Origami

Grulla de papel.

Crane

El origami (折り紙, origami^?) es el arte de origen japonés consistente en el plegado de papel para obtener figuras de formas variadas. En español se denomina usualmente papiroflexia, aunque su nombre oriental, origami, también está muy extendido. Otra palabra para referirse a este arte es cocotología.

En el origami no se utilizan tijeras ni pegamento o grapas, tan sólo el papel y las manos. Aún así, con sólo algunas hojas de papel pueden obtenerse distintos cuerpos geométricos (incluso poliedros) y figuras parecidas a la realidad (animales, personas, flores, objetos, etc). Las distintas figuras obtenidas a partir de una hoja de papel pueden presentar diferentes áreas (según la porción de papel que queda debajo de otra) y varios volúmenes.

La particularidad de esta técnica es la transformación del papel en formas de distintos tamaños y simbología partiendo de una base inicial cuadrada o rectangular que pueden ir desde sencillos modelos hasta plegados de gran complejidad. Los sujetos preferidos para modelar son animales y otros elementos de la naturaleza como flores y árboles entre otros motivos.

Con el origami se hace posible elaborar lo pensado y lo inimaginable, todo lo que constituye el medio que nos rodea y en el cual vivimos: Fauna y flora de todos los continentes, la vida urbana, herramientas de nuestra cotidianidad, dinosaurios, dragones, estrellas y otros astros que imiten el universo.

Origen del término

Primer libro de origami de 1797

El origen de la palabra procede de los vocablos japoneses "oru" (plegar) y "kami" que designa al papel (origami = 折り紙).

Historia

El Origami en Occidente

El origami llegó a Occidente cuando había terminado la Ruta de la Seda al Este Cercano. El papel hizo su aparición cuando Marco Polo llevó el origami en el siglo XIII, pero no fue bien recibido por los europeos. En el Occidente prefirieron el pergamino para empapelar.

El papel no duró más que el pergamino pero se aceptó finalmente por las ventajas que tenía a favor: porque era más fácil de manipular y el producto era menos caro. La invención de la prensa ayudó después en su aceptación.

Sus orígenes también se remontan a la Invasión árabe en el siglo VIII, cuando trasladaban los prisioneros chinos a Samarcanda en el año 751. De los prisioneros aprendieron a hacer y a doblar papel, inicialmente figuras clásicas simples como animales. Desde que la religión musulmana prohibió la representación del ser humano y las formas animales en el arte, por la creencia de la idolatría a imágenes, entonces sus investigaciones en papiroflexia iban dirigidas al estudio de formas geométricas y el estudio matemático de los patrones lineales que quedan al doblar el papel. Como máxima expresión de esta actividad fueron los edificios de arquitectura morisca, en la cual utilizaron esos mismos patrones para su diseño.

Existen actualmente una infinidad de teoremas y principios relacionados con el doblado de papel, muchos de los cuales han desarrollado nuevos conceptos de matemática aplicada, como por ejemplo en la topografía. Después de que los árabes fueran expulsados de España durante la Reconquista, los españoles se quedaron con los diseños y desarrollos, incorporando formas que representaban la naturaleza.

Encuentro entre Oriente y Occidente

Hace unos 100 años tuvieron lugar cambios decisivos en Japón, ya que los norteamericanos querían extender su comercio hacia Asia y necesitaban concesiones y socios en esta región. Bajo la amenaza de emplear las armas obligaron a los japoneses a abrir sus puertos. Japón reabrió sus puertas al mundo en el año 1854 gracias al comodoro norteamericano Perry, después de siglos de aislamiento.

Todos estos acontecimientos sociales y culturales repercutieron de forma significativa en el Origami clásico (el Orikata), naciendo así el Origami moderno. En el Origami clásico se recortaba, pegaba y pintaba. Para el Origami "las tijeras son tabú", "la pintura se debe evitar" y "la utilización del pegamento es impensable". La forma pura, lograda solamente mediante el plegado, debe responder de sí misma. No existe otro elemento de configuración que el material en su estructura, dibujo o color. Así los maestros japoneses crearon las nuevas normas para el origami moderno.

En la Exposición Universal de París en 1878, durante el Período Meiji, se fusionan los conocimientos orientales y occidentales, creando así un solo origami, un solo arte, el cual había evolucionado aisladamente. A finales del siglo XIX, Friedrich Fröebel, incorpora y desarrolla el origami en sus técnicas de enseñanza a nivel escolar, siendo adoptado rápidamente en los jardines infantiles japoneses por la utilidad en el preescolar para enseñar las figuras geométricas, entre otros beneficios que brinda el origami en la educación. Por esta época, un vendedor europeo llevó a Tokio papel de colores, desconocido allá, este tuvo una amplia acogida que hizo que el origami mejorara su calidad en la realización de los modelos.

