Función definida a trozos

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Ejemplo de gráfica de una función definida a trozos.

En matemáticas, una función definida a trozos (también denominada función por partes, función seccionada o función definida por tramos) es una función cuya definición (la regla que define la dependencia), llamada regla de correspondencia, cambia dependiendo del valor de la variable independiente.[1]

Formalmente, una función real f (definida a trozos) de una variable real x es la relación cuya definición está dada por varios conjuntos disjuntos de su dominio (conocidos como subdominios).

La palabra "A trozos" se usa para describir cualquier propiedad de una función definida a trozos que se cumple para cada trozo aunque podría no cumplirse para todo el dominio de f. Por ejemplo, una función es diferenciable a trozos si cada trozo es diferenciable a lo largo del dominio. En Análisis Convexo, la noción de la derivada puede ser reemplazada por la de subderivada para funciones definidas a trozos.[cita requerida]

Definición[editar]

Si A y B son dos conjuntos cualesquiera y f una función

f : A \to B

definida entre ellos. Supongamos que A puede representarse como una unión de conjuntos disjuntos Ai

A = \bigcup_{i=1}^n A_i, \quad \mbox{ con } A_i \cap A_j = \emptyset \ \forall j \ne i

y que, para cada uno de los Ai, existe una función fi

f_i : A_i \to B

Entonces

f es una función definida a trozos si \forall x \in A_i \ f(x) = f_i(x), \quad 1 \leq i \leq n.

En otras palabras, f es definida a trozos si su regla de asignación es diferente para al menos dos valores de la variable independiente.

Notación e interpretación[editar]

Gráfica de la función valor absoluto, y = |x|.

Las funciones definidas a trozos se expresan con una notación funcional común, donde el cuerpo de la función es una lista de expresiones matemáticas asociadas a subconjuntos del dominio.

Por ejemplo, la función valor absoluto

\mathrm{abs} : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}

puede definirse así


   |x| \equiv \mathrm{abs}\,(x) =
   \left \{
   \begin{array}{rcl}
      -x, & \mbox{si } & x < 0 \\
       x, & \mbox{si } & x \ge 0
   \end{array}
   \right .

En este caso, el dominio fue dividido en los conjuntos

D_1 = \{x\in\mathbb{R}:x<0\}, \quad D_2 = \{x\in\mathbb{R}:x\geq0\}

los cuales son disjuntos y cumplen

D_1 \cup D_2 = \mathbb{R}

Para todos los valores de x menores que cero, la primera expresión matemática de la definición de abs(x) debe ser utilizada. Como esta expresión es –x, el signo del valor que asignamos a la variable independiente se invierte. De modo similar, para todos los valores de x mayores o iguales que cero, la segunda expresión matemática (la función x) es utilizada.

A continuación, se presenta una tabla con valores de abs(x), en algunos puntos x del dominio.

x abs(x) Expresión utilizada
−3 3 x
−0.1 0.1 x
0 0 x
1/2 1/2 x
5 5 x

En general, para evaluar una función definida a trozos en un determinado valor del dominio, seleccionamos la expresión matemática cuyo subdominio contiene el valor a evaluar.

Continuidad[editar]

Una función definida a trozos con diferentes funciones cuadráticas a cada lado de x_0.

Una función definida a trozos es continua en un intervalo dado si está definida por el intervalo, las expresiones matemáticas apropiadas que constituyen a la función son continuas en ese intervalo, y no hay discontinuidad en ningún punto extremo de los subdominios en ese intervalo.

La función que está a la derecha, por ejemplo, es una función definida a trozos continua en todos sus subdominios, pero no es continua en todo el dominio. Dicha función tiene un salto de discontinuidad (un agujero) en x_0.

Referencias[editar]

  1. Alonso Molina, Fernando (2000). Proyecto Azarquiel matemáticas: segundo ciclo, 4o de E.S.O. Ediciones de la Torre. p. 221. ISBN 9788479601959. 

Véase también[editar]