventas en corto -short selling-).
• Las transacciones anteriores no incurren en comisiones ni costos (es decir, mercado sin fricciones).

Con estas suposiciones, suponga que también hay un valor derivado que se negocia en este mercado. Se especifica que este valor tendrá un pago determinado en una fecha futura específica, dependiendo de los valores de la acción hasta esa fecha. Aunque se desconoce la trayectoria que tomará el precio de la acción en el futuro, el precio del derivado puede determinarse en el momento actual. Para el caso especial de una opción de compra (call) o venta (put) europea, Black y Scholes demostraron que "es posible crear una posición cubierta, que consiste en una posición larga en la acción y una posición corta en la opción, cuyo valor no dependerá del precio de la acción".​ Su estrategia de cobertura dinámica condujo a una ecuación diferencial parcial que gobierna el precio de la opción. Su solución viene dada por la fórmula de Black-Scholes.

Varias de estas suposiciones del modelo original se han eliminado en extensiones posteriores del modelo. Las versiones modernas tienen en cuenta las tasas de interés dinámicas, los costos de transacción y los impuestos, y el pago de dividendos.

Notación

La notación utilizada en el análisis del modelo Black-Scholes se define a continuación (definiciones agrupadas por tema):

General y relacionada con el mercado:

$t$ es un tiempo en años; siendo $t=0$ generalmente el año presente.

$r$ es el tipo de interés libre de riesgo anualizado, compuesto de forma continua (también conocido como fuerza del interés).

Relacionada con el activo:

$S(t)$ es el precio del activo subyacente en el tiempo *t*, también denotado como $S_{t}$.

$\mu$ es la tasa de deriva (drift) de $S$, anualizada.

$\sigma$ es la desviación estándar de los rendimientos de la acción. Esta es la raíz cuadrada de la variación cuadrática del proceso de precio logarítmico de la acción, una medida de su volatilidad.

Relacionada con la opción:

$V(S,t)$ es el precio de la opción en función del activo subyacente S en el tiempo en t particular.

$C(S,t)$ es el precio de una opción de compra (call) europea.

$P(S,t)$ es el precio de una opción de venta (put) europea.

$T$ es el tiempo de expiración de la opción.

$\tau$ es el tiempo hasta el vencimiento: $\tau =T-t$.

$K$ es el precio de ejercicio (strike) de la opción.

$N(x)$ denota la función de distribución acumulativa normal estándar:

$N(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-z^{2}/2}\,dz.$

$N'(x)$ denota la función de densidad de probabilidad normal estándar:

$N'(x)={\frac {dN(x)}{dx}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-x^{2}/2}.$

Valoración Neutral al Riesgo (VNR)

La Valoración Neutral al Riesgo (VNR) es el pilar conceptual sobre el que se construyen las fórmulas de Black-Scholes. Es el método que nos permite encontrar el precio de un derivado basándonos en el principio de no arbitraje.

Concepto de VNR

La idea fundamental es que, en un mercado sin oportunidades de arbitraje, existe un precio único y justo para una opción. El Primer Teorema Fundamental de la Valoración de Activos nos dice cómo encontrar ese precio usando un atajo lógico:

Medida P

En el mundo real (Medida $\mathbb {P}$), los inversores tienen aversión al riesgo. Exigen una compensación por asumir riesgos, por lo que el rendimiento esperado de una acción ($\mu$) es mayor que la tasa libre de riesgo ($r$). El problema es que $\mu$ es desconocido y varía para cada inversor, haciendo imposible un acuerdo sobre el precio.

Medida Q

En un mundo hipotético (Medida $\mathbb {Q}$), el teorema nos dice que si el mercado no tiene arbitraje, existe neutralidad al riesgo, donde:

• Todos los inversores son indiferentes al riesgo.
• Como resultado, el rendimiento esperado de todos los activos (incluida nuestra acción) es exactamente la tasa libre de riesgo ($r$).

Por lo tanto, el precio de la opción en el mundo real ($\mathbb {P}$) es idéntico al precio calculado en el mundo neutral al riesgo ($\mathbb {Q}$).

Esto nos permite ignorar el rendimiento esperado real de la acción ($\mu$) para calcular el precio de una opción y, en su lugar:

1. Pretender que estamos en el mundo $\mathbb {Q}$, donde la acción crece a la tasa $r$.
2. Calcular el payoff promedio (esperado) que tendría la opción en ese mundo.
3. Descontar ese payoff esperado de vuelta al presente usando la tasa libre de riesgo $r$.​

La Fórmula de VNR

Este procedimiento se formaliza en la fórmula de la valoración de derivados. El valor de la opción hoy, $V(S,t)$, es el valor presente del payoff esperado al vencimiento ($T$), calculado bajo la medida neutral al riesgo $\mathbb {Q}$:

$V(S,t)=e^{-r\tau }\cdot E_{\mathbb {Q} }\left[{\text{Payoff}}(S_{T})\mid {\mathcal {F}}_{t}\right]$

Donde:

• $V(S,t)$: Es el precio de la opción hoy (en tiempo $t$).
• $\tau$: Es el tiempo que falta hasta el vencimiento ($\tau =T-t$).
• $e^{-r\tau }$: Es el factor de descuento a valor presente, usando la tasa libre de riesgo $r$ con capitalización continua.
• $E_{\mathbb {Q} }[\dots ]$: Es el operador de Expectativa (el promedio esperado), calculado bajo las reglas del mundo neutral al riesgo ($\mathbb {Q}$).
• ${\text{Payoff}}(S_{T})$: Es la función que define el valor de la opción al vencimiento (ej. $\max(S_{T}-K,0)$ para una call).
• $\mid {\mathcal {F}}_{t}$: Esta notación técnica significa "condicionado a toda la información conocida hoy (en tiempo $t$)".

Esta ecuación es nuestro nuevo punto de partida. Todo el problema de la valoración de opciones se reduce ahora a un problema estadístico: ¿cómo calculamos ese valor esperado $E_{\mathbb {Q} }[\dots ]$?​

Herramientas para Calcular la VNR

Supuesto de Distribución del Activo (Log-normal)

El modelo Black-Scholes asume que los precios de las acciones siguen un Movimiento Browniano Geométrico (GBM). En el mundo neutral al riesgo ($\mathbb {Q}$), esto significa que el rendimiento esperado del activo es la tasa libre de riesgo $r$.

Este supuesto tiene una consecuencia matemática crucial:

El precio del activo en el futuro, $S_{T}$, sigue una distribución log-normal.

Esto significa que el logaritmo del precio, $\ln(S_{T})$, sigue una distribución normal (la clásica curva de campana).

Una distribución log-normal describe bien los precios de las acciones porque, a diferencia de una distribución normal, no puede tomar valores negativos y está sesgada (su media, mediana y moda son diferentes).

Bajo la medida neutral al riesgo $\mathbb {Q}$, la distribución de $\ln(S_{T})$ es:

$\ln S_{T}\sim N\left(\ln S_{t}+\left(r-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)\tau ,\sigma ^{2}\tau \right)$

Esta fórmula es la piedra angular del modelo. Nos permite "traducir" esta distribución a la variable normal estándar $Z\sim N(0,1)$ (media 0, varianza 1). La relación es:

$S_{T}=S_{t}\exp \left(\left(r-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)\tau +\sigma {\sqrt {\tau }}Z\right)$

Esta estandarización nos permite calcular cualquier probabilidad sobre el complejo $S_{T}$ usando la función de distribución normal acumulada estándar, $N(\cdot )$, que es de donde provendrán los términos $N(d_{1})$ y $N(d_{2})$.​

Método de Cálculo (LOTUS)

Ahora tenemos la distribución de $S_{T}$. El siguiente paso es calcular $E_{\mathbb {Q} }[{\text{Payoff}}(S_{T})]$.

El payoff en sí (por ejemplo, $\max(S_{T}-K,0)$) es una función de $S_{T}$, lo que hace que su propia distribución sea muy complicada. Afortunadamente, no necesitamos encontrarla.

La Ley del Estadístico Inconsciente (LOTUS) nos da un atajo. Para encontrar el valor esperado de una función $g(X)$, simplemente integramos la función $g(X)$ ponderada por la función de densidad de probabilidad (PDF) $f(x)$ de la variable original $X$.​

Aplicado a nuestro problema (para una variable continua):

$E_{\mathbb {Q} }[g(S_{T})]=\int _{0}^{\infty }g(S_{T})\cdot f(S_{T})dS_{T}$

Donde:

• $g(S_{T})$ es nuestra función de Payoff (ej. $\mathbf {1} _{S_{T}>K}$ para una binaria)
• $f(S_{T})$ es la función de densidad de probabilidad (PDF) de la distribución log-normal que definimos en la sección anterior

Ahora tenemos un plan de acción claro para valorar cualquier derivado:

1. Tomar la fórmula VNR: $V=e^{-r\tau }\cdot E_{\mathbb {Q} }[\dots ]$
2. Usar LOTUS: $E_{\mathbb {Q} }[\dots ]=\int g(S_{T})f(S_{T})dS_{T}$
3. Resolver la integral usando la PDF log-normal (y estandarizándola con $Z$)

Nota:

En las siguientes secciones, al calcular las probabilidades e integrales de $S_{T}$, dos términos de estandarización aparecerán repetidamente. Para simplificar la notación, los definimos aquí:

$d_{1}={\frac {\ln(S_{t}/K)+\left(r+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)\tau }{\sigma {\sqrt {\tau }}}}$

$d_{2}={\frac {\ln(S_{t}/K)+\left(r-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)\tau }{\sigma {\sqrt {\tau }}}}$

Notarás que $d_{2}=d_{1}-\sigma {\sqrt {\tau }}$. Estos dos valores, $d_{1}$ y $d_{2}$, son el núcleo de todas las fórmulas de Black-Scholes.

Valuación de Opciones Binarias

A continuación, aplicamos el método VNR (con el supuesto log-normal y LOTUS) para valorar los payoffs más simples: las opciones binarias.

Opciones Cash-or-Nothing (Efectivo o Nada)

Como establecimos, el precio de cualquier derivado $V$ es el valor presente de su payoff esperado en el mundo neutral al riesgo ($\mathbb {Q}$):

$V(S_{t},t)=E_{\mathbb {Q} }[{\text{Payoff}}]\cdot e^{-r(T-t)}$

Para resolver esto, seguimos dos pasos:

1. Definir el Payoff: ¿Qué paga la opción al vencimiento $T$?
2. Calcular la Expectativa: $E_{\mathbb {Q} }[{\text{Payoff}}]$.
3. Resolver la Integral (Estandarización).

Paso 1: Definir el Payoff (Call Cash-or-Nothing)

El payoff (pago al vencimiento $T$) de esta opción es una cantidad fija $K$ si el precio del activo $S_{T}$ es menor que el strike $K$, y cero en caso contrario.

${\text{Payoff}}={\begin{cases}K&{\text{si }}S_{T}>K\\0&{\text{si }}S_{T}\leq K\end{cases}}$

Como vimos, el modelo Black-Scholes usa una distribución log-normal, es más fácil expresar esto en términos de logaritmos:

${\text{Payoff}}(\ln S_{T})={\begin{cases}K&{\text{si }}\ln S_{T}>\ln K\\0&{\text{si }}\ln S_{T}\leq \ln K\end{cases}}$

Paso 2: Calcular el Valor Esperado (La Integral)

Como vimos en el apartado de LOTUS, el valor esperado $E_{\mathbb {Q} }[{\text{Payoff}}]$ es la integral del payoff ponderado por la función de densidad de probabilidad (PDF) $p(\ln S_{T})$ de los precios futuros.

$E_{\mathbb {Q} }[{\text{Payoff}}]=\int _{-\infty }^{\infty }{\text{Payoff}}(\ln S_{T})\cdot p(\ln S_{T})d(\ln S_{T})$

Usando la definición del payoff del Paso 1, partimos la integral en dos:

$E_{\mathbb {Q} }[{\text{Payoff}}]=\int _{-\infty }^{\ln K}(0)\cdot p(\ln S_{T})d(\ln S_{T})+\int _{\ln K}^{\infty }(K)\cdot p(\ln S_{T})d(\ln S_{T})$

El primer término es cero, así que nos queda:

$E_{\mathbb {Q} }[{\text{Payoff}}]=K\int _{\ln K}^{\infty }p(\ln S_{T})d(\ln S_{T})$

Esta integral representa $K$ multiplicado por la probabilidad neutral al riesgo $\mathbb {Q} (\ln S_{T}>\ln K)$.

Paso 3: Resolver la Integral (Estandarización)

Ahora resolvemos $\int _{\ln K}^{\infty }p(\ln S_{T})d(\ln S_{T})$. Para hacer esto, usamos la Estandarización para convertir nuestra variable $\ln S_{T}$ en una variable normal estándar $Z\sim N(0,1)$.

Definición de $\ln S_{T}$: En el mundo VNR, $\ln S_{T}$ sigue una distribución normal:

$\ln S_{T}\sim N\left(\mu =\ln S_{t}+\left(r-{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t),\quad {\text{var}}=\sigma ^{2}(T-t)\right)$

Cambio de Variable ($Z$):

$Z={\frac {\ln S_{T}-\left[\ln S_{t}+\left(r-{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}$

Cambio de Límites de Integración: Debemos cambiar el límite inferior de la integral (que es $\ln K$) a la nueva variable $Z$.

${\text{Límite}}={\frac {\ln K-\left[\ln S_{t}+\left(r-{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}$

Reordenando (agrupando $\ln K-\ln S_{t}=\ln(K/S_{t})$):

${\text{Límite}}={\frac {\ln(K/S_{t})-\left(r-{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}$

Sacamos un signo negativo del numerador para invertir el logaritmo:

${\text{Límite}}=-\left[{\frac {-\ln(K/S_{t})+\left(r-{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\right]$

${\text{Límite}}=-\left[{\frac {\ln(S_{t}/K)+\left(r-{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\right]$

Reconocer $d_{2}$: El término dentro del corchete es exactamente nuestra definición de $d_{2}$.

$d_{2}={\frac {\ln(S_{t}/K)+\left(r-{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}$

Por lo tanto, nuestro límite inferior de integración es $-d_{2}$.

