Transformada Z

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En las matemáticas y procesamiento de señales, la Transformada Z convierte una señal real o compleja definida en el dominio del tiempo discreto en una representación en el dominio de la frecuencia compleja.

El nombre de Transformada Z procede de la variable del dominio, al igual que se podría llamar "Transformada S" a la Transformada de Laplace. Un nombre más adecuado para la TZ podría haber sido "Transformada de Laurent", ya que está basada en la serie de Laurent. La TZ es a las señales de tiempo discreto lo mismo que Laplace a las señales de tiempo continuo.

Definición[editar]

La transformada Z, al igual que otras transformaciones integrales, puede ser definida como una transformada unilateral o bilateral.

Transformada Z bilateral[editar]

La TZ bilateral de una señal definida en el dominio del tiempo discreto x[n] es una función X(z) que se define

donde n es un entero y z es, en general, un número complejo de la forma

donde A es el módulo de z, y ω es el argumento de ese complejo que bien podría representar la frecuencia angular (pulsación) en radianes por segundo (rad/s).

Transformada Z unilateral[editar]

De forma alternativa, en los casos en que x[n] está definida únicamente para n ≥ 0, la transformada Z unilateral se define como

En el procesamiento de señales, se usa esta definición cuando la señal es causal. En este caso, la Transformada Z resulta una serie de Laurent, con ROC del tipo  ; es decir que converge "hacia afuera".

Un ejemplo interesante de la TZ unilateral es la función de generación de probabilidades, donde x[n] es la probabilidad que toma una variable discreta aleatoria en el instante n, y la función X(z) suele escribirse como X(s), ya que s = z−1. Las propiedades de las transformadas Z son útiles en la teoría de la probabilidad.

Transformada Z inversa[editar]

La Transformada Z inversa se define

donde es un círculo cerrado que envuelve el origen y la región de convergencia (ROC). El contorno, , debe contener todos los polos de .

Un caso especial y simple de esta integral circular es que cuando es el círculo unidad (que también puede usarse cuando la ROC incluye el círculo unidad), obtenemos la transformada inversa de tiempo discreto de Fourier:

La TZ con un rango finito de n y un número finito de z separadas de forma uniforme puede ser procesada de forma eficiente con el algoritmo de Bluestein. La transformada discreta de Fourier (DFT) es un caso especial de la TZ, y se obtiene limitando z para que coincida con el círculo unidad.

Región de convergencia (ROC)[editar]

La región de convergencia, también conocida como ROC, define la región donde la transformada-z existe. La ROC es una región del plano complejo donde la TZ de una señal tiene una suma finita. La ROC para una x[n] es definida como el rango de z para la cual la transformada-z converge. Ya que la transformada–z es una serie de potencia, converge cuando es absolutamente sumable.

Propiedades de la Región de Convergencia:

La región de convergencia tiene propiedades que dependen de la características de la señal, x[n].

  • La ROC no tiene que contener algún polo. Por definición un polo es donde x[z] es infinito. Ya que x[z] tiene que ser finita para todas las z para tener convergencia, no puede existir ningún polo para ROC.
  • Si x[n] es una secuencia de duración finita, entonces la ROC es todo el plano-z, excepto en |z|=0 o |z|=∞.
  • Si x[n] es una secuencia del lado derecho entonces la ROC se extiende hacia fuera en el último polo desde x[z].
  • Si x[n] es una secuencia del lado izquierdo, entonces la ROC se extiende hacia dentro desde el polo más cercano en x[z].
  • Si x[n] es una secuencia con dos lados, la ROC va ser un anillo en el plano-z que está restringida en su interior y exterior por un polo.

Ejemplo 1 (Sin ROC)[editar]

Sea . Expandiendo en obtenemos

Siendo la suma

No hay ningún valor de que satisfaga esta condición.

Ejemplo 2 (ROC causal)[editar]

La ROC se muestra en azul, el circulo unidad en gris y el círculo en negro.

Sea (donde es la función escalón). Expandiendo en obtenemos

Siendo la suma

La última igualdad se obtiene con la fórmula del sumatorio para series geométricas, y la igualdad sólo se conserva si , lo cual puede ser reescrito para definir de modo . Por lo tanto, la ROC es . En este caso la ROC es el plano complejo exterior al círculo de radio 0,5 con origen en el centro.

Ejemplo 3 (ROC anticausal)[editar]

La ROC se muestra en azul, el círculo unitario en gris y el circulo en negro.

Sea (donde es la función escalón). Expandiendo entre obtenemos

Siendo la suma

De nuevo, usando la fórmula de sumatorio para series geométricas, la iguadad sólo se mantiene si , de modo que podemos definir como . Aquí, la ROC es , es decir, el interior de un círculo centrado en el origen de radio 0,5.

