Función rampa

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La función rampa es una función elemental real de un sólo argumento, continua y diferenciable en todo su dominio excepto en un punto (inicio de la rama) fácilmente computable a partir de la función mínimo o la función valor absoluto.

Las principales aplicaciones prácticas de esta función se dan en ingeniería (procesamiento digital de señales, plasticidad, etc.). El término "función rampa" se debe a la forma de su representación gráfica.

Definición[editar]

Función 01 rampa.svg

La función rampa (denotada de diferentes maneras en la literatura científica: )

Y que se define de esta forma:

Puede definirse de diferentes maneras equivalentes:

  1. (en términos de la función valor absoluto)
  2. (en términos de la función máximo)
  3. (en términos de la función unitaria de Heaviside)

Algunas formas menos elementales de definirla son:

  1. (primitiva de la función unitaria de Heaviside)
  2. (producto de convolución)

Propiedades analíticas[editar]

No-negativa[editar]

En todo su dominio de definición, la función rampa es no-negativa (positiva o cero)

y, por tanto, coincide con su valor absoluto:

Derivada[editar]

Su derivada (en el sentido de la teoría de distribuciones) es la función unitaria de Heaviside:

A su vez la función unitaria de Heaviside puede escribirse en términos de la función signo (las igualdades anteriores son ciertas en el sentido de las distribuciones).

Convexa[editar]

La función rampa es una función convexa ya que:

(*)

para cada t en [0,1]. Esto puede demostrarse procediendo por casos, es decir, se consideran los casos (a) x > 0 e y > 0, (b) x > 0 e y ≤ 0, (c) x ≤ 0 e y > 0 y (d) x ≤ 0 e y ≤ 0. En los casos (a) y (d) se cumple la igualdad en (*) cuando t en (0,1), mientras que en los casos (b) y (c) se tiene una desigualdad estricta (ya que t y (1 - t) son siempre números positivos.

Transformada de Fourier[editar]

La transformada de Fourier de la función rampa viene dada por:

Donde δ(x) es la delta de Dirac (en esta fórmula, aparece su derivada).

Transformada de Laplace[editar]

La transformada de Laplace de coincide con la transformada de ya que para ambas funciones coinciden:

Propiedades algebraicas[editar]

Invariancia de la función[editar]

La función rampa es idempotente, lo cual significa que la composición consigo misma es idéntica a la función original

  • Demostración:
donde se ha usado la propiedad de que la función coincide con su valor absoluto.

Véase también[editar]

Referencias[editar]