Sucesión (matemática)

Una sucesión infinita de números reales (en azul). La sucesión no es ni creciente, ni decreciente, ni convergente, ni es una sucesión de Cauchy. Sin embargo, sí es una sucesión acotada.

Una sucesión matemática es una aplicación cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos o ℤ₊∪{0} y su codominio es cualquier otro conjunto, generalmesuscri e de números, figuras geométricas o funciones. Cada uno de ellos es denominado término (también elemento o miembro) de la sucesión y al número de elementos ordenados (posiblemente infinitos) se le denomina la longitud de la sucesión. No debe confundirse con una serie matemática, que es la suma de los términos de una sucesión.

A diferencia de un conjunto, el orden en que aparecen los términos sí es relevante y un mismo término puede aparecer en más de una posición. De manera formal, una sucesión puede definirse como una función sobre el conjunto de los números naturales (o un subconjunto del mismo) y es por tanto una función discreta.

Estas sucesiones que siguen una regla determinada, han llamado siempre la atención de los matemáticos de todas las generaciones. Pero, a pesar de esto y de que se conocían desde tiempos lejanos, no fueros estudiadas de forma detallada hasta la época de mayor desarrollo de las matemáticas en el siglo XVIII. Fue en este tiempo cuando se perfeccionó el concepto de límite de una sucesión como el valor al cual se acercan de forma sucesiva sus términos.

En general, las sucesiones se utilizan para representar listas ordenadas de elementos pero, sobre todo, dentro de las matemáticas discretas son empleadas de otras diversas maneras como, por ejemplo, dentro de las ciencias de la computación y en la Teoría de Juegos.

Sin cuestión alguna, Leonhard Euler fue el matemático más destacado de esa época, gracias a sus contribuciones decisivas en diversos campos de las matemáticas, sobe todo, en el campo de las sucesiones y de las series numéricas.

También cabe destacar al matemático italiano Leonardo de Pisa, quien, en el siglo siglo XII, introdujo en Europa una de las sucesiones matemáticas que mayor existencia tiene en los fenómenos naturales, los números de Fibonacci.

Ejemplo

La sucesión (A, B, C) es una sucesión de letras que difiere de la sucesión (C, A, B). En este caso se habla de sucesiones finitas (de longitud igual a 3). Un ejemplo de sucesión infinita sería la sucesión de números positivos pares: 2, 4, 6, 8...

En ocasiones se identifica a las sucesiones finitas con palabras sobre un conjunto. Puede considerarse también el caso de una sucesión vacía (sin elementos), pero este caso puede excluirse dependiendo del contexto.

Definiciones

Las diferentes definiciones suelen estar ligadas al área de trabajo, la más común y poco general es la definición de sucesión numérica, en la práctica se usan sucesiones de forma intuitiva.

Definición formal

Una sucesión finita $(a_{k})$ (de longitud r) con elementos pertenecientes a un conjunto S, se define como una función

$f:\{1,2,\ldots ,r\}\to S$.

y en este caso el elemento $a_{k}$ corresponde a $f(k)$.

Por ejemplo, la sucesión finita, (de longitud 4) de números primos menores que 10:

$2,3,5,7$

corresponde a la función $f:\{1,2,3,4\}\to \mathbb {P}$ (donde $\mathbb {P}$ es el conjunto de números primos) definida por:

$f(1)=2,f(2)=3,f(3)=5,f(4)=7$.

Una sucesión infinita $(a_{k})$ con elementos pertenecientes a un conjunto S, se define como una función

$f:\mathbb {N} \to S$.

en donde, de forma análoga, $a_{k}$ corresponde a $f(k)$.

Notación

Notaremos por $\left\{{x_{n}}\right\}_{n\in \mathbb {N} }$ a una sucesión, donde x la identifica como distinta de otra digamos $\left\{{y_{n}}\right\}_{n\in \mathbb {N} }$.

La notación es permisiva en cuanto a su modificación si realmente es necesario.

Definición de término general

Llamaremos término general de una sucesión a $x_{n}^{}$,donde el subíndice ${n\in \mathbb {N} }$ indica el lugar que ocupa en dicha sucesión.

