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Un bucle de alambre (negro), que transporta una corriente eléctrica I, crea un campo magnético B (azul). Si la posición y la corriente del cable se reflejan a través del plano indicado por la línea discontinua, el campo magnético resultante en la imagen reflejada (tal como aparecería en un espejo) no sería el correcto, y de acuerdo con las leyes de la física debe *invertirse su sentido* (tal como aparece representado). En consecuencia, la posición y la corriente en cualquier punto del cable son vectores *verdaderos*, pero el campo magnético B es un pseudovector.^[1]

En física y matemáticas, un vector axial o seudovector (también escrito como pseudovector)^[2] es una magnitud que se comporta como un vector en muchas situaciones, pero su orientación no cumple alguna de las reglas de las transformaciones euclídeas (como rotaciones, traslaciones o reflexiones), o cuando se cambia la orientación del espacio. Por ejemplo, el momento angular es un pseudovector porque a menudo se describe como un vector, pero con solo cambiar la posición de referencia (modificando el vector de posición), el momento angular puede invertir su sentido, lo que no se supone que suceda con los vectores verdaderos (también conocidos como vectores polares).^[3]

Un ejemplo de seudovector es la normal a un plano orientado. Teniendo en cuenta de un plano puede definirse mediante dos vectores no paralelos a y b,^[4] el vector a × b es normal al plano (pero hay dos posibles normales, una a cada lado del plano, y mediante la regla de la mano derecha se determinará cuál se elige), por lo que es un seudovector. Esto tiene consecuencias en los gráficos por computadora, donde debe tenerse en cuenta esta circunstancia cuando se transforman las normales a las superficies. En tres dimensiones, el rotacional de un campo vectorial polar en un punto y el producto vectorial de dos vectores polares también son seudovectores.^[5]

Varias cantidades en física se comportan como seudovectores en lugar de vectores polares, incluidos el campo magnético y la velocidad angular. En matemáticas, en tres dimensiones, los seudovectores son equivalentes a los bivectores, de donde se pueden derivar las reglas de transformación de los seudovectores. De manera más general, en álgebra geométrica de n dimensiones, los seudovectores son los elementos del álgebra con dimensión n − 1, a los que les corresponde la notación ⋀ⁿ⁻¹Rⁿ. El prefijo seudo se puede generalizar aún más para describir conceptos como seudoscalar o seudotensor, a los que les corresponde un cambio de signo adicional bajo rotaciones impropias en comparación con un escalar o un tensor verdaderos.

Ejemplos en física

Los ejemplos de seudovectores en física incluyen el momento de una fuerza,^[4] la velocidad angular, el momento angular,^[4] el campo magnético,^[4] la vorticidad y el momento magnético.

Considérese el seudovector del momento angular L= Σ(r × p). Conduciendo en un automóvil y mirando hacia adelante, cada una de las ruedas tiene un vector de momento angular que apunta hacia la izquierda. Si el mundo se refleja en un espejo que cambia el lado izquierdo y derecho del automóvil, el reflejo de este vector de momento angular (visto como un vector ordinario) apunta hacia la derecha, pero el ángulo real del vector de impulso de la rueda (que todavía gira hacia adelante en el reflejo) sigue apuntando hacia la izquierda, según corresponde al signo adicional del giro en el reflejo de un seudovector.

La distinción entre vectores polares (o vectores verdaderos) y seudovectores adquiere importancia para comprender el efecto de la simetría en el análisis de sistemas físicos. Considérese un bucle de corriente eléctrica en el plano z= 0, que en su interior genera un campo magnético orientado en la dirección z. Este sistema es simétrico (invariante) con respecto a reflexiones especulares a través del plano dado, sin que el sentido del campo magnético se vea afectado por la reflexión. Pero se esperaría que al reflejar a través del plano dado el campo magnético como un vector este quedaría invertido, circunstancia que se corrige al darse cuenta de que el campo magnético es un seudovector, al que un cambio de signo adicional permite mantener con el sentido correcto.

En física, los pseudovectores son generalmente el resultado de tomar el producto vectorial de dos vectores polares o el curl de un campo de vector polar. El producto cruzado y el rizo se definen, por convención, según la regla de la mano derecha, pero podrían haberse definido con la misma facilidad en términos de la regla de la mano izquierda. Todo el cuerpo de física que trata con pseudovectores (diestros) y la regla de la mano derecha podría reemplazarse mediante el uso de pseudovectores (zurdos) y la regla de la mano izquierda sin problemas. Los pseudovectores (izquierdos) así definidos tendrían dirección opuesta a los definidos por la regla de la mano derecha.