Miguel de Unamuno, la llegada al mundo hispano

En lo que respecta a los países hispanohablantes, tanto en España como América del Sur, quien introdujo realmente y propulsó el origami, fue el escritor español Miguel de Unamuno alrededor de la década de 1930. Ya que hasta entonces, el origami apenas había tenido influencia en la península, pues pese a haber sido introducido por los árabes, en la Europa Medieval lo que se utilizaba era el papiro, un material bastante 'tosco' si lo comparamos con el ligero papel de arroz oriental. Por eso, cobra notoria importancia Miguel de Unamuno pues es el primero que realmente se tomó en serio hacer "pajaritas de papel".

Otro de los aspectos por los que se destacó fue por escribir, además de multitud de obras literarias de gran relevancia, una especie de tratado acerca de la 'cocotología'; término creado por el propio Unamuno para designar al origami, que deriva de 'cocotte' que significa algo así como 'gallina' o 'pajarita' en francés. Además, Miguel de Unamuno publicó varios libros de plegado, entre ellos el ensayo "Amor y Pedagogía", donde habla del origami en el apéndice.

Así pues, Miguel de Unamuno además de su consecuencias en la península ibérica, tuvo también una enorme influencia en América del Sur. Es más, podríamos decir que es el padre de la papiroflexia hispanoamericana pues, al igual que en España, la papiroflexia tenía hasta entonces muy poca relevancia. Sin embargo, la papiroflexia como tal, tuvo mayor aceptación en América del Sur donde hoy día tiene muchos seguidores y han surgido grandes papirofléxicos como por ejemplo los argentinos Vicente Solórzano Sagredo y Ligia Montoya quienes practicaron la papiroflexia, dándole gran importancia a este arte de plegados y figuras inimaginables, entre otros.

Popularización del arte

Durante esta misma década, los educadores impusieron que los estudiantes en sus creaciones mostraran originalidad y creatividad, por lo tanto, el origami fue rechazado por faltar en los requisitos anteriores, pero asegurado el paperfolding por su historia milenaria, recobró su popularidad una vez más gracias al revolucionario del Origami del siglo XX: Akira Yoshizawa -el genio del origami, quien ha realizado más de 50.000 trabajos y hoy en día crea nuevos modelos prodigiosos- fue quien desarrolló las nuevas formas de sobrevivir a los modelos tradicionales restableciendo el origami como forma de arte creativa, poniendo énfasis en la sensibilidad de la forma y exactitud en el plano a trabajar. Los hechos y el renacimiento que sufrió el origami ocurrió en el Período Taisho.

Trabajando en las ideas que ayudaron a seguir en pie al origami, a mediados del Período Showa, Yoshizawa, conoce a Sam Randlett y hacia la década de 1950 crearon un código internacional para representar los dobleces que componían las figuras para poder ser realizadas, las cuales son las que actualmente se utilizan como herramienta para el desarrollo de los plegados. A partir de este sistema de líneas, la publicación de libros aumentó considerablemente, inicialmente en el Japón con Isao Honda y luego en Inglaterra con Robert Harbin. Esto hizo que la gente comenzara a agruparse y en 1958 se creó FOCA ("Friends of Origami Center of América", actualmente Origami USA), en 1967 la British Origami Society y así se desarrollaron grupos en todos los países como Francia (1978) y España (1981).

Origami en la actualidad

Actualmente existen autores de renombre mundial como Kunihiko Kasahara y Tomoko Fuse en Japón, [| Robert Lang] y John Montroll en Estados Unidos, Vicente Palacios en España, Peter Budai en Hungría (quien publicó su primer libro a los 12 años). Aparte de eso hay muchos origamistas, que aunque no han publicado mucho son muy conocidos en el mundo de origami, como Jeremy Shafer, Tom Hull y Mette Pederson en Estados Unidos, Joseph Wu en Canadá; Alfredo Guinta en Italia, Marteen Van Gelder en Holanda y otros muchos que harían una lista interminable.

Prontamente, la papiroflexia pasa rápidamente al olvido, pero seguía latente en sus raíces, de este modo se volvió a recordar este precioso arte reanudando la tradición del noshi, colocándolo en un regalo para recordar que el obsequiar este plegado, según la tradición japonesa, da buena suerte a quien lo recibe.

Actualmente el origami está en el Período Heisei, el cual es una etapa de un cambio en su concepción. Años anteriores se lo consideraba como una artesanía, ahora como un arte incluido entre las aficiones intelectuales y científicas.