Definición de parcial

Llamaremos parcial de $\left\{{x_{n}}\right\}_{n\in \mathbb {N} }$ a una sucesión $\left\{{x_{n_{i}}}\right\}_{n_{i}\in \mathbb {N} }$ donde $n_{i}<n_{i+1}$.

Notación

Existen diferentes notaciones y nociones de sucesión en matemáticas, dependiendo del área de estudio, algunas de las cuales (como por ejemplo sucesión exacta) no quedan comprendidas en la notación que se introduce a continuación.

Se puede usar la notación $(a_{n})$ para indicar una sucesión, en donde $a_{n}$ hace referencia al elemento de la sucesión en la posición n.

Ejemplo. Retomando el ejemplo de los números positivos pares, si denotamos dicha sucesión por $(p_{n})$:

$(p_{n})=2,4,6,8,10,12,...$

entonces

$p_{1}=2,p_{2}=4,p_{3}=6,p_{4}=8,\ldots$.

En el caso de que los elementos de la sucesión queden determinados por una regla, se puede especificar la sucesión haciendo referencia a la fórmula de un término arbitrario. Ejemplo. La sucesión anterior $(p_{n})$ puede especificarse mediante la fórmula $p_{n}=2n$.

No es infrecuente encontrar sucesiones en donde los subíndices denotando posiciones inician desde cero, en vez desde uno, particularmente en matemática discreta o en ciencias de la computación. También se puede usar una variable distinta a n para denotar el término general, cuando así convenga para evitar confusión con otras variables.

En la literatura es posible encontrar una gran variedad de notaciones alternativas. Por ejemplo, uso de llaves en vez de paréntesis, o indicaciones de los límites mediante variantes de super y subíndices, a continuación se muestran algunos pocos ejemplos:

• $\{a_{n}\}=a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$
• $(a_{k})_{k=1}^{m}=a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{m}$
• $\{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }=a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,$

Sucesiones numéricas

Una sucesión numérica se formaliza como una aplicación de los números naturales sobre otro conjunto numérico, así por ejemplo:

${\begin{matrix}a:&\mathbb {N} &\to &\mathbb {N} \\&n&\to &a_{n}\end{matrix}}$

Una sucesión de N sobre N, como la sucesión de Fibonacci.

Si la sucesión numérica se formaliza como una aplicación de los números naturales en los números reales, es decir :

${\begin{matrix}a:&\mathbb {N} &\to &\mathbb {R} \\&n&\to &a_{n}\end{matrix}}$

En cualquier caso se denota simplemente como $\left\{{a_{n}}\right\}_{n\in \mathbb {N} }$ o, si se da por entendido que los subíndices son enteros, también se denota como $\left\{{a_{n}}\right\}_{n\geq 0}$.

El nombre que recibe la sucesión también puede hacer referencia a los valores que toma sobre los reales; así, si la imagen de $a_{}^{}$ fuesen los racionales, es decir fracciones enteras del tipo $\scriptstyle {\frac {x}{y}},\;y\neq 0$, se puede llamar sucesión de números racionales, y lo mismo para los irracionales, naturales, enteros, algebraicos, trascendentes, ...

Puede ser creciente o decreciente. Las hay en progresión aritmética o en progresión geométrica, la diferencia básica es que en la sucesión aritmética la razón de cambio entre un miembro y otro es la suma o resta de la misma razón, y en la sucesión geométrica el siguiente número de la sucesión se logra por multiplicar o dividir la razón de cambio. En cualquier caso la razón de cambio es constante y no puede variar, a menos que el cambio de la razón también corresponda a una sucesión, lo que supone tener una sucesión dentro de otra sucesión.

El término general de la sucesión queda definido de forma implícita si su valor depende de sus predecesores, es decir, sucesiones obtenidas a partir de sus términos iniciales. En general, dados previamente los valores de $a_{0},\;a_{1},\;...\;,\;a_{n}$, podemos definir el término general de forma inductiva como $a_{i+1}=f(a_{i-n},\;...\;,a_{i}),\;i\geq n$ como por ejemplo con la ecuación en recurrencias $a_{i+1}=b_{0}a_{i-n}+\;...\;+b_{n}a_{i}+c_{n},\;i\geq n,\;b_{0},\;...\;,\;b_{n},\;c_{n}\in \mathbb {R}$. En el caso de encontrar una fórmula para el término general de una sucesión, se puede localizar cualquier término sustituyendo de la fórmula la letra por el número que indica el lugar que ocupa el término que estamos buscando.

