Regresión lineal

Ejemplo de una regresión lineal con una variable dependiente y una variable independiente.

En estadística la regresión lineal o ajuste lineal es un modelo matemático usado para aproximar la relación de dependencia entre una variable dependiente Y, las variables independientes X_i y un término aleatorio ε. Este modelo puede ser expresado como:

$Y_{t}=\beta _{0}+\beta _{1}X_{1}+\beta _{2}X_{2}+\cdots +\beta _{p}X_{p}+\varepsilon$

donde:

$Y_{t}$: variable dependiente, explicada o regresando.

$X_{1},X_{2},\cdots ,X_{p}$: variables explicativas, independientes o regresores.

$\beta _{0},\beta _{1},\beta _{2},\cdots ,\beta _{p}$: parámetros, miden la influencia que las variables explicativas tienen sobre el regrediendo.

donde $\beta _{0}$ es la intersección o término "constante", las $\beta _{i}\ (i>0)$ son los parámetros respectivos a cada variable independiente, y $p$ es el número de parámetros independientes a tener en cuenta en la regresión. La regresión lineal puede ser contrastada con la regresión no lineal.

Historia

La primera forma de regresión lineal

El término regresión se utilizó por primera vez en el estudio de variables antropométricas: al comparar la estatura de padres e hijos, donde resultó que los hijos cuyos padres tenían una estatura muy superior al valor medio, tendían a igualarse a éste, mientras que aquellos cuyos padres eran muy bajos tendían a reducir su diferencia respecto a la estatura media; es decir, "regresaban" al promedio.​ La constatación empírica de esta propiedad se vio reforzada más tarde con la justificación teórica de ese fenómeno.

El término lineal se emplea para distinguirlo del resto de técniicas de regresión, que emplean modelos basados en cualquier clase de función matemática. Los modelos lineales son una explicación simplificada de la realidad, mucho más ágiles y con un soporte teórico mucho más extenso por parte de la matemática y la estadística.

Pero bien, como se ha dicho, se puede usar el término lineal para distinguir modelos basados en cualquier clase de aplicación.

El modelo de regresión lineal

El modelo lineal relaciona la variable dependiente Y con K variables explícitas $X_{k}$ (k = 1,...K), o cualquier transformación de éstas que generen un hiperplano de parámetros $\beta _{k}$ desconocidos:

(2)$Y=\sum \beta _{k}X_{k}+\varepsilon$

donde $\varepsilon$ es la perturbación aleatoria que recoge todos aquellos factores de la realidad no controlables u observables y que por tanto se asocian con el azar, y es la que confiere al modelo su carácter estocástico. En el caso más sencillo, con una sola variable explícita, el hiperplano es una recta:

(3)$Y=\beta _{1}+\beta _{2}X_{2}+\varepsilon$

El problema de la regresión consiste en elegir unos valores determinados para los parámetros desconocidos $\beta _{k}$, de modo que la ecuación quede completamente especificada. Para ello se necesita un conjunto de observaciones. En una observación i-ésima (i= 1,... I) cualquiera, se registra el comportamiento simultáneo de la variable dependiente y las variables explícitas (las perturbaciones aleatorias se suponen no observables).

(4)$Y_{i}=\sum \beta _{k}X_{ki}+\varepsilon _{i}$

Los valores escogidos como estimadores de los parámetros ${\hat {\beta _{k}}}$, son los coeficientes de regresión sin que se pueda garantizar que coincida n con parámetros reales del proceso generador. Por tanto, en

(5)$Y_{i}=\sum {\hat {\beta _{k}}}X_{ki}+{\hat {\varepsilon _{i}}}$

Los valores ${\hat {\varepsilon _{i}}}$ son por su parte estimaciones o errores de la perturbación aleatoria.

Hipótesis del modelo de regresión lineal clásico

1. Esperanza matemática nula: $\mathbb {E} (\varepsilon _{i})=0$. Para cada valor de X la perturbación tomará distintos valores de forma aleatoria, pero no tomará

sistemáticamente valores positivos o negativos, sino que se supone tomará algunos valores mayores que cero y otros menores que cero, de tal forma que su valor esperado sea cero.

1. Homocedasticidad: ${\text{Var}}(\varepsilon _{t})=\mathbb {E} (\varepsilon _{t}-\mathbb {E} \varepsilon _{t})^{2}=\mathbb {E} \varepsilon _{t}^{2}=\sigma ^{2}$ para todo t. Todos los términos de la perturbación tienen la misma varianza que es desconocida. La dispersión de cada $\varepsilon _{t}$ en torno a su valor esperado es siempre la misma.
2. Incorrelación o independencia: ${\text{Cov}}(\varepsilon _{t},\varepsilon _{s})=(\varepsilon _{t}-\mathbb {E} \varepsilon _{t})(\varepsilon _{s}-\mathbb {E} \varepsilon _{s})=\mathbb {E} \varepsilon _{t}\varepsilon _{s}=0$ para todo t,s con t distinto de s. Las covarianzas entre las distintas pertubaciones son nulas, lo que quiere decir que no están correlacionadas. Esto implica que el valor de la perturbación para cualquier observación muestral no viene influenciado por los valores de las perturbaciones correspondientes a otras observaciones muestrales.
3. Regresores estocásticos.
4. Independencia lineal. No existen relaciones lineales exactas entre los regresores.
5. $T>k+1$. Suponemos que no existen errores de especificación en el modelo, ni errores de medida en las variables explicativas.
6. Normalidad de las perturbaciones: $\varepsilon \sim N(0,\sigma ^{2})$