Tipos de Origami

Origami de acción

El origami no sólo representa figuras inmóviles, también existen objetos móviles donde las figuras pueden moverse de maneras ingeniosas. El origami de acción incluye modelos que vuelan, que requieren ser inflados para completarlos o que presionando o tirando de cierta región del modelo se consigue que la figura mueva un miembro, aletee, etc. Algunos sostienen que, en realidad, sólo este último es realmente “reconocido” como origami de acción. El origami de acción, habiendo aparecido primero con el pájaro aleteador japonés tradicional, es bastante común. Un ejemplo son los instrumentalistas de Robert Lang; cuando se hallan las cabezas de las figuras en sentido contrario a sus cuerpos, sus manos se moverán, asemejándose a la acción de tocar música.

Origami modular (Kusudama)

Ejemplo de origami modular

El origami modular consiste en poner una cantidad de piezas idénticas juntas para formar un modelo completo. Las piezas son normalmente simples pero el conjunto final puede ser complicado. Muchos de los modelos modulares de origami son bolas decorativas como el kusudama, sin embargo la técnica difiere en que el kusudama permite que las piezas sean puestas juntas usando hilo o pegamento.

La papiroflexia china incluye un estilo llamado "Origami 4D" donde una gran cantidad de piezas se juntan para hacer modelos elaborados. A veces se utilizan billetes para los módulos. Este estilo fue creado por algunos refugiados chinos mientras fueron detenidos en América y se conoce también como "Golden Venture" en honor al barco en el que viajaron.

Plegado en húmedo

El plegado en húmedo es una técnica de origami para producir modelos con curvas finas en vez de pliegues geométricos rectos y superficies planas. Consiste en humedecer el papel para que pueda ser moldeado fácilmente. El modelo final mantiene su forma cuando se seca. Puede ser utilizado por ejemplo para producir modelos de animales de apariencia muy natural.

Pureland origami

Se trata de un estilo en el que solamente se puede hacer un pliegue a la vez y no se permiten pliegues más complejos como los invertidos. Todos los pliegues deben tener localizaciones directas. Fue desarrollado por John Smith en los años 70 para ayudar a plegadores novatos o a aquellos con habilidades motoras limitadas. A algunos diseñadores también les gusta el desafío de crear buenos modelos dentro de límites tan estrictos.

Teselados o Teselaciones

Esta rama del origami ha crecido recientemente en popularidad, pero tiene una historia extensa. Un teselado es una regularidad o patrón de figuras que cubre o pavimenta completamente una superficie plana sin dejar huecos ni superponer las figuras. Los teselados de origami se hacen normalmente con papel pero se pueden utilizar otros materiales que retengan el pliegue. La historia del vestir incluye teselados hechos en tela que han sido registrados desde la época de los egipcios.

Fujimoto, uno de los primeros maestros japoneses del Origami, publicó libros que incluían teselados y en los años 60 hubo una gran exploración de los teselados por Ron Resch. Chris Palmer es un artista que también ha trabajado extensivamente con los teselados y ha encontrado maneras de crear teselados de origami detallados a partir de la seda. Robert Lang y Alex Bateman son dos diseñadores que utilizan programas de computadora para diseñar teselados de origami. El primer libro estadounidense sobre el tema fue publicado por Eric Gjerde y el campo se ha ido ampliando rápidamente. Hay numerosos artistas de teselados, incluyendo Chris Palmer (E.E.U.U.), Eric Gjerde (E.E.U.U.), Polly Verity (Escocia), Joel Cooper (E.E.U.U.), Christine Edison (E.E.U.U.), Ray Schamp (E.E.U.U.), Roberto Gretter (Italia), Goran Konjevod (E.E.U.U.), Christiane Bettens (Suiza), Carlos Natan López (México) cuyos trabajos son geométricos y representativos.

Origami clásico

Consiste en obtener figuras a partir de una hoja cuadrada de papel, sin uso de tijeras ni pegamento.

Dobleces

valle: línea segmentada; monte: línea segmento-punto-punto

Una figura esta formada por dobleces de dos tipos, visto desde arriba:

• Valles: son dobleces que se hunden en la hoja
• Montes: son dobleces que parecen una montaña, una arista entre vertices que se proyecta hacia el observador

Un conjunto de valles y montes generado al desdoblar una figura terminada se denomina CP (Crease pattern). Es habitual que se diseñe el CP y posteriormente se realicen las instrucciones paso a paso para la figura doblada final.

Bases

Origami Bases

Tradicionalmente las bases clásicas son cuatro ​. Se realizan comenzando con una hoja cuadrada de papel:

• La base del cometa: de donde se origina la figura del cisne.
• La base del pez: de ella surge un pez.
• La base del pájaro: la grulla es un ejemplo que la ocupa.
• La base de la rana: que resulta en la rana.

A estas se añaden otras dos bases sencillas

• La base bomba de agua: de ella resulta el globo de papel que requiere ser inflado.
• El doblez preliminar del inglés Preliminar fold.

