Desigualdad de las medias aritmética y geométrica

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En matemáticas, se conoce como desigualdad entre media aritmética y geométrica, o MA-MG, aquella desigualdad que establece que la media aritmética de un conjunto de números reales positivos es mayor o igual que la media geométrica del mismo conjunto, cumpliéndose únicamente la igualdad cuando todos los elementos del conjunto sean iguales.

Media aritmética y media geométrica[editar]

La media aritmética de un conjunto de números reales es igual a la suma dividida por el número total de elementos,

La media geométrica de un conjunto de reales no negativos , es igual a la raíz enésima del producto de todos ellos:

La desigualdad[editar]

Sea entonces

La igualdad se cumple si y sólo si .

Demostración por inducción[editar]

Para demostrar la desigualdad MA-MG, se desarrollara por una variante del método de inducción matemática, demostrando que la MA-MG es cierta para 2 elementos, luego generalizándolo para 2n elementos y demostrando que si es cierta para n es cierta para n-1 elementos (variante "adelante-atrás" según Augustin Louis Cauchy).

Sea un conjunto de n elementos.

Procedemos a considerar el primer paso en que n=2:

Quedando así demostrado para n=2, luego se demuestra que si es cierta para n es cierta para 2n elementos.

Siguiendo la hipótesis,

Se sigue que,

Siendo esto igual a,

Quedando así demostrado que si es cierto para n elementos es cierto para 2n elementos.

Ahora procedemos a demostrar que si es cierta para n elementos es cierta para n-1 elementos,

Sea y

Se considera la desigualdad de todos los elementos mencionados,

Haciendo raíz n-1-ésima se sigue,

Quedando así demostrado por el método inductivo, la veracidad de la desigualdad MA-MG.

Q.E.D.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  • Oleksandr, karlein.Rondero Guerrero, Carlos.Tarasenko, Anna. (2008). Desigualdades, métodos de calculo no tradicionales". Díaz de Santos. ISBN 978-84-7978-807-0