Conclusión de los ejemplos[editar]

Los ejemplos 2 y 3 muestran claramente que la transformada de es única si y sólo si se especifica cuál es la ROC. Dibujando los gráficos de polos y ceros para los casos causal y anticausal, comprobaríamos como la ROC de ambos casos no incluye el polo que está en 0,5. Esto se extiende a los casos con múltiples polos: la ROC nunca contiene polos.

En el ejemplo 2, el sistema causal tiene una ROC que incluye , mientras que al sistema anticausal del ejemplo 3 le pertenece una ROC que incluye .

En los sistemas con múltiples polos, es posible tener una ROC que no incluya ni ni . La ROC crea una región circular. Por ejemplo, tiene dos polos en 0,5 y 0,75. La ROC será , la cual no incluye ni el origen ni el infinito. Este tipo de sistemas se conoce como sistemas de causalidades mezcladas, ya que contiene un término causal y otro anticausal .

La estabilidad de un sistema se puede determinar simplemente conociendo su ROC. Si esta ROC contiene el círculo unidad (p. ej. ) entonces el sistema es estable. En los sistemas anteriores, el sistema causal es estable porque contiene el círculo unidad.

Si tenemos la TZ de un sistema sin su ROC (p.ej., un ambiguo) podemos determinar una única señal en función de que queramos o no las siguientes propiedades:

  • Estabilidad
  • Causalidad

Si queremos un sistema estable, la ROC debe contener el círculo unidad. Si queremos un sistema causal, la ROC debe contener al infinito. Si queremos un sistema anticausal, la ROC debe contener al origen.

De este modo, podemos encontrar una señal en el tiempo que sea única.

Propiedades[editar]

Propiedades de la Transformada Z
Dominio del tiempo Espacio Z Demostración ROC
Notación ROC:
Linealidad Al menos la intersección de ROC1 y ROC2
Expansión en el tiempo

r: integral

Desplazamiento en el tiempo ROC, excepto z =0 si k > 0 y z = ∞ si k < 0
Escalamiento en

el espacio Z

Inversión en el tiempo
Conjugación compleja ROC
Parte Real ROC
Parte Imaginaria ROC
Diferenciación ROC
Convolución Al menos la intersección de ROC1 y ROC2
Correlación cruzada Al menos la intersección de ROC de y
Primera diferencia Al menos la intersección de ROC de X1(z) y
Acumulación
Multiplicación -
Relación de Parseval

Teorema de valor inicial Si x[n] causal

Teorema de valor final Si los polos de están dentro del circulo unitario, entonces

Tabla con los pares más habituales de la transformada Z[editar]

  Señal, Transformada Z, ROC
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Relación con Laplace[editar]

La TZ bilateral es simplemente la transformada de Laplace bilateral de la señal muestreada

donde es la señal continua muestreada, la n-ésima muestra, el período de muestreo, y con la sustitución .

Del mismo modo, la TZ unliateral es simplemente la transformada de Laplace unilateral de la señal ideal muestreada. En ambas se asume que la señal muestreada vale cero para todos los índices negativos en el tiempo.

Relación con Fourier[editar]

La TZ es una generalización de la transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT). La DTFT puede hallarse evaluando la TZ en o, lo que es lo mismo, evaluada en el círculo unidad. Para determinar la respuesta en frecuencia del sistema, la TZ debe ser evaluada en el círculo unidad.

Ecuación diferencial de coeficientes lineales constantes[editar]

La ecuación diferencial de coeficientes lineales constantes (LCCD) es una representación de un sistema lineal, basada en la ecuación de la media autorregresiva.

Ambos términos de esta ecuación pueden dividirse por , si no es cero, normalizando la ecuación LCCD puede ser escrita

Esta forma de la ecuación LCCD es más explícita para comprobar que la salida actual se define en función de las salidas anteriores , la entrada actual , y las entradas anteriores .

Función de transferencia[editar]

Se calcula haciendo la TZ de la ecuación

y dividiendo

Ceros y polos[editar]

Gracias al teorema fundamental del álgebra sabemos que el numerador tiene M raíces (llamadas ceros) y el denominador tiene N raíces (llamadas polos). Factorizando la función de transferencia

donde es el k-ésimo cero y es el k-ésimo polo. Los ceros y polos son por lo general complejos, y por tanto se pueden dibujar en el plano complejo.

En definitiva, los ceros son las soluciones de la ecuación obtenida de igualar el numerador a cero, mientras que los polos son las de la ecuación que se obtiene al igualar a cero el denominador.

Se puede factorizar el denominador mediante la descomposición en fracciones simples, las cuales pueden ser transformadas de nuevo al dominio del tiempo. Haciendo esto obtenemos la respuesta al impulso y la ecuación diferencial de coeficientes lineales constantes del sistema.

Salida del sistema[editar]

Si por un sistema pasa una señal entonces la salida será . Haciendo una descomposición en fracciones simples de y la TZ inversa de cada una de ellas puede encontrarse entonces la salida .

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]