Supuestos del modelo de regresión lineal

Para poder crear un modelo de regresión lineal es necesario que se cumpla con los siguientes supuestos:​

1. Que la relación entre las variables sea lineal.
2. Que los errores en la medición de las variables explicativas sean independientes entre sí.
3. Que los errores tengan varianza constante. (Homocedasticidad)
4. Que los errores tengan una esperanza matemática igual a cero (los errores de una misma magnitud y distinto signo son equiprobables).
5. Que el error total sea la suma de todos los errores.

Tipos de modelos de regresión lineal

Existen diferentes tipos de regresión lineal que se clasifican de acuerdo a sus parámetros:

Regresión lineal simple

Sólo se maneja una variable independiente, por lo que sólo cuenta con dos parámetros. Son de la forma:​

(6)$Y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}X_{i}+\varepsilon _{i}$

donde $\varepsilon _{i}$ es el error asociado a la medición del valor $X_{i}$ y siguen los supuestos de modo que $\varepsilon _{i}\sim N(0,\sigma ^{2})$ (media cero, varianza constante e igual a un $\sigma$ y $\varepsilon _{i}\perp \varepsilon _{j}$ con $i\neq j$).

Dado el modelo de regresión simple anterior, si se calcula la esperanza (valor esperado) del valor Y, se obtiene:​

(7)$E(y_{i})={\hat {y_{i}}}=E(\beta _{0})+E(\beta _{1}x_{i})+E(\varepsilon _{i})$

Derivando respecto a ${\hat {\beta }}_{0}$ y ${\hat {\beta }}_{1}$ e igualando a cero, se obtiene:​

(9)${\frac {\partial \sum (y_{i}-{\hat {y_{i}}})^{2}}{\partial {\hat {\beta }}_{0}}}=0$

(10)${\frac {\partial \sum (y_{i}-{\hat {y_{i}}})^{2}}{\partial {\hat {\beta }}_{1}}}=0$

Obteniendo dos ecuaciones denominadas ecuaciones normales que generan la siguiente solución para ambos parámetros:​

(11)${\hat {\beta _{1}}}={\frac {\sum x\sum y-n\sum xy}{\left(\sum x\right)^{2}-n\sum x^{2}}}={\frac {\sum (x-{\bar {x}})(y-{\bar {y}})}{\sum (x-{\bar {x}})^{2}}}$

(12)${\hat {\beta _{0}}}={\frac {\sum y-{\hat {\beta }}_{1}\sum x}{n}}={\bar {y}}-{\hat {\beta _{1}}}{\bar {x}}$

La interpretación del parámetro medio ${\beta _{1}}$ es que un incremento en Xi de una unidad, Yi incrementará en ${\beta _{1}}$

Regresión lineal múltiple

La regresión lineal permite trabajar con una variable a nivel de intervalo o razón. De la misma manera, es posible analizar la relación entre dos o más variables a través de ecuaciones, lo que se denomina regresión múltiple o regresión lineal múltiple.

Constantemente en la práctica de la investigación estadística, se encuentran variables que de alguna manera están relacionadas entre sí, por lo que es posible que una de las variables puedan relacionarse matemáticamente en función de otra u otras variables.

Maneja varias variables independientes. Cuenta con varios parámetros. Se expresan de la forma:​

(13)$Y_{i}=\beta _{0}+\sum \beta _{p}X_{pi}+\varepsilon _{i}$

donde $\varepsilon _{i}$ es el error asociado a la medición $i$ del valor $X_{pi}$ y siguen los supuestos de modo que $\varepsilon _{i}\sim N(0,\sigma ^{2})$ (media cero, varianza constante e igual a un $\sigma$ y $\varepsilon _{i}\perp \varepsilon _{j}$ con $i\neq j$).