La integral se convierte en:

$\int _{-d_{2}}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}Z^{2}}dZ$

Por la simetría de la distribución normal, $\int _{-d_{2}}^{\infty }\dots dZ=\int _{-\infty }^{d_{2}}\dots dZ$. Esta es la definición de la función de distribución acumulada:

$\int _{-d_{2}}^{\infty }p(Z)dZ=N(d_{2})$

Juntamos todo:

Valor Esperado: $E_{\mathbb {Q} }[{\text{Payoff}}]=K\cdot \mathbb {Q} (S_{T}>K)=K\cdot N(d_{2})$

Precio VNR (Valor Presente): $C_{\text{cash}}(S_{t},t)=E_{\mathbb {Q} }[{\text{Payoff}}]\cdot e^{-r(T-t)}$

Sustituyendo, obtenemos la fórmula final:

$C_{\text{cash}}(S_{t},t)=Ke^{-r(T-t)}N(d_{2})$

Opciones Put Cash-or-Nothing (Efectivo o Nada)

Aplicamos los mismos tres pasos (Definir Payoff, Calcular Expectativa, Resolver Integral) para la contraparte de venta (put).

Paso 1: Definir el Payoff

El payoff para una put binaria que paga $K$ es el inverso de la call: se recibe el efectivo si el precio del activo $S_{T}$ es menor que el strike $K$.

${\text{Payoff}}={\begin{cases}K&{\text{si }}S_{T}<K\\0&{\text{si }}S_{T}\geq K\end{cases}}$

En términos logarítmicos, la función de payoff $g(\ln S_{T})$ es:

${\text{Payoff}}(\ln S_{T})={\begin{cases}K&{\text{si }}\ln S_{T}<\ln K\\0&{\text{si }}\ln S_{T}\geq \ln K\end{cases}}$

Paso 2: Calcular el Valor Esperado

Usando LOTUS, la expectativa es la integral del payoff ponderado por la función de densidad de probabilidad $p(\ln S_{T})$:

$E_{\mathbb {Q} }[{\text{Payoff}}]=\int _{-\infty }^{\infty }{\text{Payoff}}(\ln S_{T})\cdot p(\ln S_{T})d(\ln S_{T})$

Esta vez, la integral es no nula en la región debajo del strike, desde $-\infty$ hasta $\ln K$:

$E_{\mathbb {Q} }[{\text{Payoff}}]=\int _{-\infty }^{\ln K}(K)\cdot p(\ln S_{T})d(\ln S_{T})+\int _{\ln K}^{\infty }(0)\cdot p(\ln S_{T})d(\ln S_{T})$

Lo que se simplifica a:

$E_{\mathbb {Q} }[{\text{Payoff}}]=K\int _{-\infty }^{\ln K}p(\ln S_{T})d(\ln S_{T})$

Esto representa $K$ multiplicado por la probabilidad neutral al riesgo $\mathbb {Q} (\ln S_{T}<\ln K)$.

Paso 3: Resolver la Integral (Estandarización)

Estandarizamos la variable $\ln S_{T}$ a $Z\sim N(0,1)$.

El límite superior de nuestra integral es $\ln K$. Como ya se demostró en el cálculo anterior, este límite corresponde a $-d_{2}$ en la variable estandarizada $Z$.

El límite inferior de la integral es $-\infty$, que sigue siendo $-\infty$ en la variable $Z$.

La integral se convierte en:

$\int _{-\infty }^{-d_{2}}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}Z^{2}}dZ$

Por definición, esta es la función de distribución acumulada (CDF) de una variable normal estándar evaluada en el punto $-d_{2}$.

$\int _{-\infty }^{-d_{2}}p(Z)dZ=N(-d_{2})$

Ahora combinamos los resultados:

Valor Esperado: $E_{\mathbb {Q} }[{\text{Payoff}}]=K\cdot \mathbb {Q} (S_{T}<K)=K\cdot N(-d_{2})$

Precio VNR (Valor Presente): $P_{\text{cash}}(S_{t},t)=E_{\mathbb {Q} }[{\text{Payoff}}]\cdot e^{-r(T-t)}$

Sustituyendo, obtenemos la fórmula final:

$P_{\text{cash}}(S_{t},t)=Ke^{-r(T-t)}N(-d_{2})$

Opciones Call Asset-or-Nothing (Activo o Nada)

Paso 1: Definir el Payoff

El payoff para una call "activo o nada" es el valor del activo subyacente, $S_{T}$, pero solo si $S_{T}$ es mayor o igual que el strike $K$ al vencimiento.

${\text{Payoff}}={\begin{cases}S_{T}&{\text{si }}S_{T}\geq K\\0&{\text{si }}S_{T}<K\end{cases}}$

Usando la variable $X=\ln S_{T}$, el payoff ${\text{Payoff}}(X)$ es:

${\text{Payoff}}(X)={\begin{cases}e^{X}&{\text{si }}X\geq \ln K\\0&{\text{si }}X<\ln K\end{cases}}$

Paso 2: Calcular el Valor Esperado

El precio en t es el valor presente del payoff esperado $E_{\mathbb {Q} }[{\text{Payoff}}]$. Usando LOTUS, escribimos esta expectativa como una integral sobre la variable x:

$E_{\mathbb {Q} }[{\text{Payoff}}]=\int _{-\infty }^{\infty }{\text{Payoff}}(x)\cdot f_{X}(x)dx=\int _{\ln K}^{\infty }e^{x}\cdot f_{X}(x)dx$

Donde $f_{X}(x)$ es la función de densidad de $x=\ln S_{T}$, que sigue una distribución $N(\mu ,\sigma ^{2}(T-t))$, con:

$\mu =\ln S_{t}+(r-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2})(T-t)$

Sustituyendo la densidad normal completa:

$E_{\mathbb {Q} }[{\text{Payoff}}]=\int _{\ln K}^{\infty }e^{x}\cdot {\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma {\sqrt {(T-t)}}}}\exp \left[-{\frac {1}{2}}{\frac {(x-\mu )^{2}}{\sigma ^{2}(T-t)}}\right]dx$

Paso 3: Resolver la Integral (Estandarización y Cambios de Variable)

• Primer Cambio de Variable (x → y) Estandarizamos la variable x a $y\sim N(0,1)$:

$y={\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {(T-t)}}}}\implies x=\mu +\sigma {\sqrt {(T-t)}}y,\quad dx=\sigma {\sqrt {(T-t)}}dy$

También transformamos el límite de integración inferior:

$y_{0}={\frac {\ln K-\mu }{\sigma {\sqrt {(T-t)}}}}$

(Como vimos en la Call Cash-or-Nothing, $y_{0}=-d_{2}$).

Sustituimos x, dx y el límite $y_{0}$ en la integral. El término $p(y)$ es la densidad $N(0,1)$:

$E_{\mathbb {Q} }[{\text{Payoff}}]=\int _{y_{0}}^{\infty }e^{\mu +\sigma {\sqrt {(T-t)}}y}\cdot {\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma {\sqrt {(T-t)}}}}e^{-y^{2}/2}(\sigma {\sqrt {(T-t)}}dy)$

Cancelamos los términos $\sigma {\sqrt {(T-t)}}$ y factorizamos $e^{\mu }$:

$E_{\mathbb {Q} }[{\text{Payoff}}]=e^{\mu }\int _{y_{0}}^{\infty }e^{\sigma {\sqrt {(T-t)}}y}\cdot {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-y^{2}/2}dy$

$E_{\mathbb {Q} }[{\text{Payoff}}]=e^{\mu }\int _{y_{0}}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left(\sigma {\sqrt {(T-t)}}y-{\frac {1}{2}}y^{2}\right)dy$

• Completar el Cuadrado en 'y' Manipulamos el exponente dentro de la integral:

$\sigma {\sqrt {(T-t)}}y-{\frac {1}{2}}y^{2}=-{\frac {1}{2}}(y^{2}-2\sigma {\sqrt {(T-t)}}y)=-{\frac {1}{2}}(y-\sigma {\sqrt {(T-t)}})^{2}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(T-t)$

Sustituimos esto de nuevo en la integral:

$E_{\mathbb {Q} }[{\text{Payoff}}]=e^{\mu }\int _{y_{0}}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}(y-\sigma {\sqrt {(T-t)}})^{2}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(T-t)\right)dy$

Factorizamos la constante $e^{{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\tau }$ fuera de la integral:

$E_{\mathbb {Q} }[{\text{Payoff}}]=e^{\mu +{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(T-t)}\int _{y_{0}}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}(y-\sigma {\sqrt {(T-t)}})^{2}\right)dy$

• Segundo Cambio de Variable (y → z) Ahora usamos la variable z para re-centrar la normal:

$z=y-\sigma {\sqrt {(T-t)}}\implies dy=dz$

El integrando ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp(-{\frac {1}{2}}z^{2})$ es la densidad $N(0,1)$ para z. El nuevo límite inferior $z_{0}$ es:

$z_{0}=y_{0}-\sigma {\sqrt {(T-t)}}$

La integral se convierte en la probabilidad de una cola normal:

$\int _{z_{0}}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-z^{2}/2}dz=1-N(z_{0})=N(-z_{0})$

Resolvamos $-z_{0}$ sustituyendo $y_{0}=-d_{2}$:

$-z_{0}=-(y_{0}-\sigma {\sqrt {(T-t)}})=-y_{0}+\sigma {\sqrt {(T-t)}}=-(-d_{2})+\sigma {\sqrt {(T-t)}}=d_{2}+\sigma {\sqrt {(T-t)}}$

Ahora sustituimos la definición de $d_{2}$:

$-z_{0}=\left[{\frac {\ln(S_{t}/K)+(r-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2})(T-t)}{\sigma {\sqrt {(T-t)}}}}\right]+\sigma {\sqrt {(T-t)}}$

$-z_{0}={\frac {\ln(S_{t}/K)+(r-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2})(T-t)+\sigma ^{2}(T-t)}{\sigma {\sqrt {(T-t)}}}}$

$-z_{0}={\frac {\ln(S_{t}/K)+(r+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2})(T-t)}{\sigma {\sqrt {(T-t)}}}}$

Por definición, esto es $d_{1}$. Así, $N(-z_{0})=N(d_{1})$.

• Juntar los Términos de la Expectativa La expectativa es el producto de los dos factores que encontramos:

$E_{\mathbb {Q} }[{\text{Payoff}}]=\left(e^{\mu +{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(T-t)}\right)\cdot \left(N(d_{1})\right)$

Simplificamos el primer factor, sustituyendo $\mu =\ln S_{t}+(r-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2})(T-t)$:

$e^{\mu +{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(T-t)}=e^{\ln S_{t}+(r-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2})(T-t)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(T-t)}=e^{\ln S_{t}+r(T-t)}=S_{t}e^{r(T-t)}$

El valor esperado final es:

$E_{\mathbb {Q} }[{\text{Payoff}}]=S_{t}e^{r(T-t)}N(d_{1})$

El Precio Final

Finalmente, descontamos este valor esperado (multiplicamos por $e^{-r(T-t)}$) para obtener el precio en t.

Valor Esperado: $E_{\mathbb {Q} }[{\text{Payoff}}]=S_{t}e^{r(T-t)}N(d_{1})$

Precio VNR (Valor Presente): $C_{\text{asset}}(S_{t},t)=E_{\mathbb {Q} }[{\text{Payoff}}]\cdot e^{-r(T-t)}$

Sustituyendo:

$C_{\text{asset}}(S_{t},t)=(S_{t}e^{r(T-t)}N(d_{1}))\cdot e^{-r(T-t)}$

Los factores de interés $e^{r(T-t)}$ y $e^{-r(T-t)}$ se cancelan:

$C_{\text{asset}}(S_{t},t)=S_{t}N(d_{1})$

Opciones Put Asset-or-Nothing (Activo o Nada)

Derivamos el precio de una opción que paga el activo subyacente $S_{T}$ si esta expira por debajo del strike $K$ (es decir, in-the-money para una put).

Paso 1: Definir el Payoff

El payoff para una put "activo o nada" es el valor del activo $S_{T}$, pero solo si $S_{T}$ es menor que el strike $K$ al vencimiento.

${\text{Payoff}}={\begin{cases}S_{T}&{\text{si }}S_{T}<K\\0&{\text{si }}S_{T}\geq K\end{cases}}$

Usando la variable $x=\ln S_{T}$, el payoff ${\text{Payoff}}(x)$ es:

${\text{Payoff}}(x)={\begin{cases}e^{x}&{\text{si }}x<\ln K\\0&{\text{si }}x\geq \ln K\end{cases}}$

Paso 2: Calcular el Valor Esperado

El precio de la opción $P_{\text{asset}}(S_{t},t)$ es el valor presente del payoff esperado $E_{\mathbb {Q} }[{\text{Payoff}}]$ bajo la medida neutral al riesgo. Usando LOTUS, la expectativa es:

$E_{\mathbb {Q} }[{\text{Payoff}}]=\int _{-\infty }^{\infty }{\text{Payoff}}(x)\cdot f_{X}(x)dx$

En este caso, la integral es no nula solo en la región donde $x<\ln K$:

$E_{\mathbb {Q} }[{\text{Payoff}}]=\int _{-\infty }^{\ln K}(e^{x})\cdot f_{X}(x)dx$

Recordamos que $f_{X}(x)$ es la densidad de $x=\ln S_{T}$, la cual sigue una distribución $N(\mu ,\sigma ^{2}(T-t))$, donde:

$\mu =\ln S_{t}+(r-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2})(T-t)$

Sustituyendo la densidad $f_{X}(x)$ completa:

$E_{\mathbb {Q} }[{\text{Payoff}}]=\int _{-\infty }^{\ln K}e^{x}\cdot {\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma {\sqrt {T-t}}}}\exp \left[-{\frac {1}{2}}{\frac {(x-\mu )^{2}}{\sigma ^{2}(T-t)}}\right]dx$

Paso 3: Resolver la Integral (Cambios de Variable)

• Primer Cambio de Variable (x $\to$ y)

Estandarizamos la variable $x$ a $y\sim N(0,1)$:

$y={\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\implies x=\mu +\sigma {\sqrt {T-t}}y,\quad dx=\sigma {\sqrt {T-t}}dy$

