Sumatorio

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Un sumatorio o sumatoria es un operador matemático que nos permite representar sumas muy grandes, ya sea de n o incluso infinitos sumandos. Se expresa con la letra griega sigma ( $Σ$ ), y se define como :

$\sum_{i=m}^n x_i = x_m + x_{m+1} + x_{m+2} +\cdots+ x_{n-1} + x_n$

La variable i es el índice de suma al que se le asigna un valor inicial llamado límite inferior, m. La variable i recorrerá los valores enteros hasta alcanzar el límite superior, n. Necesariamente ha de cumplirse:

$m \leq n$

Por ejemplo si queremos expresar la suma de los diez primeros números naturales podemos hacerlo así con un sumatorio:

$\sum^{10}_{i = 1} i$

Los sumatorios son útiles para expresar sumas arbitrarias de números, por ejemplo en fórmulas. Así, si queremos representar la «fórmula» para hallar la media aritmética de n números, tendremos la siguiente expresión:

$\overline{X} = \frac{\displaystyle \sum_{i = 1}^n x_i}{n}$

[editar] Algunos sumatorios

$\sum^n_{i = 1} i = 1 + 2 + \ldots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$
$\sum^n_{i = 1} i^2 = 1^2 + 2^2 + \ldots + n^2 = \frac{n ( n + 1 ) ( 2n + 1 )}{6}$
$\sum^5_{i = 0} (i + 1) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6$
$\sum^n_{i = 1} i^3 = 1^3 + 2^3 + \ldots + n^3 = \left(\frac{n ( n + 1 )}{2}\right)^2$
$\sum^n_{i = 1} a = \underbrace{ ( a + a + a + \ldots + a) }_{n \, veces} = na$
$\sum^n_{j = 0} a^j = 1 + a + a^2 + a^3 + \ldots + a^n = \frac{1-a^{n+1}}{1-a}$
$\sum^n_{k = 1} a^k = a + a^2 + a^3 + a^4 \ldots + a^n = \frac{a^{n+1}-a}{a-1}$
$\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{a^i} = \frac{a^n-1}{a^{n+1} - a^n}$
$\sum^n_{k = 1} ak = a + 2 a + 3 a + \ldots . + na = a\sum^n_{k = 1} k$
$\sum^n_{i = 0} i = 0 + \sum^n_{i = 1} i = \sum^n_{i = 1} i$
$\sum^n_{i = 1} x^2_i = x^2_1 + x^2_2 + x^2_3 + \ldots + x^2_n \ne \left( \sum^n_{i = 1} x_i \right)^2$
$\left( \sum^n_{i = 1} \sum^m_{j = 1} x_i y_j \right) = \left( \sum^n_{i = 1}x_i\sum^m_{j = 1} y_j \right)$