Implicación material

En lógica proposicional, la implicación material^[1]^[2] es una regla de reemplazo válida que permite que una declaración condicional sea sustituida por una disyunción si y solo si el antecedente es negado. La regla establece que P implica Q es lógicamente equivalente a no-P o Q y puede sustituir a otra en demostraciones lógicas.

P\to Q\Leftrightarrow \neg P\lor Q

Donde " $\leftrightarrow$ " es un símbolo metalógico que representa "puede ser reemplazado en una demostración con."

Notación formal

La regla de implicación material puede escribirse en la notación subsiguiente:

(P\to Q)\vdash (\neg P\lor Q)

donde $\vdash$ es un símbolo metalógico que significa que $\neg P\lor Q$ es una consecuencia sintáctica de $(P\to Q)$ en algún sistema lógico;

y expresado como una tautología verdad-funcional o teorema de la lógica proposicional:

((P\lor Q)\land \neg P)\to Q

donde la regla es que cada vez que en las líneas de una demostración aparezcan las instancias de " $P\to Q$ ", éstas pueden ser reemplazadas con " $\neg P\lor Q$ ".

y expresado como una tautología o teorema de la lógica proposicional.

(P\to Q)\to (\neg P\lor Q)

donde $P$ y $Q$ son proposiciones expresadas en algún sistema formal.

Ejemplo

Si se trata de un oso, entonces puede nadar.

Por lo tanto, no es un oso o puede nadar.

donde $P$ es la declaración "es un oso" y $Q$ es la declaración "este puede nadar".

Si se encontró que el oso no sabía nadar, escrito simbólicamente como $P\land \neg Q$ , entonces ambas frases son falsas, pero de lo contrario son ambas verdaderas.