Transformamos los límites de integración: - Límite superior: $x=\ln K\implies y_{0}={\frac {\ln K-\mu }{\sigma {\sqrt {T-t}}}}$ (Sabemos que $y_{0}=-d_{2}$) - Límite inferior: $x=-\infty \implies y=-\infty$

Sustituimos $x$, $dx$ y los límites en la integral:

$E_{\mathbb {Q} }[{\text{Payoff}}]=\int _{-\infty }^{y_{0}}e^{\mu +\sigma {\sqrt {T-t}}y}\cdot {\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma {\sqrt {T-t}}}}e^{-y^{2}/2}(\sigma {\sqrt {T-t}}dy)$

Cancelamos los términos $\sigma {\sqrt {T-t}}$ y factorizamos $e^{\mu }$:

$E_{\mathbb {Q} }[{\text{Payoff}}]=e^{\mu }\int _{-\infty }^{y_{0}}e^{\sigma {\sqrt {T-t}}y}\cdot {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-y^{2}/2}dy$

$E_{\mathbb {Q} }[{\text{Payoff}}]=e^{\mu }\int _{-\infty }^{y_{0}}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left(\sigma {\sqrt {T-t}}y-{\frac {1}{2}}y^{2}\right)dy$

• Completar el Cuadrado en 'y'

El exponente dentro de la integral es el mismo que en el caso de la Call Asset-or-Nothing:

$\sigma {\sqrt {T-t}}y-{\frac {1}{2}}y^{2}=-{\frac {1}{2}}(y-\sigma {\sqrt {T-t}})^{2}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(T-t)$

Sustituimos esto en la integral:

$E_{\mathbb {Q} }[{\text{Payoff}}]=e^{\mu }\int _{-\infty }^{y_{0}}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}(y-\sigma {\sqrt {T-t}})^{2}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(T-t)\right)dy$

Factorizamos la constante $e^{{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(T-t)}$ fuera de la integral:

$E_{\mathbb {Q} }[{\text{Payoff}}]=e^{\mu +{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(T-t)}\int _{-\infty }^{y_{0}}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}(y-\sigma {\sqrt {T-t}})^{2}\right)dy$

• Segundo Cambio de Variable (y $\to$ z)

Usamos la variable $z\sim N(0,1)$ para re-centrar la normal:

$z=y-\sigma {\sqrt {T-t}}\implies dy=dz$

El integrando es ahora la densidad $N(0,1)$ para $z$. Transformamos los límites: - Límite superior: $y=y_{0}\implies z_{0}=y_{0}-\sigma {\sqrt {T-t}}$ - Límite inferior: $y=-\infty \implies z=-\infty$

La integral se convierte en la función de distribución acumulada (CDF) de una normal estándar:

$\int _{-\infty }^{z_{0}}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-z^{2}/2}dz=N(z_{0})$

Debemos identificar $z_{0}$. Sustituimos $y_{0}=-d_{2}$:

$z_{0}=y_{0}-\sigma {\sqrt {T-t}}=-d_{2}-\sigma {\sqrt {T-t}}$

Revisemos $z_{0}$ usando las definiciones de $d_{1}$ y $d_{2}$:

Sabemos que $-d_{2}={\frac {\ln(K/S_{t})-(r-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2})(T-t)}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}$

Y $z_{0}=-d_{2}-\sigma {\sqrt {T-t}}$:

$z_{0}={\frac {\ln(K/S_{t})-(r-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2})(T-t)}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}-{\frac {\sigma ^{2}(T-t)}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}$

$z_{0}={\frac {\ln(K/S_{t})-r(T-t)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(T-t)-\sigma ^{2}(T-t)}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}$

$z_{0}={\frac {\ln(K/S_{t})-(r+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2})(T-t)}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}=-\left[{\frac {\ln(S_{t}/K)+(r+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2})(T-t)}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\right]$

Esto es, por definición, $-d_{1}$.

Por lo tanto, $z_{0}=-d_{1}$.

La integral se resuelve como $N(z_{0})=N(-d_{1})$.

• Juntar los Términos de la Expectativa

La expectativa es el producto de los dos factores que encontramos:

$E_{\mathbb {Q} }[{\text{Payoff}}]=\left(e^{\mu +{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(T-t)}\right)\cdot \left(N(-d_{1})\right)$

El primer término, $e^{\mu +{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(T-t)}$, es idéntico al del caso de la Call, y se simplifica a:

$e^{\mu +{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(T-t)}=e^{\ln S_{t}+(r-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2})(T-t)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(T-t)}=e^{\ln S_{t}+r(T-t)}=S_{t}e^{r(T-t)}$

El valor esperado final es:

$E_{\mathbb {Q} }[{\text{Payoff}}]=S_{t}e^{r(T-t)}N(-d_{1})$

El Precio Final

Finalmente, descontamos este valor esperado (multiplicamos por $e^{-r(T-t)}$) para obtener el precio en $t$.

Valor Esperado: $E_{\mathbb {Q} }[{\text{Payoff}}]=S_{t}e^{r(T-t)}N(-d_{1})$

Precio VNR (Valor Presente): $P_{\text{asset}}(S_{t},t)=E_{\mathbb {Q} }[{\text{Payoff}}]\cdot e^{-r(T-t)}$

Sustituyendo:

$P_{\text{asset}}(S_{t},t)=(S_{t}e^{r(T-t)}N(-d_{1}))\cdot e^{-r(T-t)}$

Los factores de interés $e^{r(T-t)}$ y $e^{-r(T-t)}$ se cancelan:

$P_{\text{asset}}(S_{t},t)=S_{t}N(-d_{1})$

Conexión de las Opciones Binarias a la Fórmula de Black-Scholes

En esta sección, demostraremos que las opciones europeas estándar (Calls y Puts) son simplemente portafolios de sus contrapartes binarias.

1. Fórmula para una Opción de Compra (Call)

Paso 1: Descomponer el Payoff

El payoff de una call estándar es $\max(S_{T}-K,0)$. Podemos reescribir este payoff como una combinación de los payoffs binarios que ya conocemos:

${\text{Payoff(Call)}}=\max(S_{T}-K,0)={\begin{cases}S_{T}-K&{\text{si }}S_{T}\geq K\\0&{\text{si }}S_{T}<K\end{cases}}$

Esta resta se puede separar en dos partes, ambas activas solo si $S_{T}\geq K$:

• Una parte que paga el activo: $S_{T}\cdot \mathbf {1} _{\{S_{T}\geq K\}}$
• Una parte que paga el efectivo: $K\cdot \mathbf {1} _{\{S_{T}\geq K\}}$

Por lo tanto, el portafolio que replica la call es:

• Comprar 1 Call Asset-or-Nothing (Payoff: $S_{T}$ si $S_{T}\geq K$)
• Vender K unidades de una Call Cash-or-Nothing (Payoff: $-K$ si $S_{T}\geq K$)

$\max(S_{T}-K,0)=(S_{T}\cdot \mathbf {1} _{\{S_{T}\geq K\}})-(K\cdot \mathbf {1} _{\{S_{T}\geq K\}})$

Paso 2: Aplicar la Linealidad de Precios (VNR)

Por el principio de no arbitraje, el precio de un portafolio debe ser la suma (o resta) de los precios de sus componentes. Aplicamos esta lógica a los precios en el tiempo t:

$C(S_{t},t)={\text{Precio(Call Asset-or-Nothing)}}-K\cdot {\text{Precio(Call Cash-or-Nothing)}}$

Paso 3: Sustituir las Fórmulas Binarias

Ahora, simplemente sustituimos las fórmulas que derivamos en las secciones anteriores:

• Precio(Call Asset-or-Nothing) = $S_{t}N(d_{1})$
• Precio(Call Cash-or-Nothing) = $e^{-r(T-t)}N(d_{2})$

Sustituyendo estos precios en la ecuación del portafolio:

$C(S_{t},t)=S_{t}N(d_{1})-K\cdot \left(e^{-r(T-t)}N(d_{2})\right)$

Esta es la Fórmula de Black-Scholes para una Opción de Compra (Call).

2. Fórmula para una Opción de Venta (Put)

Aplicamos exactamente la misma lógica para la opción de venta (put).

Paso 1: Descomponer el Payoff

El payoff de una put estándar es $\max(K-S_{T},0)$.

${\text{Payoff(Put)}}=\max(K-S_{T},0)={\begin{cases}K-S_{T}&{\text{si }}S_{T}<K\\0&{\text{si }}S_{T}\geq K\end{cases}}$

Esta resta se puede separar en dos partes, ambas activas solo si $S_{T}<K$:

• Una parte que paga el efectivo: $K\cdot \mathbf {1} _{\{S_{T}<K\}}$
• Una parte que paga el activo: $S_{T}\cdot \mathbf {1} _{\{S_{T}<K\}}$

El portafolio que replica la put es:

• Comprar K unidades de una Put Cash-or-Nothing (Payoff: $K$ si $S_{T}<K$)
• Vender 1 Put Asset-or-Nothing (Payoff: $-S_{T}$ si $S_{T}<K$)

$\max(K-S_{T},0)=(K\cdot \mathbf {1} _{\{S_{T}<K\}})-(S_{T}\cdot \mathbf {1} _{\{S_{T}<K\}})$

Paso 2: Aplicar la Linealidad de Precios (VNR)

El precio de la put es la resta de los precios de sus componentes:

$P(S_{t},t)=K\cdot {\text{Precio(Put Cash-or-Nothing)}}-{\text{Precio(Put Asset-or-Nothing)}}$

Paso 3: Sustituir las Fórmulas Binarias

Sustituimos las fórmulas de las opciones binarias de venta:

• Precio(Put Cash-or-Nothing) = $e^{-r(T-t)}N(-d_{2})$
• Precio(Put Asset-or-Nothing) = $S_{t}N(-d_{1})$

Sustituyendo estos precios en la ecuación del portafolio:

$P(S_{t},t)=K\cdot \left(e^{-r(T-t)}N(-d_{2})\right)-S_{t}N(-d_{1})$

Esta es la Fórmula de Black-Scholes para una Opción de Venta (Put).

Resumen de Fórmulas

Mediante la combinación de opciones binarias, hemos derivado las dos fórmulas centrales del modelo:

$C(S_{t},t)=S_{t}N(d_{1})-Ke^{-r(T-t)}N(d_{2})$

$P(S_{t},t)=Ke^{-r(T-t)}N(-d_{2})-S_{t}N(-d_{1})$

Donde $d_{1}$ y $d_{2}$ se definen como:

$d_{1}={\frac {\ln(S_{t}/K)+(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}})(T-t)}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}$

$d_{2}={\frac {\ln(S_{t}/K)+(r-{\frac {\sigma ^{2}}{2}})(T-t)}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}$

Valuación de Opciones de Compra y Venta (Calls y Puts)

Una vez establecido el principio de Valoración Neutral al Riesgo (VNR) y el Teorema de Feynman-Kac, podemos encontrar el precio de las opciones estándar (conocidas como "vanilla").

El método VNR establece que el precio de la opción es el valor presente de su payoff (pago) esperado al vencimiento, calculado en el mundo neutral al riesgo (donde el activo $S$ crece a la tasa $r$):

$V(S_{t},t)=E_{\mathbb {Q} }\left[{\text{Payoff}}(S_{T})\right]\cdot e^{-r(T-t)}$

Como se demostró en la sección anterior, una forma intuitiva de resolver esta expectativa es ver las opciones estándar como un portafolio de opciones binarias.

Opción de Compra (Call)

Payoff de la Call

Ejemplo: Long call option

Una opción de compra europea da a su poseedor el derecho (pero no la obligación) de comprar el activo subyacente $S$ a un precio fijo $K$ (strike) en una fecha futura $T$ (vencimiento).

• Si al vencimiento, el precio del activo $S_{T}$ es mayor que el strike $K$, el poseedor ejerce la opción, comprando a $K$ y pudiendo vender a $S_{T}$, con una ganancia de $S_{T}-K$.
• Si $S_{T}$ es menor o igual a $K$, la opción no se ejerce y su valor es cero.

El payoff de la call es:

${\text{Payoff}}_{C}=\max(S_{T}-K,0)$

Fórmula de la Call (Solución VNR)

Como se demostró en la sección de opciones binarias, este payoff puede replicarse perfectamente con la siguiente cartera:

• Comprar 1 Opción Call Asset-or-Nothing (paga $S_{T}$ si $S_{T}>K$)
• Vender $K$ Opciones Call Cash-or-Nothing (paga $K$ si $S_{T}>K$)

El precio de la call estándar es el precio de esta cartera:

$C(S_{t},t)=({\text{Precio de la Call Asset}})-K\cdot ({\text{Precio de la Call Cash}})$

Sustituyendo las fórmulas de las opciones binarias que encontramos:

$C(S_{t},t)=S_{t}N(d_{1})-Ke^{-r(T-t)}N(d_{2})$

Esta es la fórmula de Black-Scholes para una opción de compra (call).

Interpretación de los términos:

• $S_{t}N(d_{1})$ es el precio de la call asset-or-nothing. Representa el valor presente de recibir la acción, ponderado por la probabilidad ajustada $N(d_{1})$.
• $Ke^{-r(T-t)}N(d_{2})$ es el precio de $K$ calls cash-or-nothing. Representa el valor presente de pagar el strike $K$, ponderado por la probabilidad neutral al riesgo $N(d_{2})$ de que esto ocurra.

Opción de Venta (Put)

Payoff de la Put

Una opción de venta europea da a su poseedor el derecho de vender el activo subyacente $S$ a un precio fijo $K$ en la fecha $T$.

• Si al vencimiento, el precio del activo $S_{T}$ es menor que el strike $K$, el poseedor ejerce la opción, comprando en el mercado a $S_{T}$ y vendiendo al precio fijo $K$, con una ganancia de $K-S_{T}$.
• Si $S_{T}$ es mayor o igual a $K$, la opción no se ejerce y su valor es cero.