En los años 70 aparecieron varios nombres de bases nuevas, que solamente eran modificaciones de las antiguas. Hay poco consenso respecto de cuales son las bases del origami, pero al menos se reconocen las primeras cuatro mencionadas. Actualmente hay tantas bases como figuras, ya que la tendencia actual es a diseñar una base para cada figura, por lo tanto existen miles de bases.

En el diseño las seis bases mencionadas pueden emplearse para crear extremidades extra en los diseños más complejos. La base del pájaro se ocupa generalmente para crear aves porque da origen a 4 solapas que pueden transformarse en una cabeza, una cola y dos alas, aunque ciertas figuras, como el caracol, también parten de esta base.

CP

Un CP del inglés Crease Pattern es un tipo de diagrama que contiene todos o la mayoría de los pliegues del modelo final, reunidos en una sola imagen. Esto es muy útil para los diagramas complejos y super complejos, en los que es demasiado trabajo hacer las instrucciones paso a paso.

Diseño de Figuras

Técnicas de Diseño

Empaquetado de círculos

Todas las técnicas de diseño enfocan el diseño de la figura pensando en la figura desdoblada, una hoja cuadrada con todos los dobleces valles y montes en ella, lo que se denomina como crease pattern o patrón de doblado (uno de ellos se puede ver en la figura de los teoremas y axiomas del origami)

Existen muchas técnicas de diseño, la mayoría inventadas en los últimos 50 años, entre las cuales Robert Lang clasifica en:

División de puntos: Del inglés splitting points. Consiste en dividir una solapa en dos o más solapas dividiendo un punto. La desventaja es que las solapas finales son más cortas que la original. Es muy útil para crear dedos en patas o manos de seres vivos. ​

Injerto: Del inglés grafting. Consiste en ampliar las características de una base añadiéndole otras. A partir de un cuadrado principal añadimos cuadrado más pequeños en las esquinas, como la figura resultante no es práctica, se toma un cuadrado de papel que los contiene a todos. El cuadrado principal será una base principal, los demás serán bases secundarias. El resultado es una base final más compleja que añade características adicionales al diseño básico. Por lo general la técnica produce desperdicio de papel ​ ​ ​

Injerto de patrones: Del inglés pattern Grafting. A un modelo básico se le añade un patrón regular, un dobles típico repetido muchas veces que da un efecto profesional. por ejemplo escamas en peces, dragones y caparazones en tortugas. ​ ​ ​

Mosaico: Del inglés tiling. Consiste en observar la figura a diseñar y descomponerla en sus bloques más básicos (baldosas) compuestos generalmente por triángulos con dobleces internos. El punto de vista al abordar el problema de diseño es que la hoja de papel no es una sola unidad sino varias unidades flexibles, triángulos que pueden ser separados, rectángulos o ríos que pueden injertarse. Una forma de abordar el problema es imaginar la figura final con un diagrama de palos o segmentos. Después dibujar en el cuadrado los círculos y los ríos (se denominan así porque parecen ríos de papel sin doblar, en medio de los círculos y semicírculos). Posteriormente estudiar el doblado de cada "baldoza" del mosaico para que calce con las otras y de origen a una secuencia de doblado exitosa. ​ ​

Empaquetamiento de círculos: Del inglés Circle packing. Cuando se desea construir una nueva figura lo primero que se debe hacer es contar el número de solapas que tendrá , por ejemplo si se quisiera diseñar un perro este tiene una cabeza, una cola y cuatro patas, por lo tanto la figura debe tener 6 solapas. Cada solapa tiene un largo del radio de un círculo. En el inicio del diseño en el papel cuadrado se dibujan estos 6 círculos con la restricción de que sus centros siempre queden dentro del papel y que no se superponga un círculo con otro (ver figura). Después se conectan los centros de los círculos contiguos con un doblez. Posteriormente se añaden dobleces secundarios. Finalmente se encuentra una secuencia de doblado que origine el patrón de dobleces. Se consigue así una base para la figura quedando por añadir tan sólo los detalles. ​

Moléculas: Del inglés molecules. La moléculas son polígonos, triángulos, cuadrilateros, pentágonos los cuales si se juntan esta asegurado que la figura podrá doblarse y colapsarse dando origen a la figura final. Si se diseño por empaquetamiento de círculos entonces las moléculas son la solución para establecer un patrón de doblado de valles y montes.

Teoría del árbol: Del inglés tree theory. Se basa en enfocar el diseño dibujando la figura final como un árbol con ramas, en que cada rama es una solapa. Posteriormente esto dará origen a círculos y ríos en la hoja de papel.

Box pleating. Consiste en empaquetar cuadrados dentro del papel. El CP se ve repleto de líneas verticales y horizontales.

