Convenio de suma de Einstein

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Se denomina convenio de suma de Einstein, notación de Einstein o notación indexada a la convención utilizada para abreviar la escritura de sumatorios, en el que se suprime el símbolo de sumatorio (representado con la letra griega sigma - \Sigma). El convenio fue introducido por Albert Einstein en 1916.[1] Se aplica en matemáticas en especial a los cálculos realizados en álgebra lineal destinados a la física. El convenio se aplica sólo a sumatorios sobre índices repetidos. El convenio se usa especialmente con tensores donde es muy frecuente la operación de suma sobre índices repetidos y sería muy fatigoso escribir explícitamente los signos de sumatorios.

Definición[editar]

Dada una expresión lineal en \mathbb{R}^n en la que se escriben todos sus términos de forma explícita:

\mathbf{u}=u_1x_1+u_2x_2+u_3x_3 +\cdots +u_nx_n

esta puede expresarse convencionalmente como el sumatorio:

\mathbf{u}=\sum_{i=1}^n u_ix_i

La notación de Einstein obtiene una expresión aún más condensada eliminando el signo de sumatorio y entendiendo que en la expresión resultante un índice indica suma sobre todos los posibles valores del mismo.[2]

\mathbf{u}=u_ix_i

Índices[editar]

Un índice utilizado en la notación de Einstein puede aparecer en forma de producto hasta dos veces en mismo término de una expresión, por lo que las siguientes expresiones son válidas:

k_i x_i\!
\mathbf{v}_i = v_{ij}x_{j}
c_{ijk}e_ie_je_k\!

y las siguientes expresiones no se encuentran definidas o son inválidas:[3]

x_iy_iz_i\!
a_mx_{mj}y_{mk}\!

en cálculo de tensores es también común utilizar una de las ocurrencias como un subíndice y la otra como un superíndice. Por ejemplo, en la siguiente expresión en \mathbb{R}^4

\mathbf{} a^\mu b_\mu = a^0 b_0 + a^1 b_1 + a^2 b_2 + a^3 b_3

Un índice que se repite dos veces en el mismo término de una ecuación se conoce como índice mudo, por ejemplo:[4]

\mathbf{A} = A_ie_i\!

Un índice que se repite en cada uno de los términos de una expresión a excepción de los términos constantes se conoce como índice libre.[2]

s_r = a_rx_i + b_rx_j + c_r - 1 \!

Los índices libres no se expanden en forma de sumatorio, sino que representan un sistema de ecuaciones independientes.

s_1 = a_1x_i + b_1x_j + c_1 - 1 \!
s_2 = a_2x_i + b_2x_j + c_2 - 1 \!
s_3 = a_3x_i + b_3x_j + c_3 - 1 \!

Representaciones vectoriales[editar]

Se emplea el convenio de Einstein en Álgebra lineal para distinguir fácilmente entre vectores columna y vectores fila. Se puede, por ejemplo, poner superíndices para representar elementos en una columna y subíndices para representar elementos en una fila. Siguiendo esta convención, entonces,

 \mathbf{u} = u_i = \begin{bmatrix} u_1 & u_2 & \cdots & u_n \end{bmatrix}\ \ \mathrm{para} \ \ i = 1, 2, 3, \ldots , n

representa 1 x n vector fila y

 \mathbf{v} = v^j  = \begin{bmatrix} v^1 \\ v^2 \\ \vdots \\ v^n \end{bmatrix} \ \ \mathrm{para} \ \ j = 1, 2, 3, \ldots , n

representa n x 1 vector columna.

En matemática y en física teórica y en particular en la relatividad general, los vectores fila representan vectores contravariantes mientras que los vectores columna representan vectores covariantes.

Representación matricial[editar]

Empleando la notación estándar, se puede generar una matriz M × N denominada A mediante multiplicación de vectores columna u por vectores fila v:

 \mathbf{A} = \mathbf{u} \otimes \mathbf{v}

En la notación de Einstein, se tiene que:

{A^i}_j = u^i v_j  = {(u\otimes v)^i}_j

Como i y j representan dos índices diferentes y en este caso con dos rangos diferentes M y N respectivamente, los índices no son eliminados en la multiplicación. Ambos índices sobreviven a la multiplicación para llegar a crear una nueva matriz A.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Einstein, Albert (1916). «The Foundation of the General Theory of Relativity» (PDF). Annalen der Physik. http://www.alberteinstein.info/gallery/gtext3.html. 
  2. a b Reddy, J. N. (2008). An Introduction to Continuum Mechanics With Applications (en inglés). United States of America: Cambridge University Press. pp. 18 – 19. ISBN 9780511480362. 
  3. Lai, Michael; Rubin, David; Krempl, Erhard (1999). Introduction to Continuum Mechanics (en inglés) (3ra. edición). United States of America: Butterworth Heinemann. pp. 6–7. ISBN 0750628944. 
  4. Romero, Ignacio (20 de septiembre de 2004) (PDF). Ingeniería Geológica: Mecánica de Medios Continuos. http://w3.mecanica.upm.es/mmc-ig/Apuntes/indices.pdf.