Si bien las relaciones vectoriales en física se pueden expresar sin coordenadas, se requiere un sistema de coordenadas para expresar vectores y pseudovectores como cantidades numéricas. Los vectores se representan como tripletes ordenados de números: p.e. $\mathbf {a} =(a_{x},a_{y},a_{z})$ y los pseudovectores también se representan de esta forma. Al transformar entre sistemas de coordenadas de mano izquierda y derecha, las representaciones de pseudovectores no se transforman como vectores, y tratarlas como representaciones vectoriales provocará un cambio de signo incorrecto, por lo que se debe tener cuidado de realizar un seguimiento de qué tripletes ordenados representan vectores, y que representan pseudovectores. Este problema no existe si el producto cruzado de dos vectores se reemplaza por el producto exterior de los dos vectores, lo que produce un bivector que es un tensor de segundo rango y está representado por una matriz de 3×3. Esta representación del tensor 2 se transforma correctamente entre dos sistemas de coordenadas cualesquiera, independientemente de su lateralidad.

Detalles

Véanse también: Covariance and contravariance of vectors y Euclidean vector.

La definición de "vector" en física (incluidos tanto los vectores polares como los pseudovectores) es más específica que la definición matemática de "vector" (es decir, cualquier elemento de un espacio vectorial abstracto). Según la definición física, se requiere que un "vector" tenga components que se "transforme" de cierta manera bajo un proper rotation: en particular, si todo en el universo girara, el vector rotaría exactamente de la misma manera. (El sistema de coordenadas está fijo en esta discusión; en o

En otras palabras, esta es la perspectiva de active transformations.) Matemáticamente, si todo en el universo sufre una rotación descrita por una matriz de rotación R, de modo que una desplazamiento (vector) x se transforma en xPlantilla:Prime= Rx, entonces cualquier "vector " v debe transformarse de manera similar a vPlantilla:Prime= Rv. Este importante requisito es lo que distingue a un vector (que podría estar compuesto, por ejemplo, por los componentes x, y y z de velocidad) de cualquier otro triplete de cantidades físicas (por ejemplo, la longitud, el ancho y la altura de una caja rectangular "no pueden" considerarse los tres componentes de un vector, ya que al girar la caja no se transforman adecuadamente estos tres componentes).

(En el lenguaje de geometría diferencial, este requisito equivale a definir un vector como un tensor de rango uno de contravariant. En este marco más general, los tensores de rango superior también pueden tener arbitrariamente muchos rangos covariantes y contravariantes mixtos en el mismo tiempo, indicado por índices elevados y reducidos dentro del Convenio de suma de Einstein.)

Un ejemplo básico y bastante concreto es el de los vectores fila y columna bajo el habitual operador de multiplicación de matrices: en un orden producen el producto escalar, que es simplemente un escalar y, como tal, un tensor de rango cero, mientras que en el otro orden producen el dyadic product. , que es una matriz que representa un tensor mixto de rango dos, con un índice contravariante y otro covariante. Como tal, la no conmutatividad del álgebra matricial estándar se puede utilizar para realizar un seguimiento de la distinción entre vectores covariantes y contravariantes. De hecho, así es como se llevaba la contabilidad antes de que surgiera la notación tensorial más formal y generalizada. Todavía se manifiesta en cómo los vectores base de los espacios tensoriales generales se exhiben para manipulación práctica.

La discusión hasta ahora solo se refiere a rotaciones propias, es decir, rotaciones alrededor de un eje. Sin embargo, también se pueden considerar rotación impropia, es decir, un reflejo especular posiblemente seguido de una rotación adecuada. (Un ejemplo de rotación impropia es simetría central en el espacio tridimensional). Supongamos que todo en el universo sufre una rotación impropia descrita por la matriz de rotación impropia R, de modo que un vector de posición x es transformado a xPlantilla:Prime= Rx. Si el vector v' es un vector polar, se transformará a vPlantilla:Prime= Rv. Si es un pseudovector, se transformará a vPlantilla:Prime= −Rv.

Las reglas de transformación para vectores polares y pseudovectores se pueden expresar de forma compacta como

{\begin{aligned}\mathbf {v} '&=R\mathbf {v} &&{\text{(polar vector)}}\\\mathbf {v} '&=(\det R)(R\mathbf {v} )&&{\text{(pseudovector)}}\end{aligned}}

donde los símbolos son los descritos anteriormente y la matriz de rotación R puede ser propia o impropia. El símbolo det indica determinante (matemática); esta fórmula funciona porque el determinante de las matrices de rotación propia e impropia es +1 y −1, respectivamente.