De esta manera, aparece un problema común dentro de las matemáticas discretas, que consiste encontrar dicha fórmula general, ya que en ocasiones solo disponemos de los términos iniciales de la sucesión para hallarla. También puede ocurrir que estos términos iniciales no determinen toda la sucesión, ya que existen infinitas sucesiones que comparten el mismo conjunto finito de términos iniciales, pero siempre son un buen punto de partida para realizar una conjetura sobre la sucesión.

Al utilizar estos números iniciales para encontrar la fórmula, como inicio, tenemos que encontrar un patrón entre ellos, para esto ponemos formular una serie de preguntas, como por ejemplo, ¿se puede conseguir cada uno de los términos a partir de los anteriores sumando o multiplicando por una cantidad? ¿es una relación cíclica? ¿se pueden obtener los términos combinando otros previos?, etc.

Tipos

Sucesión finita

Se dice que una sucesión es finita si determinamos su último término, por ejemplo el n-ésimo:

Genéricamente: $a_{0},\;a_{1},\;a_{2},\;...\;,\;a_{i},\;...\;,\;a_{n}$, donde $a_{i}^{}$ sería el término general si hiciese falta.

ejemplo: 100, 99, 98, ... , 1, 0

Subsucesión

Una sucesión es una aplicación en los enteros; como $a_{n}=s(n)$ para cualquier $n\geq n_{0}$. Luego se circunscribe la aplicación a un subconjunto de los enteros. Se elige un entero mayor o igual a $n_{0}$, denotado como $n_{1}$, en seguida otro mayor que $n_{1}$, denotado por $n_{2}$, y así sucesivamente. Entonces la nueva sucesión definida por

$c_{h}=a_{n_{h}}=s(n_{h})\qquad \qquad$para $h=0,1,2,...,$

se llama subsucesión de $\{a_{n}\}$. Obviamente para una sucesión existen varias subsucesiones.​

Sucesión constante

Se dice que una sucesión es constante si todos los términos tienen un mismo valor, $k_{}^{}$, es decir, un mismo número real cualquiera, ejemplo:

Genéricamente $a_{0}^{}=k,\;a_{1}=k,\;a_{2}=k,\;a_{3}=k,\;...\;,\;a_{n}=k,\;...$

ejemplo: si $k_{}^{}=1$ queda como 1, 1, 1, 1, ... ,1 ,... , es decir, que todos los valores son el mismo, 1.

Sucesiones monótonas

En una sucesión monótona, la diferencia entre cada término y el siguiente es siempre del mismo signo. Pueden ser crecientes o decrecientes:​

Sucesión creciente

Si se impone al término general de una sucesión numérica la condición que $a_{n}^{}<a_{n+1}$, es decir, que el siguiente término, $a_{n+1}^{}$, siempre sea estrictamente mayor que su predecesor, $a_{n}^{}$, se llaman sucesiones estrictamente crecientes:

Para naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

Para enteros: -10, -9, -8, -7, -6, ...

Para reales: $-2'01,\;-1,\;0,\;{\sqrt {2}},\;e_{}^{},\;\pi ,\;,\;...$.

Si se impone $a_{n}^{}\leq a_{n+1}$, es decir, una desigualdad no estricta, entonces se pueden incluir, entre otras, las sucesiones constantes.

Sucesión decreciente

Al igual que las crecientes tenemos, según el término general, que:

• si $a_{n}^{}>a_{n+1}$ es estrictamente decreciente.
• si $a_{n}^{}\geq a_{n+1}$ entonces la sucesión es decreciente.

Sucesión alternada

Intuitivamente se llama sucesión alternada cuando alterna valores de signo opuesto, como $a_{n}=(-1)^{n}$ que nos genera la sucesión: a₀=1, -1, 1, -1, 1, -1, ... utilizada por las series llamadas series alternadas.

Sucesión oscilante

Este tipo de sucesión no es ni convergente ni divergente. Sus términos alternan de mayor a menor o viceversa.

$1,0,3,0,5,0,7,...$

Sucesión divergente

Es la sucesión en que a_n no tiene límite finito cuando n tiende a infinito.

