Distribución χ²

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Distribución χ² (ji-cuadrado)
Chi-square distributionPDF.png
Función de densidad de probabilidad
Chi-square distributionCDF.png
Función de distribución de probabilidad
Parámetros grados de libertad
Dominio
Función de densidad (pdf)
Función de distribución (cdf)
Media
Mediana aproximadamente
Moda if
Varianza
Coeficiente de simetría
Curtosis
Entropía
Función generadora de momentos (mgf) for
Función característica
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En estadística, la distribución de Pearson, llamada también ji cuadrada(o) o chi cuadrado(a) (χ²), es una distribución de probabilidad continua con un parámetro que representa los grados de libertad de la variable aleatoria

Donde son variables aleatorias normales independientes de media cero y varianza uno. El que la variable aleatoria tenga esta distribución se representa habitualmente así: .

Propiedades[editar]

Función de densidad[editar]

Su función de densidad es:

donde es la función gamma.

Demostración
La función densidad de si Z es tipo N(0,1) viene dada por

Despejando y teniendo en cuenta contribuciones positivas y negativas de z

La función distribución de viene dada por su convoluciónmnjhhgy

Aplicando transformada de Laplace

Aplicando antitransformada se obtiene f(x;k)

Función de distribución acumulada[editar]

Su función de distribución es

donde es la función gamma incompleta.

El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X con distribución χ² son, respectivamente, k y 2k.

Relación con otras distribuciones[editar]

La distribución χ² es un caso especial de la distribución gamma. De hecho, Como consecuencia, cuando , la distribución χ² es una distribución exponencial de media .

Cuando k es suficientemente grande, como consecuencia del teorema central del límite, puede aproximarse por una distribución normal:

Aplicaciones[editar]

La distribución χ² tiene muchas aplicaciones en inferencia estadística. La más conocida es la de la denominada prueba χ² utilizada como prueba de independencia y como prueba de bondad de ajuste y en la estimación de varianzas. Pero también está involucrada en el problema de estimar la media de una población normalmente distribuida y en el problema de estimar la pendiente de una recta de regresión lineal, a través de su papel en la distribución t de Student.

Aparece también en todos los problemas de análisis de varianza por su relación con la distribución F de Snedecor, que es la distribución del cociente de dos variables aleatorias independientes con distribución χ².

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]