Distribución exponencial

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Distribución exponencial
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Función de densidad de probabilidad
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Función de distribución de probabilidad
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En Teoría de Probabilidad y Estadística, la distribución exponencial es una distribución continua que se utiliza para modelar tiempos de espera para la ocurrencia de un cierto evento. Esta distribución al igual que la distribución geométrica tiene la propiedad de pérdida de memoria. La distribución exponencial es un caso particular de la distribución gamma.

Definición[editar]

Función de Densidad[editar]

Se dice que una variable aleatoria continua tiene una distribución exponencial con parámetro y escribimos si su función de densidad es

Función de Distribución[editar]

Su función de distribución acumulada está dada por

Parametrización Alternativa[editar]

La distribución exponencial en ocasiones se parametriza en términos del parámetro de escala en cuya caso, la función de densidad será

Función de Supervivencia[editar]

De forma adicional esta distribución presenta una función adicional que es función Supervivencia (S), que representa el complemento de la Función de distribución.

Propiedades[editar]

Si es una variable aleatoria tal que entonces

La media de la variable aleatoria es

La varianza de la variable aleatoria es

El -ésimo momento de la variable aleatoria es

La función generadora de momentos de para está dada por

Escala[editar]

Si es una variable aleatoria tal que y una constante entonces

Pérdida de Memoria[editar]

Sea una variable aleatoria tal que entonces para cualesquiera

Esto puede demostrarse fácilmente pues

Cuantiles[editar]

La función cuantil (inversa de la función de distribución acumulada) para una variable aleatoria está dada por

por lo que los cuantiles son:

El primer cuantil es

La mediana es

Y el tercer cuantil está dado por

Ejemplo[editar]

Ejemplos para la distribución exponencial es la distribución de la longitud de los intervalos de una variable continua que transcurren entre dos sucesos, que se distribuyen según la distribución de Poisson.

  • El tiempo transcurrido en un centro de llamadas hasta recibir la primera llamada del día se podría modelar como una exponencial.
  • El intervalo de tiempo entre terremotos (de una determinada magnitud) sigue una distribución exponencial.
  • Supongamos una máquina que produce hilo de alambre, la cantidad de metros de alambre hasta encontrar una falla en el alambre se podría modelar como una exponencial.
  • En fiabilidad de sistemas, un dispositivo con tasa de fallo constante sigue una distribución exponencial.

Distribuciones Relacionadas[editar]

  • Si entonces .
  • Si entonces .
  • Si entonces .
  • Si son variables aleatorias independientes tales que entonces , donde es la distribución de Erlang con parámetros y , esto es . Es decir, la suma de variables aleatorias independientes con distribución exponencial con parámetro es una variable aleatoria con distribución de Erlang.
Distribución cumulativa ajustada a máximos anuales de lluvias diarias[1]

Inferencia Estadística[editar]

Suponga que es una variable aleatoria tal que y es una muestra proveniente de .

Estimación de Parámetros[editar]

El estimador por máxima verosimilitud de se construye como sigue:

La función de verosimilitud está dada por

donde

es la media muestral.

Tomando logaritmos a la función de verosimilitud

derivando respecto a obtenemos

Si igualamos a obtenemos el estimador dado por

El estimador es un estimador NO insesgado pues

Aplicación[editar]

En la hidrología, la distribución exponencial se emplea para analizar variables aleatorias extremos de variables como máximos mensuales y anuales de la precipitación diaria.[2]

Métodos computacionales[editar]

Generador de números pseudoaleatorios[editar]

Para obtener números pseudoaleatorios la variable aleatoria con distribución exponencial y parámetro , se utiliza un algoritmo basado en el método de la transformada inversa.

Para generar un valor de a partir de una variable aleatoria se utiliza el siguiente algoritmo

utilizando el hecho de que si entonces por lo que una versión más eficiente del algoritmo es

Véase también[editar]

Software[editar]

Se puede usar software y un programa de computadora para el ajuste de una distribución de probabilidad, incluyendo la exponencial, a una serie de datos:

Referencias[editar]

  1. Cumfreq, a free computer program for cumulative frequency analysis and probability distribution fitting. [1]
  2. Ritzema (ed.), H.P. (1994). Frequency and Regression Analysis. Chapter 6 in: Drainage Principles and Applications, Publication 16, International Institute for Land Reclamation and Improvement (ILRI), Wageningen, The Netherlands. pp. 175-224. ISBN 90-70754-33-9. 

Enlaces externos[editar]