Distribución log-normal

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En probabilidades y estadísticas, la distribución normal logarítmica es una distribución de probabilidad de una variable aleatoria cuyo logaritmo está normalmente distribuido. Es decir, si X es una variable aleatoria con una distribución normal, entonces exp(X) tiene una distribución log-normal.

La base de una función logarítmica no es importante, ya que loga X está distribuida normalmente si y sólo si logb X está distribuida normalmente, sólo se diferencian en un factor constante.

Log-normal también se escribe log normal o lognormal.

Una variable puede ser modelada como log-normal si puede ser considerada como un producto multiplicativo de muchos pequeños factores independientes. Un ejemplo típico es un retorno a largo plazo de una inversión: puede considerarse como un producto de muchos retornos diarios.

La distribución log-normal tiende a la función densidad de probabilidad

para , donde y son la media y la desviación estándar del logaritmo de variable. El valor esperado es

y la varianza es

.

Relación con media y la desviación estándar geométrica[editar]

La distribución log-normal, la media geométrica, y la desviación estándar geométrica están relacionadas. En este caso, la media geométrica es igual a y la desviación estándar geométrica es igual a .

Si una muestra de datos determina que proviene de una población distribuida siguiendo una distribución log-normal, la media geométrica de la desviación estándar geométrica puede utilizarse para estimar los intervalos de confianza tal como la media aritmética y la desviación estándar se usan para estimar los intervalos de confianza para un dato distribuido normalmente.

Límite de intervalo de confianza log geométrica
3σ límite inferior
2σ límite inferior
1σ límite inferior
1σ límite superior
2σ límite superior
3σ límite superior

Donde la media geométrica y la desviación estándar geométrica

Momentos[editar]

Los primeros momentos son:

o de forma general:

Estimación de parámetros[editar]

Para determinar los estimadores que más se aproximan a los parámetros μ y σ de la distribución log-normal, podemos utilizar los mismos procedimientos que para la distribución normal. Para no repetirlo, obsérvese que

donde por denotamos la función densidad de probabilidad de distribución log-normal, y por a la de la distribución normal. Por lo tanto, utilizando los mismos índices para denotar las distribuciones, podemos escribir que

Ya que el primer término es constante respecto a μ y σ, ambas funciones logarítmicas, y , obtienen su máximo con el mismo μ y σ. Por tanto, utilizando las fórmulas para los estimadores de parámetros de la distribución normal, y la igualdad de arriba, deducimos que para la distribución log-normal se cumple:

Distribución relacionada[editar]

  • Si es una distribución normal, entonces .
  • Si son variables independentes log-normalmente distribuidas con el mismo parámetro μ y permitiendo que varíe σ, y , entonces Y es una variable distribuida log-normalmente como: .

Véase también[editar]

Software[editar]

Se puede usar software o programa de computadora para el ajuste de una distribución de probabilidad, incluyendo la lognormal, a una serie de datos: