Productorio

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El operador productorio o productoria, también conocido como multiplicatoria o simplemente producto (por denotarse como una letra pi mayúscula), es un operador matemático que representa una multiplicación de una cantidad arbitraria (finita o infinita).


   \prod_{k=m}^n a_k =
   a_m \cdot a_{m+1} \cdot
   \quad \dots \quad
   \cdot a_{n}

Para todos los valores m < n, si m = n tenemos que:


   m = n
   \; , \quad
   \prod_{k=m}^n a_k =
   \prod_{k=m}^m a_k =
   a_{m}

En el caso de que m sea mayor que n, m > n, se le asigna el valor del elemento neutro de la multiplicación, el uno:


   m > n
   \; , \quad
   \prod_{k=m}^n a_k =
   1

Se puede definir por inducción como sigue.

1. Se define


   \prod_{k=1}^1 a_k =
   a_1

2. Supuesta definida para un n ≥ 1 fijo, se define


   \prod_{k=1}^{n+1} a_k =
   \left (
      \prod_{k=1}^n a_k
   \right )
   a_{n+1}

Ejemplo[editar]

Se puede usar el productorio para definir otras igualdades importantes.

Se puede tomar n=1 y aplicar la segunda igualdad para obtener:


   \prod_{k=1}^2 a_k =
   \left(
      \prod_{k=1}^1 a_k
   \right)
   (a_2) =
   a_1 a_2
.

Definida para n=2, se puede aplicar otra vez la segunda igualdad con n=2 para luego obtener


   \prod_{k=1}^3 a_k =
   \left(
      \prod_{k=1}^2 a_k
   \right)
   (a_3) =
   (a_1 a_2) a_3
.

Así, usando la propiedad asociativa de la multiplicación, el producto \mathit{(a_1a_2)a_3} \,\! es el mismo que \mathit{a_1(a_2a_3)} \,\! y, por lo tanto, podemos prescindir del uso de paréntesis sin peligro de confusión y usar simplemente


   a_1 \, a_2 \, a_3 = \prod_{k=1}^3 a_k
.

Se puede entonces, usar este razonamiento para cualquier  n \in \mathbb{N} sin que haya peligro de confusión.

Luego, se puede aplicar la definición de Multiplicatoria, para definir n! (n factorial) como sigue:


   \prod_{k=1}^n k =
   n!

Se define  0! = 1! = 1

Propiedades[editar]

Se puede usar el Método de Inducción Matemática para demostrar algunas propiedades. Para ello, nos basaremos en la definición formal por inducción descrita anteriormente.

Propiedad Multiplicativa[editar]


   \prod_{k=1}^n {({a_k}{b_k})} =
   \left(
      \prod_{k=1}^n a_k
   \right)
   \left(
      \prod_{k=1}^n b_k
   \right)

Demostración por Inducción i) Tomemos n=1 y veamos si se cumple la igualdad


   \prod_{k=1}^1 {({a_k}{b_k})} =
    a_1b_1 =
   \left(
      \prod_{k=1}^1 a_k
   \right)
   \left(
      \prod_{k=1}^1 b_k
   \right)

y la igualdad es cierta para n=1

ii) Supongámosla cierta para n y analicémosla para n+1


   \prod_{k=1}^{n+1} {({a_k}{b_k})} =
   \left[
      \prod_{k=1}^n {({a_k}{b_k})}
   \right]
   (a_{n+1}b_{n+1})

   \prod_{k=1}^{n+1} {({a_k}{b_k})} =
   \left(
      \prod_{k=1}^n a_k
   \right)
   \left(
      \prod_{k=1}^n b_k
   \right)
   a_{n+1}b_{n+1}

(Definición por inducción)


   \prod_{k=1}^{n+1} {({a_k}{b_k})} =
   \left[
      \left(
         \prod_{k=1}^n a_k
      \right)
      (a_{n+1})
   \right]
   \left[
      \left(
         \prod_{k=1}^n b_k
      \right)
      (b_{n+1})
   \right]

(Asociatividad en IR) Luego,


   \prod_{k=1}^{n+1} {({a_k}{b_k})} =
   \left(
      \prod_{k=1}^{n+1} a_k
   \right)
   \left(
      \prod_{k=1}^{n+1} b_k
   \right)

Propiedad Telescópica[editar]


   \prod_{k=1}^n {\frac{a_k}{a_{k-1}}} =
   \frac{a_n}{a_0}
   , \quad
   \mathit{si \; cada}
   \;
   a_k \neq 0

Demostración por Inducción

i) Analicemos para n=1


   \prod_{k=1}^1 {\frac{a_k}{a_{k-1}}} =
   \frac{a_1}{a_0}
   , \quad
   \mathit{con:}
   \;
   a_0 \neq 0
   \;
   \mathit{y \; la \; igualdad \, es \, cierta \, para:}
   \;
   n=1

ii) Supongámosla cierta para n y analicémosla para n+1


   \prod_{k=1}^{n+1} {\frac{a_k}{a_{k-1}}} =
   \left(
      \prod_{k=1}^n {\frac{a_k}{a_{k-1}}}
   \right)
   \left(
      \frac{a_{n+1}}{a_n}
   \right)
(Definición por inducción)

Luego,


   \prod_{k=1}^{n+1} {\frac{a_k}{a_{k-1}}} =
   \frac{a_n}{a_0} \; \frac{a_{n+1}}{a_n}

que es lo que queríamos demostrar.

Nótese que nuestra exigencia era que para cada \mathit{k} \,\!,  a_k \neq 0 . En particular, para \mathit{k=n} \,\!,  a_k  = a_n \neq 0 . Luego la simplificación es posible y


   \prod_{k=1}^{n+1} {\frac{a_k}{a_{k-1}}} =
   \frac{a_{n+1}}{a_0}
.

Véase también[editar]