Función escalonada

Una función escalonada es aquella función definida a trozos que en cualquier intervalo finito [a, b] en que esté definida tiene un número finito de discontinuidades c₁ < c₂ < ... < c_n, y en cada intervalo abierto (c_k, c_k+1) es constante, teniendo discontinuidades de salto en los puntos c_k.

Características

Informalmente, una función escalonada es aquella cuya gráfica tiene la forma de una escalera o una serie de escalones (que no necesariamente deben ser crecientes) al ser dibujada. El ejemplo más común de función escalonada es la función parte entera. Otras funciones escalonadas son la función unitaria de Heaviside o función escalón unitario, y la función signo.

La composición de cualquier función escalonada s(x) y una función cualquiera f(x) da por resultado una función escalonada g(x) = f(s(x)), siempre que f(x) esté definida para cualquier valor de x en el rango de s(x).

Evidentemente, la derivada de una función escalonada es 0 en cualquier punto en que se halle definida. No puede definirse en los puntos en que hay discontinuidades.

Ejemplo

Función escalonada definida en el intervalo [-1,5].

Como caso general podemos ver la función y = s(x), definida así:

${\begin{array}{rrcl}s:&[-1,5]\subseteq \mathbb {R} &\to &\mathbb {R} \\&x&\to &y=s(x)\end{array}}$

En el intervalo cerrado [-1, 5] de números reales sobre los números reales, asociando a cada x de [-1,5] un valor de y, según el siguiente criterio:

$s(x)=\left\{{\begin{array}{rcr}1&{\mbox{si}}&-1\leq x<1\\-1&{\mbox{si}}&1\leq x<2\\3&{\mbox{si}}&2\leq x<4\\2&{\mbox{si}}&4\leq x\leq 5\end{array}}\right.$

Esta función tiene cuatro intervalos escalonados, como se ve en la figura.

Véase también

• Continuidad (matemática)

Función definida a trozos

Función escalón de Heaviside

Función rectangular

Función identidad

Función signo

Valor absoluto

Función rampa

Funciones de parte entera

Parte fraccionaria

Mantisa

Referencias

• Weisstein, Eric W. «Step Function». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.