Sucesiones Acotadas

Se pueden dar tres formas de sucesión acotada:

• Una sucesión {a_n} estará acotada superiormente en el caso que exista un número real M que limite de la siguiente forma la secuencia: {a_n} ≤ M.
• Por otro lado, la sucesión estará acotada inferiormente cuando un número real N la límite de la forma contraria a la anterior: {a_n} ≥ N.
• Finalmente, en caso de que se den ambas opciones {a_n} será una sucesión acotada.

Sucesiones Convergentes

Una sucesión $\{a_{n}\},\ a_{n}\in \mathbb {R}$, converge a $a$ o tiene por límite $a$ (cuando $n\rightarrow \infty$), y se escribe,

$\lim _{n}a_{n}=a$

cuando,

$\forall \epsilon \in \mathbb {R} ,\epsilon >0,\exists n_{0}\in \mathbb {N} :|a_{n}-a|<\epsilon ,\forall n\geq n_{0},n\in \mathbb {N}$

Sucesiones definidas por recurrencia

Una relación de recurrencia para una sucesión $\left\{{a_{n}}\right\}_{n\in \mathbb {N} }$ es una ecuación la cual establece el término a_n en función de los anteriores términos $a_{0},\;a_{1},\;a_{2},\;...\;,\;a_{n-1}$ para todos los enteros n tales que $n>=n_{0}$. La sucesión en sí es la solución de la relación de recurrencia si sus términos cumplen la relación para todo entero positivo n.

Los algoritmos recursivos proporcionan solución a un problema de tamaño n en términos de la solución de uno o más casos del mismo problema, pero de menor tamaño.

Un ejemplo de sucesión por recurrencia es la sucesión de Fibonacci, en la cual, cada término a partir del tercero es la suma de los dos términos anteriores. Esta sucesión en términos generales se define como:

$a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}\,$

Cuando se realiza la complejidad de un algoritmo recursivo basado en una sucesión, se obtiene una relación de recurrencia que expresa el número de operaciones necesarias para resolver un problema de tamaño n en términos del número de operaciones necesarias para resolver el mismo problema con unos datos de tamaño menor.

De esta manera, se puede comprobar la existencia de una gran relación entre las relaciones de recurrencia y la recursión, ya que sirven para resolver una gran cantidad de problemas como, por ejemplo, calcular el interés compuesto, calcular el número de movimientos del juego de las Torres de Hanói y el número de conejos de una isla (problema propuesto por Fibonacci y relacionado, por tanto, con la sucesión de Fibonacci).

Sucesiones logísticas

Dentro de la matemática y sus sucesiones numéricas, uno de los tipos destacados son las sucesiones logísticas. Este tipo de sucesión se utiliza principalmente en la ecología y es usado como modelo de crecimiento demográfico. Viene definida por la siguiente iteración, llamada ecuación de diferencia logística: $x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n})$

donde $x_{n}$ es un medida del tamaño de la población de la n-ésima generación de una sola especie. $x_{n}$ es una fracción del tamaño máximo de la población, para así poder manipular los números, de modo que $0<x_{n}<1$ .

Este tipo de sucesiones son muy convenientes para algunos estudios ya que a un ecologista le interesa predecir el tamaño de la población conforme avanza el tiempo. Un ejemplo de uno de estos estudios es la elaboración de un modelo de la población de insectos, donde el apareamiento y la muerte se presentan en forma periódica.

Propiedades

Unicidad del límite de una sucesión

Si una sucesión $\{a_{n}\},\ a_{n}\in \mathbb {R}$ converge, entonces el $\lim _{n}a_{n}$ es único.

Demostración

Sean $a,a'\in \mathbb {R}$ de forma que, $\lim _{n}a_{n}=a,\ \lim _{n}a_{n}=a'$ Entonces se cumplen estos dos asertos, Primero, $\forall {\frac {\epsilon }{2}}\in \mathbb {R} ,\epsilon >0,\exists n_{1}\in \mathbb {N} :|a_{n}-a|<{\frac {\epsilon }{2}},\forall n\geq n_{1},n\in \mathbb {N}$ Segundo, $\forall {\frac {\epsilon }{2}}\in \mathbb {R} ,\epsilon >0,\exists n_{2}\in \mathbb {N} :|a_{n}-a'|<{\frac {\epsilon }{2}},\forall n\geq n_{2},n\in \mathbb {N}$ luego para $n>n_{0},n_{0}={\mbox{max}}\{n_{1},n_{2}\}$, $|a-a'|=|a-a'+a_{n}-a_{n}|\leq |a_{n}-a|+|a_{n}-a'|<{\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}=\epsilon ,\forall \epsilon >0$ Como $\epsilon$ fue elegido de forma arbitraria entonces $a=a'\ \ \blacksquare$