Comportamiento en suma, resta y multiplicación escalar

Supongamos que v'₁ y v₂ son pseudovectores conocidos, y v₃ se define como su suma, v₃= v₁ + v₂. Si el universo se transforma mediante una matriz de rotación R, entonces v₃ se transforma en

{\begin{aligned}\mathbf {v_{3}} '=\mathbf {v_{1}} '+\mathbf {v_{2}} '&=(\det R)(R\mathbf {v_{1}} )+(\det R)(R\mathbf {v_{2}} )\\&=(\det R)(R(\mathbf {v_{1}} +\mathbf {v_{2}} ))=(\det R)(R\mathbf {v_{3}} ).\end{aligned}}

Entonces 'v₃ también es un pseudovector. De manera similar, se puede demostrar que la diferencia entre dos pseudovectores es un pseudovector, que la suma o diferencia de dos vectores polares es un vector polar, que al multiplicar un vector polar por cualquier número real se obtiene otro vector polar, y que al multiplicar un pseudovector por cualquier número real El número produce otro pseudovector.

Por otro lado, supongamos que se sabe que v₁ es un vector polar, se sabe que v₂ es un pseudovector y que v₃ se define como su suma, v₃= v₁ + v₂. Si el universo se transforma mediante una matriz de rotación impropia R, entonces v₃ se transforma a

\mathbf {v_{3}} '=\mathbf {v_{1}} '+\mathbf {v_{2}} '=(R\mathbf {v_{1}} )+(\det R)(R\mathbf {v_{2}} )=R(\mathbf {v_{1}} +(\det R)\mathbf {v_{2}} ).

Por lo tanto, v₃ no es un vector polar ni un pseudovector (aunque sigue siendo un vector, según la definición física). Para una rotación impropia, v'₃ en general ni siquiera mantiene la misma magnitud:

|\mathbf {v_{3}} |=|\mathbf {v_{1}} +\mathbf {v_{2}} |,{\text{but }}\left|\mathbf {v_{3}} '\right|=\left|\mathbf {v_{1}} '-\mathbf {v_{2}} '\right|

.

Si la magnitud de v₃ describiera una cantidad física mensurable, eso significaría que las leyes de la física no parecerían las mismas si el universo se viera en un espejo. De hecho, esto es exactamente lo que sucede en el interacción débil: ciertas desintegraciones radiactivas tratan a "izquierda" y "derecha" de manera diferente, un fenómeno que puede atribuirse a la suma de un vector polar con un pseudovector en la teoría subyacente. (Ver paridad (física).)

Comportamiento bajo productos cruzados

Para una matriz de rotación R, ya sea propia o impropia, la siguiente ecuación matemática siempre es cierta:

(R\mathbf {v_{1}} )\times (R\mathbf {v_{2}} )=(\det R)(R(\mathbf {v_{1}} \times \mathbf {v_{2}} ))

,

donde v₁ y v₂ son vectores tridimensionales. (Esta ecuación se puede demostrar mediante un argumento geométrico o mediante un cálculo algebraico).

Supongamos que v'₁ y v₂ son vectores polares conocidos, y v₃ se define como su producto cruzado, v₃= v₁ × v₂. Si el universo se transforma mediante una matriz de rotación R, entonces v₃ se transforma en

\mathbf {v_{3}} '=\mathbf {v_{1}} '\times \mathbf {v_{2}} '=(R\mathbf {v_{1}} )\times (R\mathbf {v_{2}} )=(\det R)(R(\mathbf {v_{1}} \times \mathbf {v_{2}} ))=(\det R)(R\mathbf {v_{3}} ).

Entonces 'v₃ es un pseudovector. De manera similar, se puede mostrar:

vector polar × vector polar = pseudovector
pseudovector × pseudovector = pseudovector
vector polar × pseudovector = vector polar
pseudovector

× vector polar = vector polar Esto es isomorfo a la suma módulo 2, donde "polar" corresponde a 1 y "pseudo" a 0.