Matemáticas en el origami

Teorema de Maekawas

Ya desde la misma invención del papel se estaba haciendo ciencia sin saberlo, por casualidad, pero la tecnología, buscaba por necesidad un producto flexible y duradero para escribir. Tratando de encontrar sus funcionalidades le inspiró al hombre este invento.

El origami también tiene una vertiente científica, dependiendo de las preferencias de cada plegador, o de su sistema de creación. Los pliegues no son más que operaciones de simetría, a veces bastante complejas, y pueden ser ideadas y estudiadas metodológicamente en términos geométricos. El carácter matemático que pueda tener el plegado de papel no está reñido con el lado artístico, aunque tampoco tiene por qué coincidir. Por ejemplo del aspecto científico del origami, podemos mencionar a los aficionados que se dedican a demostrar teoremas geométricos utilizando sólo el papel y las hipótesis a punto de ser teoremas, incluso hay trabajos publicados sobre la resolución de ecuaciones de 3^er grado sólo doblando el papel. Como consecuencia lógica de este campo es la versatilidad que ha dado el origami a la enseñanza en las clases de matemáticas a nivel preuniversitario. Además, el origami ofrece un ingrediente especial, en tanto se incentive al practicante a crear sus propios modelos, se estará despertando y fomentando la curiosidad científica, ya que, como las matemáticas, el origami es infinito.

En los últimos 30 años se han realizado grandes avances en el plegado de figuras por la incorporación de artistas con conocimiento matemáticos, los cuales han creado teoremas y técnicas para diseñar de la forma más eficiente posible con respecto al uso del papel. Es sorprendente lo tardío de estos avances ya que muchos de los teoremas son problemas resueltos y conocidos en el campo de la geometría. Otros como el uso del lagrangeano para minimizar una función sujeta a restricciones es ampliamente sabido desde muchísimos años atrás, pero que no había sido utilizada para resolver diseños de figuras plegadas en papel. Inicialmente los artistas probaban a dar con la figura según su experiencia, ocupando bases típicas sin recurrir a las matemáticas. Actualmente basta aplicar una metodología específica para llegar a nuevas formas. Esta metodología se establece con ayuda de teoremas que resumen lo que es o no es posible llevar a cabo.

Se han realizado numerosos estudios matemáticos acerca del arte del plegado de papel papiroflexia u origami. Los aspectos que han despertado interés matemático incluyen la capacidad de aplastar sin dañar una determinada figura de papel (problema conocido como flat-foldability, o doblez plana), y el uso de dobleces de papel para resolver ecuaciones matemáticas.

Se ha demostrado que algunos problemas geométricos de construcción clásicos, como trisecar un ángulo cualquiera o duplicar el volumen de un cubo cualquiera, no se pueden resolver utilizando regla y compás, pero se pueden resolver bastante fácilmente con unos pliegues de papel. Se pueden realizar pliegues de papel para resolver ecuaciones de hasta cuarto grado y ecuaciones polinomiales – las cuales sólo contienen términos del tipo a_nxⁿ– (los axiomas de Huzita-Hatori son una importante contribución a este campo de estudio).

Como resultado del estudio del Origami a través de la aplicación de principios de geometría, métodos como el Teorema de Haga han permitido doblar precisamente el lado de un cuadrado en tres, cinco, siete y nueve partes. Otros teoremas y métodos han permitido derivar otras formas a partir de un cuadrado, tales como triángulos equiláteros, pentágonos, hexágonos, y rectángulos de características especiales tales como el rectángulo dorado o el rectángulo de plata.

El problema del origami rígido, que trata los pliegues como líneas que unen dos superficies planas rígidas tales como pletinas, tiene gran importancia práctica. Por ejemplo, el pliegue de mapa de Miura es un pliegue rígido que se ha utilizado para desplegar grandes paneles solares de satélites espaciales.

La obtención de un modelo plano a partir de un patrón arrugado es un proceso que Marshall Bern y Barry Hayes han demostrado que es NP-completo. [1] Se discuten referencias adicionales y resultados técnicos en la Parte II de Geometric Folding Algorithms. ​

La función de pérdida de doblar un papel en dos en una única dirección se ha determinado como $L={\frac {\pi t}{6}}(2^{n}+4)(2^{n}-1)$, donde L es la longitud mínima del papel (u otro material), t es el grosor del material, y n es el número de pliegues posibles. Esta función fue publicada por Britney Gallivan en 2001 (por entonces todavía estudiante de secundaria, que logró doblar una hoja de papel por la mitad 12 veces. Hasta entonces se había creído popularmente que el papel de cualquier tamaño no podía doblarse más de 8 veces.