Relación entre el concepto de sucesión acotada y el de sucesión convergente

Si una sucesión $\{a_{n}\},\ a_{n}\in \mathbb {R}$ es convergente, entonces la sucesión es acotada.

Demostración

Una sucesión $\{a_{n}\},\ a_{n}\in \mathbb {R}$ es convergente cuando, $\forall \epsilon \in \mathbb {R} ,\epsilon >0,\exists n_{0}\in \mathbb {N} :|a_{n}-a|<\epsilon ,\forall n\geq n_{0},n\in \mathbb {N}$ luego en particular, por ejemplo, para $\epsilon =1$ (podríamos haber tomado cualquier otro $\epsilon >0$) se verifica que, $|a_{n}-a|<1,\forall n\geq n_{0}$ Ahora bien, $|a_{n}|=|a_{n}-a+a|=|(a_{n}-a)-(-a)|\leq |a_{n}-a|+|-a|=|a_{n}-a|+|a|<1+|a|$ luego hemos concluido que $\forall n\geq n_{0}$ se verifica que, $|a_{n}|<1+|a|$ Se debe encontrar un $c>0$ de forma que $\forall n\in \mathbb {N}$ sea $|a_{n}|\leq c$. Como a partir del índice $n_{0}$ se cumple, sumando a $1+|a|$ todos los elementos que van por detrás de $n_{0}$ hasta el elemento 1 de la sucesión ya tendríamos el $c>0$ buscado. Entonces si, $c=1+|a|+|a_{n_{0}-1}|+|a_{n_{0}-2}|+\cdots +|a_{1}|$ se tiene que, $|a_{n}|\leq c,\forall n\in \mathbb {N} \ \ \blacksquare$

Sucesiones fundamentales

Dada la sucesión {c_n} de números reales, se llama sucesión fundamental o de Cauchy, en el caso de que satisfaga el requisito siguiente: dado un número real r positivo se pueda conseguir dos enteros positivos p, q tal que de p > n₀ y q > n₀ se deduzca que |c_p - c_q| < r.​

Extensión a los reales

Compruébese que $\scriptstyle \{a_{n}^{}\}=f(n)=f(n)+\sin(n\pi )$, ilustrando que dos funciones reales diferentes pueden corresponder a una misma sucesión sobre los enteros.

Dada una función $f:\mathbb {N} \to \mathbb {R}$, llamaremos extensión en los reales de $f_{}^{}$ a una función $P:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ cuyos valores coinciden en el dominio de $f_{}^{}$, es decir, $f_{|\mathbb {N} }=P_{|\mathbb {N} }$.

Es incorrecto representar a la extensión en los reales con el mismo nombre ($f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$), pues, se trata de una asociación totalmente arbitraria y no unívoca que trae confusión y no tiene sentido para algunas funciones definidas a trozos. Se suele llamar a la extendida por ejemplo $P_{}^{},\;Q_{}^{},\;\phi _{}^{}$ o $\psi _{}^{}$ si es un polinomio, o $g_{}^{}$ o $h_{}^{}$ si son funciones trigonométricas, agregando subíndices si hace falta.

La función f puede adquirir propiedades de la extendida P, si existe P con dichas propiedades, como límites al infinito, monotonía, acotaciones, entre otras.

Generalización en distintas áreas

Estos ejemplos pretenden ser una pequeña muestra de la infinidad, propiamente dicha, de usos que tienen dichas sucesiones en matemáticas.

El trabajo interno en el desarrollo de cada tema en cada área obliga a diversificar el modo de nominar y notar las sucesiones, haciéndose frecuente el uso de índices, subíndices y superíndices para salvar la sobrecarga de notación y hacerlas más legibles y estéticas en cuanto a la presentación.

