Media generalizada

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La media generalizada es una abstracción de los diversos tipos de media (geométrica, aritmética, armónica, etc).

Se define como:

 M_m(x_1,\dots,x_n) = \begin{cases}
   \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^m \right)^{\frac{1}{m}}  & \mbox{si}\, m \not= 0\\
   \left( \prod_{i=1}^n{x_i} \right)^{\frac{1}{n}} & \mbox{si}\, m=0
\end{cases}
Construcción geométrica para hallar las medias aritmética, geométrica y armónica de dos números a y b.

En donde ciertos valores del parámetro m se corresponden con otro tipo de medias:

 M_{ \infty}(x_1,\dots,x_n) = Max(x_1,\dots,x_n)
 M_2(x_1,\dots,x_n) = media cuadrática
 M_1(x_1,\dots,x_n) = media aritmética
 M_0(x_1,\dots,x_n) = media geométrica
 M_{-1}(x_1,\dots,x_n) = media armónica
 M_{-\infty}(x_1,\dots,x_n) = Min(x_1,\dots,x_n)

Propiedades

 M_i(x_1,\dots,x_n) \leq M_j(x_1,\dots,x_n)   \mbox{si}\, i < j


Obsérvese que para valores de m \leq 0 la expresión sólo tiene sentido si todos los x_i \geq 0 .

El concepto de media generalizada también puede servir para definir otros más amplios.[1]

Notas y referencias[editar]

  1. Merigó, José M.; Casanovas, Montserrat (2009). «The Generalized Hybrid Averaging Operator and its Application in Decision Making». Revista de Métodos Cuantitativos para la Economía y la Empresa 9: 69-84. ISSN 1886-516X.