Algunos de los teoremas son ​:

1. Teorema de Maekawas: señala que la diferencia entre el número de montes y valles para conseguir una superficie plana debe ser siempre 2.
2. Teorema de Kawasaki: La suma de todos ángulos alternos (todos los impares o pares) alrededor de una cúspide formada por pliegues debe ser 180 grados

También existen axiomas relacionados con la geometría del origami definidos por Humiaki Huzita, basados en 6 pliegues básicos que permiten analizar la geometría de cualquier origami:

1. Axioma 1: Dados dos puntos P y Q se puede realizar el pliegue que los une. Un único pliegue pasa por 2 puntos P y Q específicos
2. Axioma 2: Dados dos puntos P y Q se puede realizar el pliegue que sitúa a P sobre Q. En otras palabras un único pliegue lleva a un punto P sobre un punto Q.
3. Axioma 3: Dado un punto P y una recta r se puede realizar el pliegue perpendicular a r que pasa por P
4. Axioma 4: Dadas dos rectas r y s se puede realizar un pliegue que situe a r sobre s.
5. Axioma 5: Dados dos puntos P y Q y una recta r podemos realizar un pliegue que situe a P sobre r y pase por Q.
6. Axioma 6: Dados dos puntos P y Q y dos rectas r y s se puede realizar un pliegue que situe a P sobre r y a Q sobre s.

Se añade un séptimo axioma de Hatori

1. Axioma 7: Dados un puntos P y dos rectas r y s se puede realizar un doblez perpendicular a r que coloca al punto P sobre la línea s

El origami además de crear sus propias reglas relacionadas a la geometría Euclideana, también brinda a la educación una herramienta importante para mejorar las capacidades de concentración, memoria, análisis y desarrollo de conceptos geométricos por medio de la activación del pensamiento lógico-espacial y el desarrollo de las destrezas psicomotrices.

Papel

En el origami tradicional, que ocupa una sola hoja de papel cuadrado, sin tijeras ni pegamento. Es muy importante el tipo de papel a utilizar sobre todo en modelos de gran complejidad. Cada doblador debe realizar una búsqueda de papel, hasta dar con el que se sienta más cómodo. Suele ocurrir que se encuentran distintos papeles adecuados para distinto tipo de figuras. En general Michell LaFosse recomienda que ​:

1. El papel sea de grano largo, con fibras pero que estas no sean irregulares. El grano largo ayuda a que el papel no sea quebradizo.

Otras recomendaciones :

1. El papel sandwitch, papel seda hoja de aluminio papel seda. Tiende a usarse para doblar insectos
2. El papel grueso tiende a usarse para figuras robustas como por ejemplo elefantes.
3. Figuras de dificultad media y básica pueden doblarse con cualquier papel.
4. Las figuras muy complejas como insectos suelen doblarse con papel muy delgado (20 gr) o ocupar papel sandwitch.
5. Principiantes nunca deberían hacer origami con cuadrados de dimensiones de 10 cm, por lo general 30 cm es una buena medida para figuras de complejidad media o avanzada. Figuras básicas con 20 cm basta.

Tipos de papel

• Origamido: Es cualquier tipo de papel fabricado en Origamido Studio. Es un papel muy caro hecho a pedido por un artista, el cual participa en el proceso de fabricación de acuerdo a requerimientos muy especificos. Este papel ocupa distintos tipos de fibras y es teñido con pigmentos naturales.​

• washi: Es una palabra para denominar al papel japonés hecho de forma tradicional, en el cual se ocupa la corteza de arbustos como el kozo. Como se fabrican con distintos arbustos los resultados son distintos.

Programas para diseño y diagramas

Existen algunos programas conocidos: TreeMaker, Oripa, Doodle y Foldinator

• TreeMaker​por Robert Lang, que está orientado solamente al diseño, crea el patrón de pliegues (no realiza diagramas). Crea en la hoja los pliegues necesarios para doblar mostrando solamente una visión de los montes y valles (como cuando se realiza una figura y se desarma completamente). Con ello es posible saber que partes del papel darán origen a la cola, patas, cabeza si es que se diseñara un animal. TreeMaker está programado en C y es open source.

• OriPa​: Un programa para dibujar CP crease patterns. Permite ver como se vera el CP cuando sea doblado. Tiene una interfaz gráfica amigable y está realizado en java.

• Doodle​creado por Jérôme Gout, Xavier Fouchet, Vincent Osele, y otros voluntarios. Usa código ASCII para generar diagramas de origami, el resultado es elegante, pero difícil de usar. Permite crear el diagrama de una figura de origami a partir de líneas de un código propio un archivo *.ps, semejante al formato pdf, que contiene los pasos con texto y figura. Desde 2001 el proyecto parece estar en desarrollo para conseguir una versión para usuario final, aunque pareciera estar congelado por falta de programadores. Doodle en su versión funcional está escrito en C y es open source, en cambio Doodle 2 también open source está escrito en java y pretende tener una interfaz gráfica.