El espacio de sucesiones finitas complejas $\mathbb {C}$

Se puede tener una sucesión $\left\{{a^{(i)}}\right\}_{i\in \mathbb {N} }$ tal que ${a^{(i)}}{:=(a_{1}^{(i)},...,a_{n_{i}}^{(i)},0,...){\text{, donde }}a_{j}^{(i)}}\in \mathbb {C} -\left\{0\right\}$

El espacio de sucesiones complejas o ℓ² $\mathbb {C} ^{n}$

Se puede tener una sucesión $\left\{{V^{(i)}}\right\}_{i\in \mathbb {N} }$ tal que ${V^{(i)}}{:=(a_{1}^{(i)},...,a_{n}^{(i)}){\text{, donde }}a_{j}^{(i)}}\in \mathbb {C}$

El espacio de polinómico K[x]

Un polinomio $P(x)\in K[x]$ no es más que una sucesión finita $\left\{{a_{n}}\right\}_{n}$ tal que $a_{n}\in K$ representada como $P(x)_{}^{}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}$.

El espacio de las matrices $M_{m\times n}(k)$

Se puede tener una sucesión $\left\{{A_{i}}\right\}_{i\in \mathbb {N} }$ tal que $A_{i}:={\begin{pmatrix}a_{1,1}^{(i)}&\ldots &a_{1,n}^{(i)}\\\vdots &&\vdots \\a_{m,1}^{(i)}&\ldots &a_{m,n}^{(i)}\end{pmatrix}}$, donde $a_{j,k}^{(i)}\in K$.

En un espacio vectorial topológico

Se puede tener una sucesión $\left\{{V_{i}^{}}\right\}_{i\epsilon \mathbb {N} }$, donde $V_{n}^{}:=\alpha _{n}B$, donde $\alpha _{n}\in \mathbb {R}$ es una sucesión real arbitraria y B un abierto.

Sucesiones funcionales

Se puede tener una sucesión de funciones continuas $\left\{{{f(x)}_{n}}\right\}_{n\epsilon \mathbb {N} }=\sin(x)^{n}$.

En el lenguaje proposicional

Sea $\mathrm {A} _{}$ un alfabeto, llamaremos $\mathrm {A} ^{n}$ al conjunto de sucesiones finitas de n elementos de $\mathrm {A} _{}$, se define inductivamente por la sucesión de productos cartesianos siguiente: $\mathrm {A} ^{1}=\mathrm {A} ,\mathrm {A} ^{2}=\mathrm {A} \times \mathrm {A} ,\,\cdots ,\,\mathrm {A} ^{n}:=\mathrm {A} ^{n-1}\times \mathrm {A}$

• así $\langle a_{1},\cdots ,a_{n}\rangle :=\langle \langle a_{1},\cdots ,a_{n-1}\rangle ,a_{n}\rangle \in \mathrm {A} ^{n}{\text{, y }}a_{i}:=\langle a_{i}\rangle \in \mathrm {A}$.

En homología simplicial

El complejo de cadenas simplicial del complejo simplicial K, no es más que una determinada sucesión de grupos abelianos y morfismos.

En el lenguaje de las categorías

Sea ${\mathcal {A}}$ una categoría, podemos tener una sucesión $\left\{{A_{n}}\right\}_{n\in \mathbb {N} }$, donde $A_{n}^{}\in Ob({\mathcal {A}})$.

Véase también

Límite de una sucesión Serie matemática Sucesión exacta Sucesión de Cauchy Sucesión de Farey Sucesión de Fibonacci Sucesión de Goodstein Sucesión de Padovan Sucesión de Thue-Morse

Ecuaciones en diferencias Transformada Z Número de Perrin Enciclopedia electrónica de secuencias de enteros Progresión aritmética Progresión geométrica OEIS Sucesión de números primos

Bibliografía

• Fernández Novoa, Jesús (1991). Análisis Matemático I (Tomo 1). Madrid: UNED. ISBN 9788436216684. 
• Watson Fulks. "Cálculo avanzado".
• J. Dieudonné. " Fundamentos de análisis moderno".
• Lages Lima. " Curso de análisis matemático
• Banach. " Cálculo".
• Spivak . "Calculus"
• V.F. Butúzov. " Análisis matemático"

Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga una galería multimedia sobre Sucesión.
• Cálculo de la fórmula de una sucesión
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