El payoff de la put es:

${\text{Payoff}}_{P}=\max(K-S_{T},0)$

Fórmula de la Put (Solución VNR)

De manera similar a la call, este payoff se replica con una cartera de binarias:

• Comprar $K$ Opciones Put Cash-or-Nothing (paga $K$ si $S_{T}<K$)
• Vender 1 Opción Put Asset-or-Nothing (paga $S_{T}$ si $S_{T}<K$)

El precio de la put estándar es el precio de esta cartera:

$P(S_{t},t)=K\cdot ({\text{Precio de la Put Cash}})-({\text{Precio de la Put Asset}})$

Sustituyendo las fórmulas de las opciones binarias:

$P(S_{t},t)=Ke^{-r(T-t)}N(-d_{2})-S_{t}N(-d_{1})$

Esta es la fórmula de Black-Scholes para una opción de venta (put).

Sensibilidades y letras griegas para el caso europeo

Los parámetros de la fórmula de Black–Scholes pueden diferenciarse con respecto a las variables de entrada para obtener las llamadas “Greeks”, que miden la sensibilidad del precio de la opción a diferentes factores. Estas sensibilidades son fundamentales en la gestión de riesgos y en las estrategias de cobertura. En la siguiente sección se muestra el procedimiento matemático para obtenerlas.

		Compra (Call)	Venta (Put )
Delta	${\frac {\partial V}{\partial S}}$	$N(d_{+})\,$	$-N(-d_{+})=N(d_{+})-1\,$
Gamma	${\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}$	${\frac {N'(d_{+})}{S\sigma {\sqrt {T-t}}}}\,$
Vega	${\frac {\partial V}{\partial \sigma }}$	$SN'(d_{+}){\sqrt {T-t}}\,$
Theta	${\frac {\partial V}{\partial t}}$	$-{\frac {SN'(d_{+})\sigma }{2{\sqrt {T-t}}}}-rKe^{-r(T-t)}N(d_{-})\,$	$-{\frac {SN'(d_{+})\sigma }{2{\sqrt {T-t}}}}+rKe^{-r(T-t)}N(-d_{-})\,$
Rho	${\frac {\partial V}{\partial r}}$	$K(T-t)e^{-r(T-t)}N(d_{-})\,$	$-K(T-t)e^{-r(T-t)}N(-d_{-})\,$

Desarrollo matemático de las letras griegas

Recordemos que:

• El precio de una opción de compra (call) europea según Black-Scholes es:

$C_{t}=S_{t}N(d_{1})-Ke^{-r(T-t)}N(d_{2})$

donde:

$d_{1}={\frac {\ln(S_{t}/K)+(r+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2})(T-t)}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}$

$d_{2}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}$

Y que:

• El precio de una opción venta (put) europea según Black-Scholes es:

$P_{t}=Ke^{-r(T-t)}N(-d_{2})-S_{t}N(-d_{1})$

donde:

$d_{1}={\frac {\ln(S_{t}/K)+(r+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2})(T-t)}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}$

$d_{2}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}$

El cálculo de las letras griegas se realiza mediante derivadas parciales de las fórmulas de Black-Scholes.

Desarrollo de Delta para una opción de compra (Call)

La delta de una opción mide la sensibilidad del precio de la opción a cambios en el precio del activo subyacente.​

Para obtener la letra griega Delta, derivamos la fórmula del precio de la opción (C) con respecto al precio del activo subyacente.​

$\Delta _{call}={\frac {\partial C_{t}}{\partial S_{t}}}$

Aplicación de la regla del producto y la cadena

Diferenciando con respecto a $S_{t}$:

${\frac {\partial C_{t}}{\partial S_{t}}}={\frac {\partial }{\partial S_{t}}}[S_{t}N(d_{1})]-{\frac {\partial }{\partial S_{t}}}[Ke^{-r(T-t)}N(d_{2})]$

$=\left[N(d_{1})+S_{t}N'(d_{1}){\frac {\partial d_{1}}{\partial S_{t}}}\right]-Ke^{-r(T-t)}N'(d_{2}){\frac {\partial d_{2}}{\partial S_{t}}}$

Relación entre las derivadas de $d_{1}$ y $d_{2}$

Calculamos las derivadas parciales:

${\frac {\partial d_{1}}{\partial S_{t}}}={\frac {1}{S_{t}\sigma {\sqrt {T-t}}}}$

${\frac {\partial d_{2}}{\partial S_{t}}}={\frac {\partial d_{1}}{\partial S_{t}}}={\frac {1}{S_{t}\sigma {\sqrt {T-t}}}}$

Agrupación de términos

Sustituyendo en la expresión anterior:

${\frac {\partial C_{t}}{\partial S_{t}}}=N(d_{1})+{\frac {\partial d_{1}}{\partial S_{t}}}\left[S_{t}N'(d_{1})-Ke^{-r(T-t)}N'(d_{2})\right]$

Demostración de la igualdad clave

Para demostrar que el término entre corchetes es cero:

$S_{t}N'(d_{1})=Ke^{-r(T-t)}N'(d_{2})$

Recordando que $N'(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-x^{2}/2}$:

$S_{t}e^{-d_{1}^{2}/2}=Ke^{-r(T-t)}e^{-d_{2}^{2}/2}$

Tomando logaritmos y usando $d_{2}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}$:

$\ln \left({\frac {S_{t}}{K}}\right)+r(T-t)={\frac {d_{1}^{2}-d_{2}^{2}}{2}}={\frac {(d_{1}-d_{2})(d_{1}+d_{2})}{2}}={\frac {\sigma {\sqrt {T-t}}(2d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}})}{2}}$

Sustituyendo $d_{1}$ se verifica la igualdad, por lo tanto:

$S_{t}N'(d_{1})-Ke^{-r(T-t)}N'(d_{2})=0$

Resultado final

La expresión se simplifica a:

${\frac {\partial C_{t}}{\partial S_{t}}}=N(d_{1})+{\frac {\partial d_{1}}{\partial S_{t}}}\cdot 0=N(d_{1})$

donde:

$N(\cdot )$ es la función de distribución acumulativa normal estándar

Desarrollo de Delta de una Opción de Venta (Put) Europea

$\Delta _{put}={\frac {\partial P_{t}}{\partial S_{t}}}$

Aplicación de la regla del producto y la cadena

Diferenciando con respecto a $S_{t}$:

$\Delta _{P}={\frac {\partial P_{t}}{\partial S_{t}}}={\frac {\partial }{\partial S_{t}}}[Ke^{-r(T-t)}N(-d_{2})]-{\frac {\partial }{\partial S_{t}}}[S_{t}N(-d_{1})]$

Aplicando la regla de la cadena y considerando que ${\frac {d}{dx}}N(-x)=-N'(x)$:

$\Delta _{P}=Ke^{-r(T-t)}\cdot \left[-N'(-d_{2}){\frac {\partial d_{2}}{\partial S_{t}}}\right]-\left[N(-d_{1})+S_{t}\cdot \left[-N'(-d_{1}){\frac {\partial d_{1}}{\partial S_{t}}}\right]\right]$

Simplificación de términos

Desarrollando la expresión:

$\Delta _{P}=-Ke^{-r(T-t)}N'(-d_{2}){\frac {\partial d_{2}}{\partial S_{t}}}-N(-d_{1})+S_{t}N'(-d_{1}){\frac {\partial d_{1}}{\partial S_{t}}}$

Dado que ${\frac {\partial d_{1}}{\partial S_{t}}}={\frac {\partial d_{2}}{\partial S_{t}}}={\frac {1}{S_{t}\sigma {\sqrt {T-t}}}}$ y $N'(-x)=N'(x)$ (por la simetría de la distribución normal):

$\Delta _{P}=-N(-d_{1})+{\frac {\partial d_{1}}{\partial S_{t}}}\left[S_{t}N'(d_{1})-Ke^{-r(T-t)}N'(d_{2})\right]$

Aplicación de la igualdad clave

Como se demostró para el call, se cumple que:

$S_{t}N'(d_{1})-Ke^{-r(T-t)}N'(d_{2})=0$

Por lo tanto, el término entre corchetes es cero:

$\Delta _{P}=-N(-d_{1})+{\frac {\partial d_{1}}{\partial S_{t}}}\cdot 0=-N(-d_{1})$

Resultado final

Usando la propiedad de simetría de la distribución normal $N(-x)=1-N(x)$:

$\Delta _{P}=-[1-N(d_{1})]=N(d_{1})-1$​

Por lo tanto, la Delta de una opción put europea es:

$\Delta _{P}=N(d_{1})-1$

donde:

$N(\cdot )$ es la función de distribución acumulativa normal estándar

Desarrollo de Gamma para una opción de compra (Call) Europea

Gamma ($\Gamma$) mide la tasa de cambio de la delta de una opción en respuesta a movimientos en el precio del activo subyacente. Es la misma tanto para calls como para puts, y mide la convexidad de la posición con respecto al activo subyacente. Es la segunda derivada del precio de la opción con respecto al precio del activo:

$\Gamma ={\frac {\partial \Delta }{\partial S_{t}}}={\frac {\partial ^{2}C_{t}}{\partial S_{t}^{2}}}$

Sabemos por derivaciones anteriores que la delta de una opción call es:

$\Delta =N(d_{1})$

Para encontrar gamma, derivamos $N(d_{1})$ con respecto a $S_{t}$. Aplicando la regla de la cadena:

$\Gamma ={\frac {\partial N(d_{1})}{\partial S_{t}}}=N'(d_{1})\cdot {\frac {\partial d_{1}}{\partial S_{t}}}$

Donde $N'(d_{1})$ es la función de densidad de probabilidad de la distribución normal estándar.

Derivar $d_{1}$ con Respecto a $S_{t}$ Recordemos la fórmula de $d_{1}$:

$d_{1}={\frac {\ln(S_{t}/K)+(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}})(T-t)}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}$

Reescribiendo $\ln(S_{t}/K)$ como $\ln(S_{t})-\ln(K)$ y derivando con respecto a $S_{t}$:

${\frac {\partial d_{1}}{\partial S_{t}}}={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\cdot {\frac {\partial }{\partial S_{t}}}\left[\ln(S_{t})-\ln(K)+(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}})(T-t)\right]$

La derivada de $\ln(S_{t})$ es ${\frac {1}{S_{t}}}$, y la derivada de los términos constantes es cero:

${\frac {\partial d_{1}}{\partial S_{t}}}={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\cdot {\frac {1}{S_{t}}}={\frac {1}{S_{t}\sigma {\sqrt {T-t}}}}$

Resultado Final

Sustituyendo en la ecuación original de gamma:

$\Gamma =N'(d_{1})\cdot \left({\frac {1}{S_{t}\sigma {\sqrt {T-t}}}}\right)$​

Por lo tanto, la fórmula final para gamma es:

$\Gamma ={\frac {N'(d_{1})}{S_{t}\sigma {\sqrt {T-t}}}}$

donde:

$N'(d_{1})={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-d_{1}^{2}/2}$ es la función de densidad de probabilidad normal estándar

$S_{t}$ es el precio del activo subyacente

$\sigma$ es la volatilidad del activo subyacente

$T-t$ es el tiempo hasta el vencimiento

Interpretación: Una gamma alta indica que la delta de la opción es muy sensible a cambios en el precio del subyacente, lo que puede generar mayores ganancias (o pérdidas) para el tenedor de la opción.

Desarrollo de Gamma para una opción de Venta (Put) Europea

Como se mencionó, Gamma ($\Gamma$) es idéntica para las opciones call y put europeas bajo el modelo Black-Scholes. Este es un resultado directo de la Paridad Put-Call.

Demostración mediante la Paridad Put-Call

La paridad put-call establece la siguiente relación entre los precios de una call y una put con el mismo subyacente, precio de ejercicio y vencimiento:

$C_{t}-P_{t}=S_{t}-Ke^{-r(T-t)}$

Donde:

$C_{t}$ es el precio de la call

$P_{t}$ es el precio de la put

Para encontrar la gamma, tomamos la segunda derivada de esta ecuación con respecto a $S_{t}$:

${\frac {\partial ^{2}C_{t}}{\partial S_{t}^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}P_{t}}{\partial S_{t}^{2}}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial S_{t}^{2}}}(S_{t}-Ke^{-r(T-t)})$

El lado derecho de la ecuación se simplifica notablemente:

La derivada de $S_{t}$ es 1.

La segunda derivada de una constante ($Ke^{-r(T-t)}$) es 0.

La segunda derivada de $S_{t}$ (que es 1) es también 0.

Por lo tanto:

${\frac {\partial ^{2}C_{t}}{\partial S_{t}^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}P_{t}}{\partial S_{t}^{2}}}=0$

Lo que implica directamente:

${\frac {\partial ^{2}C_{t}}{\partial S_{t}^{2}}}={\frac {\partial ^{2}P_{t}}{\partial S_{t}^{2}}}$

Y por definición:

$\Gamma _{call}=\Gamma _{put}$

Dado que la gamma es la segunda derivada del precio de la opción con respecto al precio del subyacente, y la paridad put-call muestra que los precios de la call y la put solo difieren en una función lineal de $S_{t}$ ($S_{t}-Ke^{-r(T-t)}$), cuyas segundas derivadas son cero, se concluye que:

$\Gamma ={\frac {N'(d_{1})}{S_{t}\sigma {\sqrt {T-t}}}}$​

Es la fórmula universal para la gamma de ambas opciones, call y put europeas.

Interpretación:

Un trader con una posición delta-neutral que esté protegido contra pequeños movimientos del subyacente, estará expuesto de la misma manera a movimientos más grandes (riesgo gamma) sin importar si su posición inicial fue construida con calls o con puts.