• Foldinator​ es un programa en desarrollo para el diseño de diagramas online.

Personajes del mundo de la papiroflexia

Personajes en el mundo de la papiroflexia que han demostrado teoremas que llevan su nombre son: Humiaki Huzita, Jun Maekawa, Toshikazu Kawasaki, Robert Lang, Shuzu Fujimoto, Chris Palmer, entre otros.

El Dr. Robert Lang, en Física aplicada en Caltech, ha desarrollado el origami computacional, que es una serie de algoritmos para el doblado de las figuras. Actualmente el Dr. Robert Lang trabaja desarrollando proyectos que vinculan al origami con problemas de ingeniería. Su libro origami design secrets es una excelente referencia para aprender a diseñar figuras nuevas y mejorar las existentes, en él se pueden aprender las técnicas modernas para crear figuras con todas sus partes.

La mayoría de la gente conoce el origami por sus avioncitos de papel o por sus barquitos, con los cuales se hacen competencias de niños. Pero esto de hacer avioncitos salió desde el siglo pasado cuando varios eruditos intentaron hacer una figura con papel que volase, o por lo menos que se mantuviera en el aire, esto se consiguió con gran éxito y hasta la fecha es por ahí donde se ha trasmitido de padres a hijos el origami. Pero más que un entretenimiento debemos mencionar el deseo del hombre por alcanzar el cielo y en su afán buscó todos los medios para poner a volar su imaginación. Gracias a los modelos de aviones de papel, podían hacer estudios detallados del comportamiento del viento con respecto a las alas, o, la influencia del peso en un modelo, y otros muchos factores que ayudaron a mejorar las técnicas de vuelo, la influencia del aire en los alerones y todo un sin fin de operaciones de ingeniería en torno a un avión, un simple avión de papel con el que juegan los niños.

En muchos países los origamistas trabajan como comisionistas, desarrollan proyectos para publicidad y páginas web de renombradas empresas, son profesores de distintas asignaturas cuyo propósito es hacer conexiones con la papiroflexia, entre otros trabajos.

Sabiendo ahora que es realmente el arte de realizar figuras en papel y el gran campo que abarca, comprendiendo su milenaria pero interesante historia y analizando pero a la vez realizando cada uno nuestra crítica hacia esta hermosa y compleja arte sólo queda hacer la invitación para que tomen una hoja y experimenten esa bonita sensación que, como dijo Katsushika Hokusai: “Un mago es capaz de convertir las hojas de papel en pájaros”.

Psicología y pedagogía en el Origami

Origami según la pedagogía

Toda innovación del ser humano es para beneficio de él mismo, pese a que no se tenga en mente, para bien o para mal. El origami no es la excepción, pues si se analiza desde una perspectiva más objetiva, se encuentra en los lugares menos pensados, como la pedagogía.

El origami es una gran ayuda en la educación, trayendo a quien lo ejercita grandes beneficios y grandes cualidades, no sólo a los estudiantes que lo realicen, sino también le será bueno a cualquier persona; algunas de ellas son:

• Desarrollar la destreza, exactitud y precisión manual, requiriendo atención y concentración en la elaboración de figuras en papel que se necesite.
• Crear espacios de motivación personal para desarrollar la creatividad y medir el grado de coordinación entre lo real y lo abstracto.
• Incitar al alumno a que sea capaz de crear sus propios modelos.
• Brindar momentos de esparcimiento y distracción.
• Fortalecimiento de la autoestima a través de la elaboración de sus propias creaciones.

Si se incentiva en un niño el trabajo manual desde pequeño, seguramente crecerá desarrollando habilidades artísticas y estará en capacidad de ubicar espacialmente un objeto cualquiera en un papel, acción que muchos niños no pueden hacer, precisamente porque no potenció en los primeros años de su vida el trabajo manual.

Lo ideal es que comiencen una actividad manual a edad temprana, ya que está comprobado que el entrenamiento de los dedos de un bebé acelera el proceso de maduración del cerebro, porque el ejercitar el movimiento de los dedos de ambas manos es realmente una base de desarrollo bilateral del cerebro y el adelanto del desarrollo intelectual, aprovechando que el cerebro está en su mayor plasticidad.