Rectas de Regresión

Las rectas de regresión son las rectas que mejor se ajustan a la nube de puntos (o también llamado diagrama de dispersión) generada por una distribución binomial. Matemáticamente, son posibles dos rectas de máximo ajuste:​

• La recta de regresión de Y sobre X:

(14)$y={\bar {y}}+{\frac {\sigma _{xy}}{\sigma _{x}^{2}}}(x-{\bar {x}})$

• La recta de regresión de X sobre Y:

(15)$x={\bar {x}}+{\frac {\sigma _{xy}}{\sigma _{y}^{2}}}(y-{\bar {y}})$

La correlación ("r") de las rectas determinará la calidad del ajuste. Si r es cercano o igual a 1, el ajuste será bueno y las predicciones realizadas a partir del modelo obtenido serán muy fiables (el modelo obtenido resulta verdaderamente representativo); si r es cercano o igual a 0, se tratará de un ajuste malo en el que las predicciones que se realicen a partir del modelo obtenido no serán fiables (el modelo obtenido no resulta representativo de la realidad). Ambas rectas de regresión se intersecan en un punto llamado centro de gravedad de la distribución.

Aplicaciones de la regresión lineal

Líneas de tendencia

Véase también: Tendencia

Una línea de tendencia representa una tendencia en una serie de datos obtenidos a través de un largo período. Este tipo de líneas puede decirnos si un conjunto de datos en particular (como por ejemplo, el PIB, el precio del petróleo o el valor de las acciones) han aumentado o decrementado en un determinado período.​ Se puede dibujar una línea de tendencia a simple vista fácilmente a partir de un grupo de puntos, pero su posición y pendiente se calcula de manera más precisa utilizando técnicas estadísticas como las regresiones lineales. Las líneas de tendencia son generalmente líneas rectas, aunque algunas variaciones utilizan polinomios de mayor grado dependiendo de la curvatura deseada en la línea.

Medicina

En medicina, las primeras evidencias relacionando la mortalidad con el fumar tabaco​ vinieron de estudios que utilizaban la regresión lineal. Los investigadores incluyen una gran cantidad de variables en su análisis de regresión en un esfuerzo por eliminar factores que pudieran producir correlaciones espurias.

En el caso del tabaquismo, los investigadores incluyeron el estado socio-económico para asegurarse que los efectos de mortalidad por tabaquismo no sean un efecto de su educación o posición económica. No obstante, es imposible incluir todas las variables posibles en un estudio de regresión.​​ En el ejemplo del tabaquismo, un hipotético gen podría aumentar la mortalidad y aumentar la propensión a adquirir enfermedades relacionadas con el consumo de tabaco. Por esta razón, en la actualidad las pruebas controladas aleatorias son consideradas mucho más confiables que los análisis de regresión.

Informática

Ejemplo de una rutina que utiliza una recta de regresión lineal para proyectar un valor futuro: Código escrito en PHP

<?php
//Licencia: GNU/GPL
$xarray=array(1, 2, 3, 4, 5 );	//Dias
$yarray=array(5, 5, 5, 6.8, 9); //Porcentaje de ejecucion
$pm=100; //Valor futuro
$x2=0;
$y=0;
$x=0;
$xy=0;
$cantidad=count($xarray);
for($i=0;$i<$cantidad;$i++){
      //Tabla de datos
      print ($xarray[$i]." ---- ".$yarray[$i]."<br>");
      //Calculo de terminos
      $x2 += $xarray[$i]*$xarray[$i];
      $y  += $yarray[$i];
      $x  += $xarray[$i];
      $xy += $xarray[$i]*$yarray[$i];
}
//Coeficiente parcial de regresion
$b=($cantidad*$xy-$x*$y)/($cantidad*$x2-$x*$x);
//Calculo del intercepto
$a=($y-$b*$x)/$cantidad;
//Recta tendencial
//y=a+bx
//Proyeccion en dias para un 100% de la ejecucion:
if ($b!=0) $dias_proyectados=($pm-$a)/$b;
else $dias_proyectados=999999; //Infinitos
$dp=round($dias_proyectados,0);
if($dp<=$pm) 	print $dp."---> Culmina antes de los $pm dias <br>";
if($dp >$pm) 	print $dp ."---> ALARMA: No culmina antes de los $pm dias <br>";
?>

Véase también

• Homoscedasticidad
• Regresión logística
• Modelos de regresión múltiple postulados y no postulados
• Regresión segmentada
• Econometría
• Mínimos cuadrados
• Regularización de Tikhonov
• Cuarteto de Anscombe
• Capital Asset Pricing Model
• Regresión simple

Referencias

Bibliografía

• Devore, Jay L.; Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias. International Thomson Editores. México. ISBN 9706864571.
• Walpole, Ronald E.; Raymond H.; Myers, Sharon L.; Probabilidad y Estadística para Ingenieros. Pretice-Hall Hispanoamericana, S.A. México. ISBN 9701702646.
• Canavos, George C.; Probabilidad y Estadística. Aplicaciones y Métodos. McGraw-Hill. México. ISBN 9684518560.

Enlaces externos

• Cálculo de regresiones lineales en línea. (en inglés)
• ZunZun.com Ajuste de curvas y superficies en línea. (en inglés)
• xuru.org Herramientas de regresión lineal en línea. (en inglés)
• [1] Simulación de la recta de regresión de una variable bidimensional continua con R (lenguaje de programación)