Productorio

El operador productoria, también conocido como multiplicatoria o simplemente producto (por denotarse como una letra pi mayúscula), es un operador matemático que representa una multiplicación de una cantidad arbitraria (finita o infinita).

$\prod_{k=m}^n a_k = a_m \cdot a_{m+1} \cdot \quad \dots \quad \cdot a_{n}$

Para todos los valores m < n, si m = n tenemos que:

$m = n \; , \quad \prod_{k=m}^n a_k = \prod_{k=m}^m a_k = a_{m}$

En el caso de que m sea mayor que n, m > n, se le asigna el valor del elemento neutro de la multiplicación, el uno:

$m > n \; , \quad \prod_{k=m}^n a_k = 1$

Se puede definir por inducción como sigue.

1. Se define

$\prod_{k=1}^1 a_k = a_1$

2. Supuesta definida para un n ≥ 1 fijo, se define

$\prod_{k=1}^{n+1} a_k = \left ( \prod_{k=1}^n a_k \right ) a_{n+1}$

Ejemplo

Se puede usar el productorio para definir otras igualdades importantes.

Se puede tomar n=1 y aplicar la segunda igualdad para obtener:

$\prod_{k=1}^2 a_k = \left(\prod_{k=1}^1 a_k\right)(a_2) = a_1a_2$.

Definida para n=2, se puede aplicar otra vez la segunda igualdad con n=2 para luego obtener

$\prod_{k=1}^3 a_k = \left(\prod_{k=1}^2 a_k\right)(a_3) = (a_1a_2)a_3$.

Así, usando la propiedad asociativa de la multiplicación, el producto $\mathit{(a_1a_2)a_3} \,\!$ es el mismo que $\mathit{a_1(a_2a_3)} \,\!$ y, por lo tanto, podemos prescindir del uso de paréntesis sin peligro de confusión y usar simplemente

$\mathit{a_1a_2a_3} \,\!$ para $\prod_{k=1}^3 a_k$.

Se puede entonces, usar este razonamiento para cualquier $n \in \mathbb{N}$ sin que haya peligro de confusión.

Luego, se puede aplicar la definición de Multiplicatoria, para definir n! (n factorial) como sigue:

$\prod_{k=1}^n k = n!$

Se define 0!=1!=1

Propiedades

Se puede usar el Método de Inducción Matemática para demostrar algunas propiedades. Para ello, nos basaremos en la definición formal por inducción descrita anteriormente.

Propiedad Multiplicativa

$\prod_{k=1}^n {({a_k}{b_k})} = \left(\prod_{k=1}^n a_k\right)\left(\prod_{k=1}^n b_k\right)$

Demostración por Inducción

i) Tomemos n=1 y veamos si se cumple la igualdad

$\prod_{k=1}^1 {({a_k}{b_k})} = a_1b_1 = \left(\prod_{k=1}^1 a_k\right)\left(\prod_{k=1}^1 b_k\right)$

y la igualdad es cierta para n=1

ii) Supongámosla cierta para n y analicémosla para n+1

$\prod_{k=1}^{n+1} {({a_k}{b_k})} = \left[\prod_{k=1}^n {({a_k}{b_k})}\right](a_{n+1}b_{n+1})$

$\prod_{k=1}^{n+1} {({a_k}{b_k})} = \left(\prod_{k=1}^n a_k\right)\left(\prod_{k=1}^n b_k\right)a_{n+1}b_{n+1}$

(Definición por inducción)

$\prod_{k=1}^{n+1} {({a_k}{b_k})} = \left[(\prod_{k=1}^n a_k)(a_{n+1})\right]\left[(\prod_{k=1}^n b_k)(b_{n+1})\right]$

(Asociatividad en IR)

Luego,

$\prod_{k=1}^{n+1} {({a_k}{b_k})} = (\prod_{k=1}^{n+1} a_k)(\prod_{k=1}^{n+1} b_k)$

Propiedad Telescópica

$\prod_{k=1}^n {\frac{a_k}{a_{k-1}}} = \frac{a_n}{a_0}$ si cada $a_k \neq 0$

Demostración por Inducción

i) Analicemos para n=1

$\prod_{k=1}^1 {\frac{a_k}{a_{k-1}}} = \frac{a_1}{a_0}$ con $a_0 \neq 0$ y la igualdad es cierta para n=1

ii) Supongámosla cierta para n y analicémosla para n+1

$\prod_{k=1}^{n+1} {\frac{a_k}{a_{k-1}}} = (\prod_{k=1}^n {\frac{a_k}{a_{k-1}}})(\frac{a_{n+1}}{a_n})$ (Definición por inducción)

Luego,

$\prod_{k=1}^{n+1} {\frac{a_k}{a_{k-1}}} = \frac{a_n}{a_0}\frac{a_{n+1}}{a_n}$ que es lo que queríamos demostrar.

Nótese que nuestra exigencia era que para cada $\mathit{k} \,\!$, $a_k \neq 0$. En particular, para $\mathit{k=n} \,\!$, $a_k = a_n \neq 0$. Luego la simplificación es posible y

$\prod_{k=1}^{n+1} {\frac{a_k}{a_{k-1}}} = \frac{a_{n+1}}{a_0}$.

Véase también

• Sumatoria
• Factorial
• Suma
• Multiplicación