Desarrollo de Theta para una opción de compra (Call) Europea

Theta ($\Theta$) mide la sensibilidad del precio de la opción al paso del tiempo, conocido como "decaimiento temporal". Se define como la derivada negativa del precio de la opción con respecto al tiempo:​

Comenzamos con la fórmula de Black-Scholes para una opción call:

$C_{t}=S_{t}N(d_{1})-Ke^{-r(T-t)}N(d_{2})$

Derivamos esta expresión con respecto a $t$:

${\frac {\partial C_{t}}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial t}}[S_{t}N(d_{1})]-{\frac {\partial }{\partial t}}[Ke^{-r(T-t)}N(d_{2})]$

Aplicando las Reglas de Derivación

Término 1: ${\frac {\partial }{\partial t}}[S_{t}N(d_{1})]$

Aplicando la regla de la cadena:

${\frac {\partial }{\partial t}}[S_{t}N(d_{1})]=S_{t}\cdot N'(d_{1})\cdot {\frac {\partial d_{1}}{\partial t}}$

Término 2: ${\frac {\partial }{\partial t}}[Ke^{-r(T-t)}N(d_{2})]$

Aplicando la regla del producto:

${\frac {\partial }{\partial t}}[Ke^{-r(T-t)}N(d_{2})]=\left[{\frac {\partial }{\partial t}}Ke^{-r(T-t)}\right]N(d_{2})+Ke^{-r(T-t)}\left[{\frac {\partial }{\partial t}}N(d_{2})\right]$

Calculando cada derivada:

${\frac {\partial }{\partial t}}Ke^{-r(T-t)}=rKe^{-r(T-t)}$

${\frac {\partial }{\partial t}}N(d_{2})=N'(d_{2})\cdot {\frac {\partial d_{2}}{\partial t}}$

Combinando los términos:

${\frac {\partial C_{t}}{\partial t}}=S_{t}N'(d_{1}){\frac {\partial d_{1}}{\partial t}}-rKe^{-r(T-t)}N(d_{2})-Ke^{-r(T-t)}N'(d_{2}){\frac {\partial d_{2}}{\partial t}}$

Simplificación usando la Identidad Clave

Usando la identidad $S_{t}N'(d_{1})=Ke^{-r(T-t)}N'(d_{2})$:

${\frac {\partial C_{t}}{\partial t}}=S_{t}N'(d_{1}){\frac {\partial d_{1}}{\partial t}}-rKe^{-r(T-t)}N(d_{2})-S_{t}N'(d_{1}){\frac {\partial d_{2}}{\partial t}}$

Factorizando:

${\frac {\partial C_{t}}{\partial t}}=S_{t}N'(d_{1})\left({\frac {\partial d_{1}}{\partial t}}-{\frac {\partial d_{2}}{\partial t}}\right)-rKe^{-r(T-t)}N(d_{2})$

Derivando la Diferencia $(d_{1}-d_{2})$

De la relación $d_{2}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}$, tenemos:

$d_{1}-d_{2}=\sigma {\sqrt {T-t}}$

Derivando con respecto a $t$:

${\frac {\partial }{\partial t}}(d_{1}-d_{2})={\frac {\partial }{\partial t}}(\sigma {\sqrt {T-t}})$

${\frac {\partial d_{1}}{\partial t}}-{\frac {\partial d_{2}}{\partial t}}=-{\frac {\sigma }{2{\sqrt {T-t}}}}$

Sustituyendo en la ecuación anterior:

${\frac {\partial C_{t}}{\partial t}}=S_{t}N'(d_{1})\left(-{\frac {\sigma }{2{\sqrt {T-t}}}}\right)-rKe^{-r(T-t)}N(d_{2})$

${\frac {\partial C_{t}}{\partial t}}=-{\frac {S_{t}N'(d_{1})\sigma }{2{\sqrt {T-t}}}}-rKe^{-r(T-t)}N(d_{2})$

Aplicando la definición de theta:

$\Theta =-{\frac {\partial C_{t}}{\partial t}}={\frac {S_{t}N'(d_{1})\sigma }{2{\sqrt {T-t}}}}+rKe^{-r(T-t)}N(d_{2})$

Por lo tanto, la fórmula final para theta de una call es:

$\Theta _{call}={\frac {S_{t}N'(d_{1})\sigma }{2{\sqrt {T-t}}}}+rKe^{-r(T-t)}N(d_{2})$​

donde:

$N'(d_{1})={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-d_{1}^{2}/2}$ es la función de densidad de probabilidad normal

$S_{t}$ es el precio del activo subyacente

$K$ es el precio de ejercicio

$r$ es la tasa de interés libre de riesgo

$T-t$ es el tiempo hasta el vencimiento

$\sigma$ es la volatilidad del activo

Interpretación: Theta representa la pérdida diaria en el valor de la opción debido al paso del tiempo, manteniendo constantes todos los demás factores.

Desarrollo de Theta para una opción de venta (Put) Europea

Theta ($\Theta$) para una opción put mide el decaimiento temporal y se define como la derivada negativa del precio de la put con respecto al tiempo:

Comenzamos con la fórmula de Black-Scholes para una opción put:

$P_{t}=Ke^{-r(T-t)}N(-d_{2})-S_{t}N(-d_{1})$

Derivamos esta expresión con respecto a $t$:

${\frac {\partial P_{t}}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial t}}[Ke^{-r(T-t)}N(-d_{2})]-{\frac {\partial }{\partial t}}[S_{t}N(-d_{1})]$

Aplicando las Reglas de Derivación

Término 1: ${\frac {\partial }{\partial t}}[Ke^{-r(T-t)}N(-d_{2})]$

Aplicando la regla del producto:

${\frac {\partial }{\partial t}}[Ke^{-r(T-t)}N(-d_{2})]=\left[{\frac {\partial }{\partial t}}Ke^{-r(T-t)}\right]N(-d_{2})+Ke^{-r(T-t)}\left[{\frac {\partial }{\partial t}}N(-d_{2})\right]$

Calculando cada derivada:

${\frac {\partial }{\partial t}}Ke^{-r(T-t)}=rKe^{-r(T-t)}$

${\frac {\partial }{\partial t}}N(-d_{2})=N'(-d_{2})\cdot (-1)\cdot {\frac {\partial d_{2}}{\partial t}}=-N'(-d_{2}){\frac {\partial d_{2}}{\partial t}}$

Combinando:

${\frac {\partial }{\partial t}}[Ke^{-r(T-t)}N(-d_{2})]=rKe^{-r(T-t)}N(-d_{2})-Ke^{-r(T-t)}N'(-d_{2}){\frac {\partial d_{2}}{\partial t}}$

Término 2: ${\frac {\partial }{\partial t}}[S_{t}N(-d_{1})]$ Aplicando la regla de la cadena:

${\frac {\partial }{\partial t}}[S_{t}N(-d_{1})]=S_{t}\cdot N'(-d_{1})\cdot (-1)\cdot {\frac {\partial d_{1}}{\partial t}}=-S_{t}N'(-d_{1}){\frac {\partial d_{1}}{\partial t}}$

Combinando ambos términos:

${\frac {\partial P_{t}}{\partial t}}=rKe^{-r(T-t)}N(-d_{2})-Ke^{-r(T-t)}N'(-d_{2}){\frac {\partial d_{2}}{\partial t}}+S_{t}N'(-d_{1}){\frac {\partial d_{1}}{\partial t}}$

Simplificación usando Propiedades de Simetría e Identidades

Usando la simetría de la distribución normal $N'(-x)=N'(x)$:

${\frac {\partial P_{t}}{\partial t}}=rKe^{-r(T-t)}N(-d_{2})-Ke^{-r(T-t)}N'(d_{2}){\frac {\partial d_{2}}{\partial t}}+S_{t}N'(d_{1}){\frac {\partial d_{1}}{\partial t}}$

Aplicando la identidad $S_{t}N'(d_{1})=Ke^{-r(T-t)}N'(d_{2})$:

${\frac {\partial P_{t}}{\partial t}}=rKe^{-r(T-t)}N(-d_{2})-S_{t}N'(d_{1}){\frac {\partial d_{2}}{\partial t}}+S_{t}N'(d_{1}){\frac {\partial d_{1}}{\partial t}}$

Factorizando:

${\frac {\partial P_{t}}{\partial t}}=rKe^{-r(T-t)}N(-d_{2})+S_{t}N'(d_{1})\left({\frac {\partial d_{1}}{\partial t}}-{\frac {\partial d_{2}}{\partial t}}\right)$

Derivando la Diferencia $(d_{1}-d_{2})$

De la relación $d_{2}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}$:

$d_{1}-d_{2}=\sigma {\sqrt {T-t}}$

Derivando con respecto a $t$:

${\frac {\partial }{\partial t}}(d_{1}-d_{2})={\frac {\partial }{\partial t}}(\sigma {\sqrt {T-t}})$

${\frac {\partial d_{1}}{\partial t}}-{\frac {\partial d_{2}}{\partial t}}=-{\frac {\sigma }{2{\sqrt {T-t}}}}$

Sustituyendo en la ecuación anterior:

${\frac {\partial P_{t}}{\partial t}}=rKe^{-r(T-t)}N(-d_{2})+S_{t}N'(d_{1})\left(-{\frac {\sigma }{2{\sqrt {T-t}}}}\right)$

${\frac {\partial P_{t}}{\partial t}}=-{\frac {S_{t}N'(d_{1})\sigma }{2{\sqrt {T-t}}}}+rKe^{-r(T-t)}N(-d_{2})$

Aplicando la definición de theta:

$\Theta _{p}=-{\frac {\partial P_{t}}{\partial t}}={\frac {S_{t}N'(d_{1})\sigma }{2{\sqrt {T-t}}}}-rKe^{-r(T-t)}N(-d_{2})$

Por lo tanto, la fórmula final para theta de una put es:

$\Theta _{p}={\frac {S_{t}N'(d_{1})\sigma }{2{\sqrt {T-t}}}}-rKe^{-r(T-t)}N(-d_{2})$​

donde:

$N'(d_{1})={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-d_{1}^{2}/2}$ es la función de densidad de probabilidad normal

$N(-d_{2})=1-N(d_{2})$ por la simetría de la distribución normal

$S_{t}$ es el precio del activo subyacente

$K$ es el precio de ejercicio

$r$ es la tasa de interés libre de riesgo

$T-t$ es el tiempo hasta el vencimiento

$\sigma$ es la volatilidad del activo

Interpretación: Para una opción put, theta puede ser positivo o negativo dependiendo de si la opción está in-the-money o out-of-the-money, reflejando el diferente comportamiento del decaimiento temporal en puts versus calls.

Desarrollo de Vega para Opciones Compra (Call) y Venta Put Europeas

Vega ($\nu$) mide la sensibilidad del precio de la opción a cambios en la volatilidad del activo subyacente. Es la misma para calls y puts, y siempre positiva, ya que una mayor volatilidad incrementa el valor de la opción.

Definición:

$\nu ={\frac {\partial C_{t}}{\partial \sigma }}={\frac {\partial P_{t}}{\partial \sigma }}$

Comenzamos con la fórmula de Black-Scholes para una opción call:

$C_{t}=S_{t}N(d_{1})-Ke^{-r(T-t)}N(d_{2})$

Aplicamos la derivada parcial con respecto a la volatilidad $\sigma$:

$\nu ={\frac {\partial C_{t}}{\partial \sigma }}=S_{t}{\frac {\partial N(d_{1})}{\partial \sigma }}-Ke^{-r(T-t)}{\frac {\partial N(d_{2})}{\partial \sigma }}$

Aplicando la regla de la cadena:

$\nu =S_{t}N'(d_{1}){\frac {\partial d_{1}}{\partial \sigma }}-Ke^{-r(T-t)}N'(d_{2}){\frac {\partial d_{2}}{\partial \sigma }}$

Aplicación de la Identidad Clave

Usando la identidad fundamental: $S_{t}N'(d_{1})=Ke^{-r(T-t)}N'(d_{2})$:

$\nu =S_{t}N'(d_{1}){\frac {\partial d_{1}}{\partial \sigma }}-S_{t}N'(d_{1}){\frac {\partial d_{2}}{\partial \sigma }}$

Factorizando:

$\nu =S_{t}N'(d_{1})\left({\frac {\partial d_{1}}{\partial \sigma }}-{\frac {\partial d_{2}}{\partial \sigma }}\right)$

Derivando la Diferencia $(d_{1}-d_{2})$

De la relación $d_{2}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}$:

$d_{1}-d_{2}=\sigma {\sqrt {T-t}}$

Derivando con respecto a $\sigma$:

${\frac {\partial }{\partial \sigma }}(d_{1}-d_{2})={\frac {\partial }{\partial \sigma }}(\sigma {\sqrt {T-t}})$

${\frac {\partial d_{1}}{\partial \sigma }}-{\frac {\partial d_{2}}{\partial \sigma }}={\sqrt {T-t}}$

Sustituyendo en la ecuación anterior:

$\nu =S_{t}N'(d_{1})\cdot {\sqrt {T-t}}$

Por lo tanto, la fórmula final para vega es:

$\nu =S_{t}N'(d_{1}){\sqrt {T-t}}$

donde:

$N'(d_{1})={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-d_{1}^{2}/2}$ es la función de densidad de probabilidad normal estándar

$S_{t}$ es el precio del activo subyacente

$T-t$ es el tiempo hasta el vencimiento

Demostración de que Vega es igual para Compra y Venta

Usando la paridad put-call:

$C_{t}-P_{t}=S_{t}-Ke^{-r(T-t)}$

Derivando con respecto a $\sigma$:

${\frac {\partial C_{t}}{\partial \sigma }}-{\frac {\partial P_{t}}{\partial \sigma }}=0$

$\nu _{call}=\nu _{put}$​

Interpretación: Vega representa el cambio en el precio de la opción por un cambio del 1% en la volatilidad implícita del activo subyacente.