Ejemplos

De la definición, queda claro que un vector de desplazamiento es un vector polar. El vector velocidad es un vector de desplazamiento (un vector polar) dividido por el tiempo (un escalar), por lo que también lo es un vector polar. Del mismo modo, el vector momento es el vector velocidad (un vector polar) multiplicado por la masa (un escalar), al igual que un vector polar. El momento angular es el producto cruzado de un desplazamiento (un vector polar) y un momento (un vector polar) y, por tanto, es un pseudovector. El par es el momento angular (un pseudovector) dividido por el tiempo (un escalar), por lo que también lo es un pseudovector. Siguiendo de esta manera, es sencillo clasificar cualquiera de los vectores comunes en física como pseudovector o vector polar. (Existen vectores que violan la paridad en la teoría de las interacciones débiles, que no son ni vectores polares ni pseudovectores. Sin embargo, estos ocurren muy raramente en física).

La regla de la mano derecha

Anteriormente, se han analizado los pseudovectores utilizando active transformation. Un enfoque alternativo, más parecido a los passive transformation, es mantener el universo fijo, pero cambiar "regla de la mano derecha" por "regla de la mano izquierda" en todas partes de matemáticas y física, incluso en la definición de producto vectorial y curl. Cualquier vector polar (por ejemplo, un vector de traslación) no cambiaría, pero los pseudovectores (por ejemplo, el vector del campo magnético en un punto) cambiarían de signo. Sin embargo, no habría consecuencias físicas, excepto en los fenómenos parity-violating, como ciertos radiactividad.^[6]

Formalización

Una forma de formalizar pseudovectores es la siguiente: si V es un espacio vectorial n-dimensional, entonces un pseudovector de V es un elemento del (n' ' − 1)-ésimo exterior power de V: ⋀n−1(V). Los pseudovectores de V forman un espacio vectorial con la misma dimensión que V.

Esta definición no es equivalente a la que requiere un cambio de signo en rotaciones impropias, pero es general para todos los espacios vectoriales. En particular, cuando n es even, dicho pseudovector no experimenta un cambio de signo, y cuando el characteristic del field subyacente de V es 2, un cambio de signo no tiene ningún efecto. De lo contrario, las definiciones son equivalentes, aunque se debe tener en cuenta que sin una estructura adicional (específicamente, ya sea volume form o orientation), no existe una identificación natural de ⋀ⁿ⁻¹(V) con V. .

Otra forma de formalizarlos es considerándolos como elementos de un representation space para ${\text{O}}(n)$ . Los vectores se transforman en el fundamental representation de ${\text{O}}(n)$ con datos dados por $(\mathbb {R} ^{n},\rho _{\text{fund}},{\text{O}}(n))$ , de modo que para cualquier matriz $R$ en ${\text{O}}(n)$ , se tiene $\rho _{\text{fund}}(R)=R$ . Los pseudovectores se transforman en una representación pseudofundamental $(\mathbb {R} ^{n},\rho _{\text{pseudo}},{\text{O}}(n))$ , con $\rho _{\text{pseudo}}(R)=\det(R)R$ . Otra forma de ver este homomorfismo impar para $n$ es que en este caso ${\text{O}}(n)\cong {\text{SO}}(n)\times \mathbb {Z} _{2}$ . Entonces $\rho _{\text{pseudo}}$ es un producto directo de homomorfismos de grupo; es el producto directo del homomorfismo fundamental en ${\text{SO}}(n)$ con el homomorfismo trivial en $\mathbb {Z} _{2}$ .

Álgebra geométrica

En álgebra geométrica los elementos básicos son vectores, y estos se usan para construir una jerarquía de elementos usando las definiciones de productos en esta álgebra. En particular, el álgebra construye pseudovectores a partir de vectores.

La multiplicación básica en álgebra geométrica es álgebra geométrica, denotada simplemente yuxtaponiendo dos vectores como en ab. Este producto se expresa como:

\mathbf {ab} =\mathbf {a\cdot b} +\mathbf {a\wedge b} \ ,

donde el término principal es el vector habitual producto escalar y el segundo término se llama wedge product or exterior product. Utilizando los postulados del álgebra, se pueden evaluar todas las combinaciones de productos punto y cuña. Se proporciona una terminología para describir las diversas combinaciones. Por ejemplo, un multivector es una suma de productos de cuña de k de varios valores de k. Un producto de cuña con pliegues en k también se denomina k-blade.

