Función rectangular. La función rectangular (también llamada función ventana unitaria o pulso unitario ) se define como:[ 1]
r
e
c
t
(
t
)
=
Π
(
t
)
=
{
0
si
|
t
|
>
1
2
1
2
si
|
t
|
=
1
2
1
si
|
t
|
<
1
2
.
{\displaystyle \mathrm {rect} (t)=\Pi (t)={\begin{cases}0&{\mbox{si }}|t|>{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\mbox{si }}|t|={\frac {1}{2}}\\1&{\mbox{si }}|t|<{\frac {1}{2}}.\\\end{cases}}}
Algunas definiciones alternativas establecen
r
e
c
t
(
±
1
2
)
{\displaystyle \mathrm {rect} (\pm {\tfrac {1}{2}})}
Relación con la función ventana [ editar ] La función rectangular es un caso particular de función ventana :
rect
(
t
−
X
Y
)
=
H
(
t
−
X
+
Y
/
2
)
−
H
(
t
−
X
−
Y
/
2
)
{\displaystyle \operatorname {rect} \left({\frac {t-X}{Y}}\right)=H(t-X+Y/2)-H(t-X-Y/2)}
donde la función está centrada tanto en X como en Y y
H
(
⋅
)
{\displaystyle H(\cdot )}
función unitaria de Heaviside .
Relación con la función triangular [ editar ] La función triangular puede definirse como el producto de convolución de dos funciones rectangulares:
t
r
i
(
t
)
=
r
e
c
t
(
t
)
∗
r
e
c
t
(
t
)
.
{\displaystyle \mathrm {tri} (t)=\mathrm {rect} (t)*\mathrm {rect} (t).\,}
Transformada de Fourier de la función rectangular [ editar ] Gráfico de la función sinc(x) que sirve para ilustrar el espectro frecuencial de la señal rectangular periódica La Transformada Unitaria de Fourier de la función rectangular es expresada mediante estas ecuaciones:[ 1]
∫
−
∞
∞
r
e
c
t
(
t
)
⋅
e
−
i
2
π
f
t
d
t
=
sin
(
π
f
)
π
f
=
s
i
n
c
(
f
)
,
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt={\frac {\sin(\pi f)}{\pi f}}=\mathrm {sinc} (f),\,}
en la cual se usa la frecuencia
f
{\displaystyle \displaystyle f}
y:
1
2
π
∫
−
∞
∞
r
e
c
t
(
t
)
⋅
e
−
i
ω
t
d
t
=
1
2
π
⋅
s
i
n
c
(
ω
2
π
)
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\cdot e^{-i\omega t}\,dt={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot \mathrm {sinc} \left({\frac {\omega }{2\pi }}\right)}
donde:
ω
{\displaystyle \omega }
Debe tenerse en cuenta que, aunque la definición de la función de impulsos sólo está motivada por la experiencia de dominio de tiempo de la misma, no hay razón para creer que la interpretación oscilatoria de su función transformada debe ser intuitiva. Sin embargo, algunos aspectos del resultado teórico se pueden entender de manera intuitiva, como el requisito de ancho de banda infinito de la señal rectangular periódica, debido a las transiciones abruptas entre un estado bajo y otro alto, en la definición del dominio de tiempo.
Uso en probabilidad [ editar ] La visualización de la función rectangular como una función de densidad de probabilidad , es un caso especial de la distribución uniforme continua con
a
,
b
=
−
1
2
,
1
2
{\displaystyle a,b=-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}
función característica es:
φ
(
k
)
=
sin
(
k
/
2
)
k
/
2
,
{\displaystyle \varphi (k)={\frac {\sin(k/2)}{k/2}},\,}
y su Función generadora de momentos es:
M
(
k
)
=
s
i
n
h
(
k
/
2
)
k
/
2
,
{\displaystyle M(k)={\frac {\mathrm {sinh} (k/2)}{k/2}},\,}
en la cual
s
i
n
h
(
t
)
{\displaystyle \mathrm {sinh} (t)}
seno hiperbólico .
Aproximación racional [ editar ] La función de pulso rectangular también puede ser expresada como el límite de una función racional :
Π
(
t
)
=
lim
n
→
∞
,
n
∈
(
Z
)
1
(
2
t
)
2
n
+
1
{\displaystyle \Pi (t)=\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}}
Demostración [ editar ] Primero, se considera el caso en que
|
t
|
<
1
2
{\displaystyle \scriptstyle |t|<{\frac {1}{2}}}
(
2
t
)
2
n
{\displaystyle \scriptstyle (2t)^{2n}}
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle \scriptstyle n}
2
t
<
1
{\displaystyle \scriptstyle 2t<1}
De esto se sigue que:
lim
n
→
∞
,
n
∈
(
Z
)
1
(
2
t
)
2
n
+
1
=
1
0
+
1
=
1
,
|
t
|
<
1
2
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}={\frac {1}{0+1}}=1,|t|<{\frac {1}{2}}}
En segundo lugar, se considera el caso en el
|
t
|
>
1
2
{\displaystyle \scriptstyle |t|>{\frac {1}{2}}}
(
2
t
)
2
n
{\displaystyle \scriptstyle (2t)^{2n}}
2
t
>
1
{\displaystyle 2t>1}
(
2
t
)
2
n
{\displaystyle \scriptstyle (2t)^{2n}}
n
{\displaystyle n}
De aquí se concluye que:
lim
n
→
∞
,
n
∈
(
Z
)
1
(
2
t
)
2
n
+
1
=
1
+
∞
+
1
=
0
,
|
t
|
>
1
2
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}={\frac {1}{+\infty +1}}=0,|t|>{\frac {1}{2}}}
En tercer lugar, se considera el caso en el que
|
t
|
=
1
2
{\displaystyle \scriptstyle |t|={\frac {1}{2}}}
lim
n
→
∞
,
n
∈
(
Z
)
1
(
2
t
)
2
n
+
1
=
lim
n
→
∞
,
n
∈
(
Z
)
1
1
2
n
+
1
=
1
1
+
1
=
1
2
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}=\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{1^{2n}+1}}={\frac {1}{1+1}}={\frac {1}{2}}}
∴
Π
(
t
)
=
lim
n
→
∞
,
n
∈
(
Z
)
1
(
2
t
)
2
n
+
1
=
{
0
si
|
t
|
>
1
2
1
2
si
|
t
|
=
1
2
1
si
|
t
|
<
1
2
{\displaystyle \therefore \Pi (t)=\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}={\begin{cases}0&{\mbox{si }}|t|>{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\mbox{si }}|t|={\frac {1}{2}}\\1&{\mbox{si }}|t|<{\frac {1}{2}}\\\end{cases}}}
Véase también [ editar ] Función definida a trozos Función escalón de Heaviside Función escalonada Función identidad Función signo Valor absoluto Función rampa Funciones de parte entera Parte fraccionaria Mantisa Referencias [ editar ]
↑ a b Weisstein, Eric W. (15 de agosto de 2011). «Rectangle Function» . Wolfram MathWorld . Wolfram. Consultado el 15 de agosto de 2011 . 
.svg)
Datos: Q946860