Desarrollo de Rho para Opciones Compra (Call) Europeas

Rho ($\rho$) mide la sensibilidad del precio de la opción a cambios en la tasa de interés libre de riesgo.​

Comenzamos con la fórmula de Black-Scholes para una opción call:

$C_{t}=S_{t}N(d_{1})-Ke^{-r(T-t)}N(d_{2})$

Derivamos esta expresión con respecto a $r$:

${\frac {\partial C_{t}}{\partial r}}={\frac {\partial }{\partial r}}[S_{t}N(d_{1})]-{\frac {\partial }{\partial r}}[Ke^{-r(T-t)}N(d_{2})]$

Aplicando las Reglas de Derivación

Término 1: ${\frac {\partial }{\partial r}}[S_{t}N(d_{1})]$

Aplicando la regla de la cadena:

${\frac {\partial }{\partial r}}[S_{t}N(d_{1})]=S_{t}\cdot N'(d_{1})\cdot {\frac {\partial d_{1}}{\partial r}}$

Término 2: ${\frac {\partial }{\partial r}}[Ke^{-r(T-t)}N(d_{2})]$

Aplicando la regla del producto:

${\frac {\partial }{\partial r}}[Ke^{-r(T-t)}N(d_{2})]=\left[{\frac {\partial }{\partial r}}Ke^{-r(T-t)}\right]N(d_{2})+Ke^{-r(T-t)}\left[{\frac {\partial }{\partial r}}N(d_{2})\right]$

Calculando cada derivada:

${\frac {\partial }{\partial r}}Ke^{-r(T-t)}=-K(T-t)e^{-r(T-t)}$

${\frac {\partial }{\partial r}}N(d_{2})=N'(d_{2})\cdot {\frac {\partial d_{2}}{\partial r}}$

Combinando:

${\frac {\partial C_{t}}{\partial r}}=S_{t}N'(d_{1}){\frac {\partial d_{1}}{\partial r}}+K(T-t)e^{-r(T-t)}N(d_{2})-Ke^{-r(T-t)}N'(d_{2}){\frac {\partial d_{2}}{\partial r}}$

Aplicación de la Identidad Clave

Reordenando y agrupando términos:

${\frac {\partial C_{t}}{\partial r}}=\left[S_{t}N'(d_{1}){\frac {\partial d_{1}}{\partial r}}-Ke^{-r(T-t)}N'(d_{2}){\frac {\partial d_{2}}{\partial r}}\right]+K(T-t)e^{-r(T-t)}N(d_{2})$

Usando la identidad $S_{t}N'(d_{1})=Ke^{-r(T-t)}N'(d_{2})$:

${\frac {\partial C_{t}}{\partial r}}=S_{t}N'(d_{1})\left({\frac {\partial d_{1}}{\partial r}}-{\frac {\partial d_{2}}{\partial r}}\right)+K(T-t)e^{-r(T-t)}N(d_{2})$

Derivando la Diferencia $(d_{1}-d_{2})$

De la relación $d_{2}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}$:

$d_{1}-d_{2}=\sigma {\sqrt {T-t}}$

Derivando con respecto a $r$:

${\frac {\partial }{\partial r}}(d_{1}-d_{2})={\frac {\partial }{\partial r}}(\sigma {\sqrt {T-t}})=0$

${\frac {\partial d_{1}}{\partial r}}-{\frac {\partial d_{2}}{\partial r}}=0$

Resultado Final

Sustituyendo en la ecuación anterior:

${\frac {\partial C_{t}}{\partial r}}=S_{t}N'(d_{1})\cdot 0+K(T-t)e^{-r(T-t)}N(d_{2})$

Por lo tanto, la fórmula final para rho de una call es:

$\rho _{call}=K(T-t)e^{-r(T-t)}N(d_{2})$​

donde:

$N(d_{2})$ es la función de distribución acumulativa normal estándar

$K$ es el precio de ejercicio

$T-t$ es el tiempo hasta el vencimiento

$r$ es la tasa de interés libre de riesgo

Interpretación: Rho es positivo para las opciones call, lo que significa que su precio aumenta cuando las tasas de interés suben. Esto se debe a que un aumento en las tasas reduce el valor presente del precio de ejercicio, haciendo que el derecho a comprar el activo en el futuro sea más valioso.

Desarrollo de Rho para Opciones Venta (Put) Europeas

Comenzamos con la fórmula de Black-Scholes para una opción put:

$P_{t}=Ke^{-r(T-t)}N(-d_{2})-S_{t}N(-d_{1})$

Derivamos esta expresión con respecto a $r$:

${\frac {\partial P_{t}}{\partial r}}={\frac {\partial }{\partial r}}[Ke^{-r(T-t)}N(-d_{2})]-{\frac {\partial }{\partial r}}[S_{t}N(-d_{1})]$

Aplicando las Reglas de Derivación

Término 1: ${\frac {\partial }{\partial r}}[Ke^{-r(T-t)}N(-d_{2})]$

Aplicando la regla del producto:

${\frac {\partial }{\partial r}}[Ke^{-r(T-t)}N(-d_{2})]=\left[{\frac {\partial }{\partial r}}Ke^{-r(T-t)}\right]N(-d_{2})+Ke^{-r(T-t)}\left[{\frac {\partial }{\partial r}}N(-d_{2})\right]$

Calculando cada derivada:

${\frac {\partial }{\partial r}}Ke^{-r(T-t)}=-K(T-t)e^{-r(T-t)}$

${\frac {\partial }{\partial r}}N(-d_{2})=N'(-d_{2})\cdot (-1)\cdot {\frac {\partial d_{2}}{\partial r}}=-N'(-d_{2}){\frac {\partial d_{2}}{\partial r}}$

Combinando:

${\frac {\partial }{\partial r}}[Ke^{-r(T-t)}N(-d_{2})]=-K(T-t)e^{-r(T-t)}N(-d_{2})-Ke^{-r(T-t)}N'(-d_{2}){\frac {\partial d_{2}}{\partial r}}$

Término 2: ${\frac {\partial }{\partial r}}[S_{t}N(-d_{1})]$

Aplicando la regla de la cadena:

${\frac {\partial }{\partial r}}[S_{t}N(-d_{1})]=S_{t}\cdot N'(-d_{1})\cdot (-1)\cdot {\frac {\partial d_{1}}{\partial r}}=-S_{t}N'(-d_{1}){\frac {\partial d_{1}}{\partial r}}$

Combinando ambos términos:

${\frac {\partial P_{t}}{\partial r}}=-K(T-t)e^{-r(T-t)}N(-d_{2})-Ke^{-r(T-t)}N'(-d_{2}){\frac {\partial d_{2}}{\partial r}}+S_{t}N'(-d_{1}){\frac {\partial d_{1}}{\partial r}}$

Aplicación de Propiedades de Simetría e Identidades

Usando la simetría de la distribución normal $N'(-x)=N'(x)$:

${\frac {\partial P_{t}}{\partial r}}=-K(T-t)e^{-r(T-t)}N(-d_{2})-Ke^{-r(T-t)}N'(d_{2}){\frac {\partial d_{2}}{\partial r}}+S_{t}N'(d_{1}){\frac {\partial d_{1}}{\partial r}}$

Reordenando y agrupando términos:

${\frac {\partial P_{t}}{\partial r}}=-K(T-t)e^{-r(T-t)}N(-d_{2})+\left[S_{t}N'(d_{1}){\frac {\partial d_{1}}{\partial r}}-Ke^{-r(T-t)}N'(d_{2}){\frac {\partial d_{2}}{\partial r}}\right]$

Usando la identidad $S_{t}N'(d_{1})=Ke^{-r(T-t)}N'(d_{2})$:

${\frac {\partial P_{t}}{\partial r}}=-K(T-t)e^{-r(T-t)}N(-d_{2})+S_{t}N'(d_{1})\left({\frac {\partial d_{1}}{\partial r}}-{\frac {\partial d_{2}}{\partial r}}\right)$

Derivando la Diferencia $(d_{1}-d_{2})$

De la relación $d_{2}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}$:

$d_{1}-d_{2}=\sigma {\sqrt {T-t}}$

Derivando con respecto a $r$:

${\frac {\partial }{\partial r}}(d_{1}-d_{2})={\frac {\partial }{\partial r}}(\sigma {\sqrt {T-t}})=0$

${\frac {\partial d_{1}}{\partial r}}-{\frac {\partial d_{2}}{\partial r}}=0$

Resultado Final

Sustituyendo en la ecuación anterior:

${\frac {\partial P_{t}}{\partial r}}=-K(T-t)e^{-r(T-t)}N(-d_{2})+S_{t}N'(d_{1})\cdot 0$

Por lo tanto, la fórmula final para rho de una put es:

$\rho _{put}=-K(T-t)e^{-r(T-t)}N(-d_{2})$

Usando la propiedad de simetría $N(-d_{2})=1-N(d_{2})$, también podemos expresarlo como:

$\rho _{put}=-K(T-t)e^{-r(T-t)}[1-N(d_{2})]$​

donde:

$N(-d_{2})$ es la función de distribución acumulativa normal estándar

$K$ es el precio de ejercicio

$T-t$ es el tiempo hasta el vencimiento

$r$ es la tasa de interés libre de riesgo

Interpretación: Rho es negativo para las opciones put, lo que significa que su precio disminuye cuando las tasas de interés suben. Esto se debe a que un aumento en las tasas hace que el derecho a vender el activo en el futuro sea menos valioso, ya que el valor presente del precio de ejercicio recibido disminuye.

Deducción alternativa de la ecuación de Black-Scholes

La deducción se basa en un argumento de no arbitraje. La idea es construir una cartera teórica que elimine todo el riesgo (específicamente, el riesgo aleatorio del mercado) y, por el principio de no arbitraje, esta cartera sin riesgo debe rendir exactamente la tasa de interés libre de riesgo. El proceso consta de tres pasos:

1. Modelar el movimiento del precio del activo subyacente $S(t)$ y de la opción $V(S,t)$ usando el Lema de Itô.

2. Construir una cartera de cobertura (delta-neutral) que elimine el riesgo aleatorio.

3. Aplicar el argumento de no arbitraje para igualar el rendimiento de la cartera a la tasa de interés libre de riesgo.

1. Lema de Itô y el Movimiento de los Precios

El modelo asume que el precio del activo subyacente $S(t)$ sigue un movimiento browniano geométrico, descrito por la siguiente Ecuación Diferencial Estocástica (EDE):

$dS_{t}=\mu S_{t}dt+\sigma S_{t}dW_{t}$

Donde:

• $\mu$ (mu) es el rendimiento esperado instantáneo (deriva) del activo
• $\sigma$ (sigma) es la volatilidad instantánea del activo
• $dW_{t}$ es un proceso de Wiener, que representa el componente aleatorio del movimiento del precio

El precio de la opción, $V$, es una función del precio del activo $S$ y del tiempo $t$, es decir, $V(S,t)$. Para encontrar cómo cambia $V$ en el tiempo, aplicamos el Lema de Itô:

$dV=\left({\frac {\partial V}{\partial t}}+\mu S_{t}{\frac {\partial V}{\partial S}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S_{t}^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}\right)dt+\left(\sigma S_{t}{\frac {\partial V}{\partial S}}\right)dW_{t}$

Para simplificar la notación, usaremos las letras griegas:

• $\Delta ={\frac {\partial V}{\partial S}}$ (Delta)
• $\Gamma ={\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}$ (Gamma)
• $\Theta ={\frac {\partial V}{\partial t}}$ (Theta)

Sustituyendo estas en la ecuación de $dV$:

$dV=\left(\Theta +\mu S_{t}\Delta +{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S_{t}^{2}\Gamma \right)dt+(\sigma S_{t}\Delta )dW_{t}$

2. Construcción de la Cartera de Cobertura

Ahora, creamos una cartera, $\Pi$, que elimine el riesgo. Esto se hace tomando posiciones opuestas en el activo y en la opción. Construimos la cartera para que sea "delta-neutral":

• Vendemos 1 unidad de la opción. Valor: $-V$
• Compramos $\Delta$ unidades del activo subyacente. Valor: $+\Delta S_{t}$

El valor total de nuestra cartera $\Pi$ es:

$\Pi =-V+\Delta S_{t}$

El cambio instantáneo en el valor de esta cartera, $d\Pi$, es la suma de los cambios en sus componentes:

$d\Pi =-dV+\Delta dS_{t}$

Ahora, sustituimos las ecuaciones para $dV$ (del Lema de Itô) y $dS_{t}$ (del movimiento browniano) en la ecuación de $d\Pi$:

$d\Pi =-\left[(\Theta +\mu S_{t}\Delta +{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S_{t}^{2}\Gamma )dt+(\sigma S_{t}\Delta )dW_{t}\right]+\Delta \left[\mu S_{t}dt+\sigma S_{t}dW_{t}\right]$

Agrupamos los términos por $dt$ (determinísticos) y $dW_{t}$ (aleatorios):

Términos $dW_{t}$ (Riesgo):

$-(\sigma S_{t}\Delta )dW_{t}+(\Delta \sigma S_{t})dW_{t}=0$

Términos $dt$ (Deriva):

$-(\Theta +\mu S_{t}\Delta +{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S_{t}^{2}\Gamma )dt+(\Delta \mu S_{t})dt$

Al elegir comprar exactamente $\Delta$ acciones, los términos aleatorios $dW_{t}$ se cancelan perfectamente. Esto es el núcleo de la cobertura delta. La cartera ahora está libre de riesgo.

Simplifiquemos los términos $dt$ restantes:

$d\Pi =\left(-\Theta -\mu S_{t}\Delta -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S_{t}^{2}\Gamma +\mu S_{t}\Delta \right)dt$

$d\Pi =\left(-\Theta -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S_{t}^{2}\Gamma \right)dt$

Notablemente, el rendimiento esperado del activo, $\mu$, también ha desaparecido. El cambio en nuestra cartera ahora es completamente determinístico.

3. Argumento de No Arbitraje y la EDP

Hemos construido una cartera, $\Pi$, cuyo rendimiento $d\Pi$ es instantáneamente libre de riesgo. Por el principio de no arbitraje, cualquier activo o cartera sin riesgo debe rendir exactamente la tasa de interés libre de riesgo, $r$.

Por lo tanto, el cambio en nuestra cartera ($d\Pi$) debe ser igual al valor de la cartera ($\Pi$) ganando intereses $r$ durante el tiempo $dt$:

$d\Pi =r\Pi dt$

Sustituimos el valor de $\Pi =-V+\Delta S_{t}$:

$d\Pi =r(-V+\Delta S_{t})dt$

Ahora, tenemos dos expresiones para $d\Pi$ que deben ser iguales:

$\left(-\Theta -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S_{t}^{2}\Gamma \right)dt=r(-V+\Delta S_{t})dt$

Dividimos por $dt$ y sustituimos las letras griegas por sus definiciones en derivadas parciales:

$-{\frac {\partial V}{\partial t}}-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}=r\left(-V+S{\frac {\partial V}{\partial S}}\right)$

$-{\frac {\partial V}{\partial t}}-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}=-rV+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}$

Finalmente, reordenamos todos los términos a un lado de la ecuación para igualarla a cero, obteniendo la Ecuación Diferencial Parcial de Black-Scholes:

${\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0$

Solución de la Ecuación (Teorema de Feynman-Kac)

Existen dos formas de ver el mismo problema:

1. EDP de Black-Scholes:

${\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0$

2. Valoración Neutral al Riesgo (VNR):

$V(S_{t},t)=E_{\mathbb {Q} }\left[{\text{Payoff}}(S_{T})\right]\cdot e^{-r(T-t)}$

El Teorema de Feynman-Kac establece que la solución a una EDP de un tipo específico (al cual pertenece la ecuación de Black-Scholes) es exactamente la fórmula de valor esperado que propone la VNR.