En el contexto actual, el "pseudovector" es una de estas combinaciones. Este término se adjunta a un multivector diferente dependiendo de los dimensión del espacio (es decir, el número de vectores dependencia e independencia lineal en el espacio). En tres dimensiones, el bivector o de 2 palas más general se puede expresar como el producto de cuña de dos vectores y es un pseudovector.^[7] En cuatro dimensiones, sin embargo, los pseudovectores son trivectors.^[8] En general, es una hoja (n − 1), donde n es la dimensión del espacio y el álgebra.^[9] Un espacio de n dimensiones tiene n vectores de base y también pseudovectores de n. Cada pseudovector de base se forma a partir del producto exterior (cuña) de todos menos uno de los "n" vectores de base. Por ejemplo, en cuatro dimensiones donde los vectores base se consideran {e₁, e₂, e₃, e₄ }, los pseudovectores se pueden escribir como: {e₂₃₄, e₁₃₄, e₁₂₄, e₁₂₃}.

Transformaciones en tres dimensiones

Baylis ha comparado las propiedades de transformación del pseudovector en tres dimensiones con las del producto vectorial.^[10] Dice: "Los términos vector axial y pseudovector a menudo se tratan como sinónimos, pero es muy útil poder distinguir un bivector de su dual

." Parafraseando a Baylis: Dados dos vectores polares (es decir, vectores verdaderos) a' y b en tres dimensiones, el producto cruzado compuesto por a y b es el vector normal a su plano dado por c= a × b Dado un conjunto de base (álgebra) ortonormales diestros {e_ℓ }, el producto cruzado se expresa en términos de sus componentes como:

\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\left(a^{2}b^{3}-a^{3}b^{2}\right)\mathbf {e} _{1}+\left(a^{3}b^{1}-a^{1}b^{3}\right)\mathbf {e} _{2}+\left(a^{1}b^{2}-a^{2}b^{1}\right)\mathbf {e} _{3},

donde los superíndices etiquetan los componentes del vector. Por otro lado, el plano de los dos vectores está representado por el producto exterior o producto de cuña, denotado por 'a ∧ b. En este contexto de álgebra geométrica, este bivector se llama pseudovector y es el Dual de Hodge del producto vectorial.^[11] El dual de e₁ se introduce como e₂₃ ≡ e₂e₃ = e₂ ∧ e₃, y así sucesivamente. Es decir, el dual de e₁ es el subespacio perpendicular a e₁, es decir, el subespacio abarcado por e₂ y e₃. . Con este entendimiento,^[12]

\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} =\left(a^{2}b^{3}-a^{3}b^{2}\right)\mathbf {e} _{23}+\left(a^{3}b^{1}-a^{1}b^{3}\right)\mathbf {e} _{31}+\left(a^{1}b^{2}-a^{2}b^{1}\right)\mathbf {e} _{12}\ .

Para obtener más información, consulte Plantilla:Section link. El producto cruzado y el producto cuña están relacionados por:

\mathbf {a} \ \wedge \ \mathbf {b} ={\mathit {i}}\ \mathbf {a} \ \times \ \mathbf {b} \ ,

donde i = e₁ ∧ e₂ ∧ e₃ se denomina unit pseudoscalar.^[13]^[14] Tiene la propiedad:^[15]

{\mathit {i}}^{2}=-1\ .

Utilizando las relaciones anteriores, se ve que si los vectores a y b se invierten cambiando los signos de sus componentes dejando fijos los vectores base, tanto el pseudovector como el producto vectorial son invariantes. Por otro lado, si los componentes son fijos y los vectores base e_ℓ están invertidos, entonces el pseudovector es invariante, pero el producto cruz cambia de signo. Este comportamiento de los productos cruzados es consistente con su definición como elementos similares a vectores que cambian de signo al transformarse de un sistema de coordenadas diestro a zurdo, a diferencia de los vectores polares.

Nota sobre el uso

Además, cabe señalar que no todos los autores en el campo del álgebra geométrica utilizan el término pseudovector, y algunos autores siguen la terminología que no distingue entre pseudovector y producto cruzado.^[16] Sin embargo, debido a que el producto cruzado no se generaliza a otras dimensiones que no sean tres dimensiones,^[17] La noción de pseudovector basada en el producto vectorial tampoco puede extenderse a un espacio de cualquier otro número de dimensiones. El pseudovector como hoja (n – 1) en un espacio de n dimensiones no está restringido de esta manera.

Otra nota importante es que los pseudovectores, a pesar de su nombre, son "vectores" en el sentido de ser elementos de un espacio vectorial. La idea de que "un pseudovector es diferente de un vector" solo es cierta con una definición diferente y más específica del término "vector" como se analizó anteriormente.

Véase también

Producto exterior
Álgebra de Clifford
Antivector, una generalización del pseudovector en el álgebra de Clifford
Orientabilidad, y la discusión sobre espacios no orientables
Densidad tensorial

Referencias

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Bibliografía

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Enlaces externos

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