El trabajo de coordinación de ambas manos, el trabajo activo de la inteligencia y la atención es necesaria en el desarrollo y en el empleo del origami porque necesita la memoria, la imaginación y el pensamiento. Como se envuelven las manos activamente en trabajo, hay un masaje natural en la punta de los dedos por turnos saludablemente, afectando el equilibrio dinámico de los procesos de excitación en la corteza cerebral, frenando en las áreas corticales del cerebro. El espectro de movimientos de las palmas y dedos también se extiende por el impulso motor de las zonas de la corteza de los largos hemisferios que están activados. Las ricas comunicaciones del analizador del impulso con varias estructuras del cerebro, permite la actividad se transfiera de últimas. El trabajo de coordinación con las manos, requiere suficiente actividad del cerebro y un armonioso trabajo con las diferentes estructuras.

El origami por su naturaleza es un arte para ambas manos y da una compensación directa en satisfacción de una cierta condición creadora, es por ello que esta técnica servirá de soporte en la formación integral del profesional, adquiriendo así nuevas formas de comunicarse con los demás, e implícitamente crear un ambiente que le permita interactuar con una población determinada.

Origami según la psicología

Ahora relacionemos la rama de la pedagogía con su compañera de siempre: La psicología.

Se ha comprobado que la papiroflexia ayuda a los problemas psíquicos y psicológicos cita requerida, ya que el estar concentrado realizando una actividad manual ayuda al desahogo, estimula los procesos mentales que, su finalidad es alejar al paciente de sus obsesiones y temores. En algunas universidades israelíes se realizan estudios vinculados con estudiantes que presentan déficit atencional y que son fuertemente estimulados mediante el mecanismo de doblar papel; en el Hospital Carlos Holmes Trujillo, de Cali, este arte se está utilizando desde hace unos años en el tratamiento de niños con problemas emocionales como dificultades de atención, expresión e hiperactividad.

La papiroflexia utilizada como herramienta o como terapia, en una sesión, se comparten sentimientos y conocimientos, ayuda a resolver los problemas, se experimenta una comunicación no verbal, un escenario de metas u objetivos, una oportunidad de un acercamiento no amenazante, un apoyo psicológico (llevar al sentimiento de la aceptación cuando se toma tiempo para demostrar lo positivo), una oportunidad para disfrutar y relajar un futuro pasatiempo, entre otras experiencias que se viven cuando se aplica el origami para la rehabilitación del paciente.

Variantes

• Kusudama
• Pepakura
• Kirigami
• Makigami

Bibliografía

En castellano

• Robinson, Nick (2005). Enciclopedia de Origami: guía completa y profusamente ilustrada de la papiroflexia. Barcelona: Editorial Acento. ISBN 978-84-95376-62-6. 
• Kasahara,Kunihiko (2004). Papiroflexia, Origami,para Expertos. Editorial Edaf, S.A. ( Madrid). ISBN 84-414-0686-3. 

En francés

• Hirota, Junko (2005). Initiation à I'origami. Groupe Fleurus (París). ISBN 978-2-215-07743-5. 

En inglés

• Boutique-Sha Staff (2001). 3D Origami: Step by Step Illustrations. ISBN 4-88996-057-0. 
• Fuse, Tomoko (2000). Home Decorating with Origami. ISBN 4-88996-059-7. 
• Halle (2001). Cartoon Origami. ISBN 4-88996-057-0. 
• Montroll, John (2002). A Plethora of Polyhedra in Origami. ISBN 0-486-42271-2. 
• Shafer, Jeremy (2001). Origami to Astonish and Amuse. ISBN 978-0-312-25404-9. 

» ignorado (ayuda)

• Robert J. Lang (2003). Origami Design Secrets: Mathematical Methods for an Ancient Art. ISBN 1-56881-194-2. 

» ignorado (ayuda)

En alemán

• Kasahara, Kunihiko (2000). Figürlich und geometrisch. ISBN 3-8043-0664-0. 

Véase también

• Mil Grullas de Papel
• Zen
• Kushiro Hatori
• Topología
• Teoría de los nudos

Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Origami.
• La página web del Grupo Zaragozano de Papiroflexia
• Página de la Asociación Española de Papiroflexia
• Página de la asociación Chilena de Origami (en español)
• Página con animaciones 3D para construir figuras (en inglés)
• Diversos modelos y diagramas de Origami (en español)
• Página de la Asociación Argentina de Origami (en español)
• Origami Modular en Argentina (español / inglés)

• Origami Mathematics Page por Dr. Tom Hull
• Rigid Origami por Dr. Tom Hull
• Origami & Math por Eric M. Andersen
• Bogomolny, Alexander. «Paper Folding Geometry». Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles (en inglés). 
• Bogomolny, Alexander. «Dividing a Segment into Equal Parts by Paper Folding». Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles (en inglés). 
• Britney Gallivan has solved the Paper Folding Problem
• Folding Paper - Great Moments in Science - ABC

• Historia y Origen del Origami
• Artículo "Matemáticas y papiroflexia"
• Breve historia del antiguo arte de la papiroflexia
• ¿Qué es Origami?
• Origami Modular