En esencia, el teorema nos da la base matemática para resolver la EDP mediante el método (más simple) de la expectativa estadística.

Aplicación del Teorema para Obtener las Fórmulas

Distribución log-normal.

Gracias al Teorema de Feynman-Kac, podemos usar el método VNR para encontrar las fórmulas explícitas para una call y una put europeas. El problema se reduce a calcular el valor esperado del payoff en un mundo neutral al riesgo, donde el precio de la acción $S_{T}$ al vencimiento sigue una distribución log-normal.

Fórmula para una Opción de Compra (Call)

1. Definir el Payoff:

El payoff de una call al vencimiento es:

$\max(S_{T}-K,0)$

2. Aplicar VNR:

El precio de la call hoy, $C$, es el valor presente de la expectativa de este payoff:

$C(S_{t},t)=e^{-r(T-t)}\cdot E_{\mathbb {Q} }\left[\max(S_{T}-K,0)\right]$

3. Calcular la Expectativa:

Esta "expectativa" se resuelve calculando la integral del payoff ponderada por la función de densidad de probabilidad log-normal, $f(S_{T})$, para todos los precios donde la opción tiene valor intrínseco:

$E_{\mathbb {Q} }[\dots ]=\int _{K}^{\infty }(S_{T}-K)f(S_{T})dS_{T}$

4. La Solución:

Al resolver esta integral mediante un cambio de variable a la distribución normal estándar, se obtiene la Fórmula de Black-Scholes para una Opción de Compra:

$C(S_{t},t)=S_{t}N(d_{1})-Ke^{-r(T-t)}N(d_{2})$

Donde:

• $N(d_{1})$ y $N(d_{2})$ son las funciones de distribución acumulada de una variable normal estándar
• $d_{1}={\frac {\ln(S_{t}/K)+(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}})(T-t)}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}$
• $d_{2}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}$

Fórmula para una Opción de Venta (Put)

1. Definir el Payoff:

El payoff de una put al vencimiento es:

$\max(K-S_{T},0)$

2. Aplicar VNR:

El precio de la put hoy, $P$, es:

$P(S_{t},t)=e^{-r(T-t)}\cdot E_{\mathbb {Q} }\left[\max(K-S_{T},0)\right]$

3. Calcular la Expectativa:

Esta expectativa se resuelve mediante la integral:

$E_{\mathbb {Q} }[\dots ]=\int _{0}^{K}(K-S_{T})f(S_{T})dS_{T}$

4. La Solución:

Al resolver esta integral, se obtiene la Fórmula de Black-Scholes para una Opción de Venta:

$P(S_{t},t)=Ke^{-r(T-t)}N(-d_{2})-S_{t}N(-d_{1})$Donde:

• $N(d_{1})$ y $N(d_{2})$ son las funciones de distribución acumulada de una variable normal estándar
• $d_{1}={\frac {\ln(S_{t}/K)+(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}})(T-t)}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}$
• $d_{2}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}$

Estas dos fórmulas constituyen la solución explícita que el Teorema de Feynman-Kac garantiza que satisface la Ecuación Diferencial Parcial de Black-Scholes.

Extensiones del modelo

El modelo base de Black-Scholes se fundamenta en un conjunto de supuestos estrictos, como la ausencia de dividendos y el ejercicio únicamente al vencimiento (opciones europeas). Para aplicar el modelo a escenarios de mercado más realistas, se han desarrollado varias extensiones. Las más importantes abordan cómo manejar los pagos de dividendos y el problema del ejercicio anticipado de las opciones americanas.​

Extensiones por Dividendos

El modelo original asume que el activo subyacente no paga dividendos. En la realidad, cuando una acción paga un dividendo, su precio cae en la fecha ex-dividendo, lo cual reduce el valor de las opciones de compra (calls) y aumenta el de las opciones de venta (puts). El modelo puede ajustarse para manejar este impacto de varias maneras.

Dividendos de Rendimiento Continuo (Modelo Merton-Black-Scholes)

Esta es la extensión más común, desarrollada por Robert C. Merton. Se utiliza frecuentemente para valorar opciones sobre índices bursátiles (donde múltiples acciones pagan dividendos pequeños en momentos diferentes) o sobre divisas.

El modelo asume que el activo paga un dividendo continuo a una tasa de rendimiento $q$. El efecto de este dividendo es reducir el crecimiento esperado del activo en el mundo neutral al riesgo, de $r$ a $r-q$. La única modificación necesaria es tratar el precio de la acción $S_{t}$ como $S_{t}e^{-q(T-t)}$ en la fórmula original.

Fórmulas ajustadas:

Call: $C(S_{t},t)=S_{t}e^{-q(T-t)}N(d_{1})-Ke^{-r(T-t)}N(d_{2})$

Put: $P(S_{t},t)=Ke^{-r(T-t)}N(-d_{2})-S_{t}e^{-q(T-t)}N(-d_{1})$

Donde $d_{1}$ y $d_{2}$ se ajustan para incluir $q$:

$d_{1}={\frac {\ln(S_{t}/K)+(r-q+{\frac {\sigma ^{2}}{2}})(T-t)}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}$

$d_{2}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}$

Opciones de Divisas (Modelo Garman-Kohlhagen) El modelo de Garman-Kohlhagen (1983) es una aplicación directa del modelo de Merton para dividendos continuos, adaptado a la valoración de opciones sobre tipos de cambio.

En este escenario, la moneda extranjera (ej. el Euro en una opción EUR/USD) se trata como un activo que paga un "dividendo" continuo, el cual es simplemente la tasa de interés libre de riesgo de esa moneda extranjera, $r_{f}$. Por lo tanto, el modelo es idéntico al de Merton, sustituyendo la tasa de dividendo $q$ por la tasa de interés extranjera $r_{f}$.

Dividendos Discretos (Proporcionales o Fijos) Para opciones sobre una acción individual, es más realista asumir dividendos discretos (pagados en fechas específicas) en lugar de continuos.

Dividendos Proporcionales: Si se asume que el dividendo es una proporción $\delta$ del precio, el precio de la acción se ajusta en un factor de $(1-\delta )$ en cada fecha ex-dividendo. La fórmula puede ajustarse usando el precio forward $F=S_{0}(1-\delta )^{n(T)}e^{rT}$ como subyacente.

Dividendos de Monto Fijo: Un caso más realista es un dividendo de monto fijo (ej. $D$ dólares). No existe una solución de fórmula cerrada simple para este caso. El método estándar de la industria es restar el valor presente de todos los dividendos esperados durante la vida de la opción del precio actual de la acción ($S_{t}$), y usar este "precio ajustado" como el $S_{t}$ en el modelo Black-Scholes. Esta es una aproximación, ya que el precio ajustado introduce su propia dinámica estocástica.

Extensión a Opciones Americanas El modelo estándar de Black-Scholes solo valora opciones europeas, que únicamente pueden ejercerse en la fecha de vencimiento $T$. Las opciones americanas pueden ejercerse en cualquier momento hasta el vencimiento. Esta característica introduce el complejo problema de la parada óptima: decidir cuál es el momento óptimo para ejercer la opción.

El Problema del Ejercicio Anticipado Debido a la posibilidad de ejercicio anticipado, el precio de una opción americana, $V(S,t)$, no obedece una ecuación simple, sino una desigualdad variacional. El precio debe cumplir dos condiciones simultáneamente:

No puede valer menos que su valor intrínseco (su payoff si se ejerce hoy): $V(S,t)\geq H(S)$, donde $H(S)$ es el payoff (ej. $\max(S-K,0)$).

Debe satisfacer la EDP de Black-Scholes como una desigualdad:

${\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+(r-q)S{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV\leq 0$

Esto se conoce como un problema de frontera libre, donde se debe resolver simultáneamente tanto el precio de la opción como la frontera (precio) de ejercicio óptimo. En general, este problema no tiene una solución en forma cerrada.

Soluciones y Aproximaciones Call Americana (sin dividendos): Se puede demostrar que nunca es óptimo ejercer anticipadamente una call americana sobre una acción que no paga dividendos. Intuitivamente, la opción tiene un valor temporal (la "opcionalidad") que se pierde al ejercerla. Por lo tanto, su precio es idéntico al de una call europea.

Call Americana (con dividendos): Si la acción paga dividendos, puede ser óptimo ejercer la call justo antes de la fecha ex-dividendo para capturar el dividendo (evitando la caída de precio). El método de Roll-Geske-Whaley proporciona una solución analítica para un dividendo discreto.

Put Americana: Para una opción de venta americana, casi siempre existe un valor de ejercicio anticipado (especialmente si está muy in-the-money). No existe una solución de fórmula cerrada. Para valorarlas, se deben usar aproximaciones analíticas (como los modelos de Barone-Adesi y Whaley o Bjerksund y Stensland) o métodos numéricos, siendo los más comunes los árboles binomiales (modelo Cox-Ross-Rubinstein) y los métodos de diferencias finitas.

Caso Especial: Opción de Venta Perpetua Un caso académico notable que sí tiene solución analítica es el de una put americana perpetua, es decir, una opción sin fecha de vencimiento ($T\to \infty$). En este escenario, el decaimiento temporal ($\Theta$) es cero, lo que simplifica la EDP de Black-Scholes a una Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO). La solución a esta EDO define un precio de ejercicio óptimo $S_{-}$ (la frontera libre) por debajo del cual es óptimo ejercer la put. El valor de la opción viene dado por una fórmula cerrada que depende de este precio $S_{-}$.​

Limitaciones y Críticas

A pesar de su enorme influencia, el modelo Black-Scholes es una idealización de los mercados. Sus supuestos, aunque permiten una solución matemática elegante, no se cumplen en la realidad. Las discrepancias entre el modelo y el mercado empírico son fundamentales para la práctica financiera moderna.

El modelo asume que la volatilidad ($\sigma$) del activo subyacente es constante y conocida. Según el modelo, todas las opciones sobre el mismo activo con el mismo vencimiento deberían tener la misma volatilidad, independientemente de su precio de ejercicio ($K$).

La Evidencia Empírica (Volatilidad Implícita)

En la práctica, los traders no usan el modelo para calcular un precio, sino que lo usan "al revés". Introducen el precio de mercado de una opción en la fórmula y despejan la volatilidad. Esta volatilidad resultante se conoce como volatilidad implícita.

El "Smile" y el "Skew"

Si el modelo fuera correcto, la volatilidad implícita sería una línea plana para todos los precios de ejercicio. En la realidad, esto no ocurre:

Volatility Smile (Sonrisa): A menudo, las opciones que están out-of-the-money (OTM) o in-the-money (ITM) tienen una volatilidad implícita más alta que las opciones at-the-money (ATM), creando una forma de "sonrisa".

Volatility Skew (Sesgo o Asimetría): Más comúnmente en los mercados de acciones (especialmente después del crash de 1987), el gráfico tiene un "sesgo". Las opciones put OTM (que protegen contra caídas) tienen una volatilidad implícita significativamente más alta que las opciones call OTM. Esto indica que el mercado teme más una caída abrupta (un "cisne negro") de lo que el modelo predice, y está dispuesto a pagar una prima más alta por esa protección.​

El Supuesto de Distribución Log-Normal (Colas Pesadas)

El modelo asume que los rendimientos de los activos siguen una distribución normal (lo que implica que los precios siguen una distribución log-normal).​

Este supuesto estadístico subestima sistemáticamente la probabilidad de movimientos extremos del mercado. En la realidad, los rendimientos tienen "colas pesadas" (fat tails), lo que significa que las caídas (crashes) y los rallies extremos son mucho más frecuentes de lo que la curva de campana normal sugeriría. La existencia del volatility skew (visto en el punto anterior) es la forma en que el mercado cotiza este riesgo de "colas pesadas".​

Fricciones del Mercado y Cobertura Discreta

El modelo asume un "mercado perfecto" sin fricciones:

• No hay costos de transacción (comisiones o spreads de compra/venta)
• La cobertura delta se puede reajustar de forma continua

En la realidad, la cobertura debe realizarse de forma discreta (diaria, semanal, etc.), y cada ajuste incurre en costos. Esto hace que la replicación perfecta sea imposible y costosa, introduciendo un "error de seguimiento" (tracking error).

Implicaciones de la Asimetría (Skew) en la Valoración

El fallo del supuesto de volatilidad constante (el skew) tiene implicaciones matemáticas directas en la valoración, especialmente para opciones más complejas como las binarias.

Impacto en Opciones Binarias

Dado que una opción binaria de compra (Call Cash-or-Nothing) es matemáticamente equivalente a un spread de compra (dos opciones vanilla) infinitesimalmente estrecho, su precio puede expresarse como la derivada negativa del precio de una call vanilla con respecto al precio de ejercicio ($K$):

$C_{\text{binaria}}=-{\frac {dC_{\text{vanilla}}}{dK}}$

Cuando se ignora la asimetría (asumiendo $\sigma$ constante), esta derivada se simplifica a la fórmula de la binaria que ya vimos:

$C_{\text{sin skew}}=-{\frac {\partial C_{v}}{\partial K}}=e^{-r(T-t)}N(d_{2})$

Sin embargo, cuando se toma en cuenta la asimetría (skew), la volatilidad $\sigma$ se convierte en una función de $K$, $\sigma (K)$. Al aplicar la regla de la cadena, la derivada total se expande:

$C_{\text{con skew}}=-{\frac {dC_{v}(K,\sigma (K))}{dK}}=-{\frac {\partial C_{v}}{\partial K}}-{\frac {\partial C_{v}}{\partial \sigma }}{\frac {\partial \sigma }{\partial K}}$

Analizando los términos:

$-{\frac {\partial C_{v}}{\partial K}}$ es el precio de la binaria sin skew

${\frac {\partial C_{v}}{\partial \sigma }}$ es la Vega de la opción vanilla

${\frac {\partial \sigma }{\partial K}}$ es la pendiente del skew de volatilidad

Por lo tanto, el precio correcto de una opción binaria en un mercado con skew es:

$C_{\text{con skew}}=C_{\text{sin skew}}-({\text{Vega}}_{vanilla})\cdot ({\text{Pendiente del Skew}})$

Esto demuestra cómo el skew de volatilidad (un fallo del modelo) impacta directamente en los precios de otros derivados a través de las Griegas.

