Media aritmética

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Construcción geométrica para hallar las medias aritmética (A), cuadrática (Q), geométrica (G) y armónica (H) de dos números a y b.

En matemáticas y estadística, la media aritmética (también llamada promedio o simplemente media) de un conjunto finito de números es el valor característico de una serie de datos cuantitativos objeto de estudio que parte del principio de la esperanza matemática o valor esperado, se obtiene a partir de la suma de todos sus valores dividida entre el número de sumandos. Cuando el conjunto es una muestra aleatoria recibe el nombre de media muestral siendo uno de los principales estadísticos muestrales.

Definición[editar]

Dados los n números \{a_1, a_2, \ldots, a_n\}, la media aritmética se define como:

 \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} a_i = \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}

Por ejemplo, la media aritmética de 8, 5 y -1 es igual a:

 \bar{x} = \frac{ 8 + 5 + \left ( -1 \right ) }{3} = 4

Se utiliza la letra X con una barra horizontal sobre el símbolo para representar la media de una muestra (\overline{X}), mientras que la letra µ (mu) se usa para la media aritmética de una población, es decir, el valor esperado de una variable.

En otras palabras, es la suma de n valores de la variable y luego dividido por n : donde n es el número de sumandos, o en el caso de estadística el número de datos se da el resultado

Propiedades[editar]

  • La suma de las desviaciones con respecto a la media aritmética es cero (0).
  • La media aritmética de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable con respecto a una constante cualquiera se hace mínima cuando dicha constante coincide con la media aritmética.
  • Si a todos los valores de la variable se le suma una misma cantidad, la media aritmética queda aumentada en dicha cantidad.
  • Si todos los valores de la variable se multiplican por una misma constante la media aritmética queda multiplicada por dicha constante.
  • La media aritmética de un conjunto de números positivos siempre es igual o superior a la media geométrica:

\sqrt[n]{x_1 x_2 \dots x_n} \le \frac{x_1+ \dots + x_n}{n}

  • La media aritmética está comprendida entre el valor máximo y el valor mínimo del conjunto de datos:

\min \{x_1, x_2, \dots x_n\} \le \frac{x_1+ \dots + x_n}{n}
\le \max \{x_1, x_2, \dots x_n\}

  • La media es un valor comprendido entre los extremos de la distribución.
  • La media es el centro de gravedad de la distribución de la variable. La media muestral es donde el diagrama de puntos se equilibra (Wild & Seber, 1999, 63). Es decir, la suma de las desviaciones de los valores con respecto a ella es igual a cero.
  • La media del producto de una constante a por una variable X es igual al producto de la constante por la media de la variable dada. Es decir, si se efectúa un cambio de unidad de medida a los datos (por ejemplo de metros a centímetros), la media queda afectada por dicho cambio de escala.
  • La media de la suma de una constante entera a con una variable X es igual a la suma de la constante con la media de la variable dada. O sea, al efectuar un cambio en el origen desde el que se han medido los datos, la media queda afectada por dicho cambio de origen.
  • La media está influenciada por los valores de cada uno de los datos.
  • La media no tiene por qué ser igual a uno de los valores de los datos, ni siquiera de su misma naturaleza: datos enteros pueden tener una media decimal.
  • La media es un representante de los datos a partir de los que ha sido calculada, es decir, es un número que distingue un grupo de datos de otros (aunque es importante tener en cuenta medidas de dispersión para diferenciar grupos de datos con la misma media).

En otros términos hay por lo menos un dato que es mayor o igual que la media aritmética.

Por ejemplo, es fácil deducir que en una reunión de 38 individuos hay necesariamente al menos 4 que nacieron el mismo mes. El promedio de individuos que nacieron por mes es 38/12 ≈ 3,167. Luego en algún mes nacieron en una cantidad entera y mayor o igual que el promedio, o sea 4 ≥ 3,167.[1]

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Lages Elon, y otros La matemática de la Enseñanza media [2000]; ISBN 99972-753-48-4; pág. 129.

Enlaces externos[editar]