Relación con las Griegas de Opciones Vanilla

Esta conexión matemática se extiende:

El precio de una binaria cash-or-nothing ($\approx N(d_{2})$) tiene la misma forma que el Delta de una call asset-or-nothing o la Delta de una call vanilla ($\approx N(d_{1})$). (Nota: $C_{cash}=-\partial C_{v}/\partial K$, mientras que $\Delta _{v}=\partial C_{v}/\partial S$. Sin embargo, están matemáticamente relacionados por $e^{-r(T-t)}N(d_{2})$).

El Delta de una binaria cash-or-nothing (${\frac {\partial C_{\text{binaria}}}{\partial S}}$) tiene la misma forma que la Gamma de una call vanilla (${\frac {\partial ^{2}C_{v}}{\partial S^{2}}}$).

Asimetría (Skew)

En el modelo estándar de Black-Scholes, se puede interpretar la prima de la opción binaria en un mundo neutral al riesgo como el valor esperado = probabilidad de estar en-el-dinero * unidad, descontado al valor presente. El modelo de Black-Scholes se basa en la simetría de la distribución e ignora la asimetría (skewness) de la distribución del activo. Los creadores de mercado se ajustan a esta asimetría, en lugar de utilizar una única desviación estándar para el activo subyacente $\sigma$ para todos los strikes, incorporando una variable $\sigma (K)$ donde la volatilidad depende del precio de ejercicio, incorporando así el volatility skew en el cálculo. La asimetría es importante porque afecta a las opciones binarias considerablemente más que a las opciones regulares (vanilla).

Una opción binaria de compra es, en vencimientos largos, similar a un spread de compra ajustado utilizando dos opciones vanilla. Se puede modelar el valor de una opción binaria de todo-o-nada en efectivo, C, con strike K, como un spread infinitesimalmente ajustado, donde $C_{v}$ es una opción de compra europea vanilla:​​

$C=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {C_{v}(K-\epsilon )-C_{v}(K)}{\epsilon }}$

Por lo tanto, el valor de una opción binaria de compra es el negativo de la derivada del precio de una opción de compra vanilla con respecto al precio de ejercicio:

$C=-{\frac {dC_{v}}{dK}}$

Cuando se toma en cuenta la asimetría de volatilidad (skew), $\sigma$ es una función de $K$:

$C=-{\frac {dC_{v}(K,\sigma (K))}{dK}}=-{\frac {\partial C_{v}}{\partial K}}-{\frac {\partial C_{v}}{\partial \sigma }}{\frac {\partial \sigma }{\partial K}}$

El primer término es igual a la prima de la opción binaria ignorando la asimetría (skew):

$-{\frac {\partial C_{v}}{\partial K}}=-{\frac {\partial (SN(d_{1})-Ke^{-r(T-t)}N(d_{2}))}{\partial K}}=e^{-r(T-t)}N(d_{2})=C_{\text{sin skew}}$

${\frac {\partial C_{v}}{\partial \sigma }}$ es la Vega de la opción de compra vanilla; ${\frac {\partial \sigma }{\partial K}}$ a veces se denomina "pendiente de la asimetría" o simplemente "skew". Si la asimetría es típicamente negativa, el valor de una opción binaria de compra será mayor cuando se tenga en cuenta la asimetría.

$C=C_{\text{sin skew}}-{\text{Vega}}_{v}\cdot {\text{Skew}}$

Relación con las Griegas de las opciones vanilla

Dado que una opción binaria de compra es una derivada matemática de una opción de compra vanilla con respecto al strike, el precio de una opción binaria de compra tiene la misma forma que el delta de una opción de compra vanilla, y el delta de una opción binaria de compra tiene la misma forma que la gamma de una opción de compra vanilla.

Black-Scholes en la práctica

La suposición de normalidad del modelo de Black-Scholes no captura movimientos extremos como las caídas del mercado de valores.

Las suposiciones del modelo de Black-Scholes no son todas empíricamente válidas. El modelo se emplea ampliamente como una aproximación útil a la realidad, pero su aplicación adecuada requiere comprender sus limitaciones – seguir el modelo ciegamente expone al usuario a riesgos inesperados.​ Entre las limitaciones más significativas se encuentran:

• la subestimación de movimientos extremos, lo que produce riesgo de cola (tail risk), que puede cubrirse con opciones fuera de dinero (out-of-the-money);
• la suposición de trading instantáneo y sin costos, lo que produce riesgo de liquidez, que es difícil de cubrir;
• la suposición de un proceso estacionario, lo que produce riesgo de volatilidad, que puede cubrirse con cobertura de volatilidad;
• la suposición de tiempo continuo y trading continuo, lo que produce riesgo de salto (gap risk), que puede cubrirse con cobertura Gamma;
• el modelo tiende a subvalorar las opciones muy fuera de dinero y a sobrevalorar las opciones muy en el dinero.​

En resumen, mientras que en el modelo de Black-Scholes se puede cubrir perfectamente las opciones simplemente con cobertura delta (delta hedging), en la práctica existen muchas otras fuentes de riesgo.

Los resultados que utilizan el modelo de Black-Scholes difieren de los precios del mundo real debido a las suposiciones simplificadoras del modelo. Una limitación significativa es que, en realidad, los precios de los valores no siguen un proceso estacionario estricto log-normal, ni la tasa de interés libre de riesgo es realmente conocida (y no es constante en el tiempo). Se ha observado que la varianza no es constante, lo que lleva a modelos como GARCH para modelar cambios de volatilidad. Las discrepancias de precios entre los datos empíricos y el modelo de Black-Scholes se han observado durante mucho tiempo en opciones que están muy fuera de dinero (out-of-the-money), lo que corresponde a cambios de precios extremos; tales eventos serían muy raros si los rendimientos estuvieran distribuidos de manera log-normal (Distribución log-normal), pero se observan con mucha más frecuencia en la práctica.

Sin embargo, la valoración de Black-Scholes se utiliza ampliamente en la práctica,​ porque es:

• Fácil de calcular
• Una aproximación útil, particularmente al analizar la dirección en la que se mueven los precios al cruzar puntos críticos
• Una base sólida para modelos más refinados
• Reversible, ya que la salida original del modelo, el precio, puede usarse como entrada y resolverse para una de las otras variables; la volatilidad implícita calculada de esta manera se utiliza a menudo para cotizar precios de opciones (es decir, como una convención de cotización).

El primer punto es evidentemente útil. Los otros pueden discutirse más:

Aproximación útil: aunque la volatilidad no es constante, los resultados del modelo a menudo son útiles para configurar coberturas en las proporciones correctas para minimizar el riesgo. Incluso cuando los resultados no son completamente precisos, sirven como una primera aproximación a la que se pueden hacer ajustes.

Base para modelos más refinados: El modelo de Black-Scholes es robusto en el sentido de que puede ajustarse para tratar algunas de sus fallas. En lugar de considerar algunos parámetros (como la volatilidad o las tasas de interés) como constantes, se consideran como variables, y por lo tanto como fuentes adicionales de riesgo. Esto se refleja en las Griegas (el cambio en el valor de la opción para un cambio en estos parámetros, o equivalentemente las derivadas parciales con respecto a estas variables), y cubrir estas Griegas mitiga el riesgo causado por la naturaleza no constante de estos parámetros. Sin embargo, otros defectos no pueden mitigarse modificando el modelo, notablemente el riesgo de cola y el riesgo de liquidez, y estos se gestionan fuera del modelo, principalmente minimizando estos riesgos y mediante pruebas de estrés (stress testing).

Modelado explícito: esta característica significa que, en lugar de asumir una volatilidad a priori y calcular los precios a partir de ella, se puede usar el modelo para resolver la volatilidad, lo que da la volatilidad implícita de una opción en precios, duraciones y precios de ejercicio dados. Resolviendo para la volatilidad sobre un conjunto dado de duraciones y precios de ejercicio, se puede construir una superficie de volatilidad implícita. En esta aplicación del modelo de Black-Scholes, se obtiene una coordinate transformation (transformación de coordenadas) del dominio del precio al dominio de la volatilidad. Así, en lugar de cotizar los precios de las opciones en términos de dólares por unidad (que son difíciles de comparar entre strikes, duraciones y frecuencias de cupón), los precios de las opciones pueden cotizarse en términos de volatilidad implícita, lo que lleva a la negociación de volatilidad en los mercados de opciones.

Valoración de opciones sobre bonos

El modelo de Black-Scholes no puede aplicarse directamente a los valores de bonos debido al fenómeno de acercamiento a la par (pull-to-par). A medida que el bono se acerca a su fecha de vencimiento, todos los precios asociados con el bono se vuelven conocidos, disminuyendo así su volatilidad, y el modelo simple de Black-Scholes no refleja este proceso. Se ha utilizado un gran número de extensiones de Black-Scholes, comenzando con el modelo de Black, para tratar este fenómeno.​

Curva de tipos de interés

En la práctica, los tipos de interés no son constantes: varían según el plazo (frecuencia del cupón), dando lugar a una curva de tipos de interés que puede interpolarse para elegir una tasa apropiada para utilizar en la fórmula de Black-Scholes. Otra consideración es que los tipos de interés varían con el tiempo. Esta volatilidad puede contribuir significativamente al precio, especialmente de las opciones a largo plazo. Esto es simplemente análogo a la relación entre el tipo de interés y el precio de los bonos, que está inversamente relacionada.

Tasa por posición corta en acciones

Mantener una posición corta en acciones (short stock), como es inherente en la derivación del modelo, normalmente no está libre de costos; equivalentemente, es posible prestar una posición larga en acciones por una pequeña tarifa. En cualquier caso, esto puede tratarse como un dividendo continuo a efectos de una valoración de Black-Scholes, siempre que no exista una asimetría evidente entre el costo de endeudamiento por la posición corta y los ingresos por el préstamo de acciones en una posición larga.

Críticas y comentarios

Espen Gaarder Haug y Nassim Nicholas Taleb argumentan que el modelo de Black-Scholes simplemente reformula modelos existentes y ampliamente utilizados en términos de una "cobertura dinámica" prácticamente imposible en lugar de "riesgo", para hacerlos más compatibles con la teoría económica neoclásica dominante.​ También afirman que Boness, en 1964, ya había publicado una fórmula "realmente idéntica" a la ecuación de valoración de opciones de compra de Black-Scholes.​ Edward Thorp también afirma haber deducido la fórmula de Black-Scholes en 1967, pero la mantuvo en secreto para ganar dinero para sus inversores.​ Emanuel Derman y Taleb también han criticado la cobertura dinámica y afirman que varios investigadores habían propuesto modelos similares antes de Black y Scholes.​ En respuesta, Paul Wilmott ha defendido el modelo.​​

En su carta de 2008 a los accionistas de Berkshire Hathaway, Warren Buffett escribió: "Creo que la fórmula de Black-Scholes, aunque es el estándar para establecer el pasivo en dólares por opciones, produce resultados extraños cuando se valoran las variedades a largo plazo... La fórmula de Black-Scholes ha alcanzado el estatus de texto sagrado en las finanzas ... Sin embargo, si la fórmula se aplica a períodos extendidos, puede producir resultados absurdos. Para ser justos, Black y Scholes casi ciertamente entendieron bien este punto. Pero sus seguidores devotos pueden estar ignorando las advertencias que los dos hombres adjuntaron cuando presentaron la fórmula por primera vez."​

El matemático británico Ian Stewart, autor del libro de 2012 titulado En busca de lo desconocido: 17 ecuaciones que cambiaron el mundo,​​ dijo que Black-Scholes había "apuntalado un crecimiento económico masivo" y que para 2007 "el sistema financiero internacional negociaba derivados valorados en un cuatrillón de dólares al año". Dijo que la ecuación de Black-Scholes era la "justificación matemática para la negociación" y, por lo tanto, "un ingrediente en un rico estofado de irresponsabilidad financiera, ineptitud política, incentivos perversos y regulación laxa" que contribuyó a la crisis financiera de 2008.​ Aclaró que "la ecuación en sí no era el problema real", sino su abuso en la industria financiera.​

El modelo de Black-Scholes asume precios del subyacente positivos; si el subyacente tiene un precio negativo, el modelo no funciona directamente.​​ Cuando se trata de opciones cuyo subyacente puede volverse negativo, los profesionales pueden utilizar un modelo diferente, como el modelo de Bachelier,​​ o simplemente añadir un desplazamiento constante a los precios.

Véase también

• Modelo binomial de opciones, un método numérico discreto para calcular precios de opciones.
• Modelo de Black, una variante del modelo de valoración de opciones de Black-Scholes.
• Modelo browniano de mercados financieros.
• Método Datar-Mathews para la valoración de opciones reales.
• Matemáticas financieras.
• Método de pago difuso (fuzzy pay-off) para la valoración de opciones reales.
• Ecuación del calor, a la que se puede transformar la EDP de Black-Scholes.
• Difusión con saltos (Jump diffusion).
• Modelo de opciones de Monte Carlo, que utiliza simulación en la valoración de opciones con características complicadas.
• Análisis de opciones reales.
• Volatilidad estocástica.
  • Valuación
  • Valoración de patentes
  • Volatilidad implícita

Bibliografía

• Venegas-Martínez, Francisco. Riesgos financieros y económicos. Ciudad de México: Cengage Learning, 2008.
• Black, Fischer; Myron Scholes (1973). «The Pricing of Options and Corporate Liabilities». Journal of Political Economy. 81 (3): 637–654. doi:10.1086/260062 (Black and Scholes' original paper)
• Merton, Robert C. (1973). «Theory of Rational Option Pricing». Bell Journal of Economics and Management Science. 4 (1): 141–183. doi:10.2307/3003143
• Hull, John (2015). Options, futures, and other derivatives. ISBN 978-1292212890. 

Enlaces externos

• VIDEO: Cómo armar un Excel para la fórmula de Black & Scholes

• Datos: Q1338307
• Multimedia: Black–Scholes model / Q1338307