Función rampa

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La función rampa es una función elemental real de un sólo argumento, continua y diferenciable en todo su dominio excepto en un punto (inicio de la rama) fácilmente computable a partir de la función mínimo o la función valor absoluto.

Las principales aplicaciones prácticas de esta función se dan en ingeniería (procesamiento digital de señales, plasticidad, etc.). El término "función rampa" se debe a la forma de su representación gráfica.

Definición[editar]

Función 01 rampa.svg

La función rampa (denotada de diferentes maneras en la literatura científica: \mbox{ramp}(\cdot), R(\cdot), \langle \cdot \rangle )

Y que se define de esta forma:


\begin{array}{rccl}
        \mbox{ramp} : & R & \to & R^{+} \cup \{0\}  \\
                & x & \to & y = \mbox{ramp}(x)
   \end{array}

Puede definirse de diferentes maneras equivalentes:

  1.  \mbox{ramp}(x) := \begin{cases} 0 & x<0 \\ x & x \ge 0 \end{cases}
  2.  \mbox{ramp}(x) := \frac{x+|x|}{2} (en términos de la función valor absoluto)
  3.  \mbox{ramp}(x) := \max(x, 0)\, (en términos de la función máximo)
  4.  \mbox{ramp}(x) := xH(x)\, (en términos de la función unitaria de Heaviside)

Algunas formas menos elementales de definirla son:

  1.  \mbox{ramp}(x) := \int_{-\infty}^{x} H(\xi)\,\mathrm{d}\xi (primitiva de la función unitaria de Heaviside)
  2.  \mbox{ramp}(x) := H\left( x \right) * H\left( x \right) (producto de convolución)

Propiedades analíticas[editar]

No-negativa[editar]

En todo su dominio de definición, la función rampa es no-negativa (positiva o cero)

\forall x \in \mathbb{R}: \mbox{ramp}(x) \geqslant 0

y, por tanto, coincide con su valor absoluto:

\left| \mbox{ramp}(x) \right| = \mbox{ramp}(x)

Derivada[editar]

Su derivada (en el sentido de la teoría de distribuciones) es la función unitaria de Heaviside:

\mbox{ramp}'(x) = H(x) = \frac{\mathrm{sgn}(x)+1}{2}\,

A su vez la función unitaria de Heaviside puede escribirse en términos de la función signo (las igualdades anteriores son ciertas en el sentido de las distribuciones).

Convexa[editar]

La función rampa es una función convexa ya que:

(*)\text{ramp}(tx+(1-t)y)\leq t\ \text{ramp}(x)+(1-t)\text{ramp}(y).

para cada t en [0,1]. Esto puede demostrarse procediendo por casos, es decir, se consideran los casos (a) x > 0 e y > 0, (b) x > 0 e y ≤ 0, (c) x ≤ 0 e y > 0 y (d) x ≤ 0 e y ≤ 0. En los casos (a) y (d) se cumple la igualdad en (*) cuando t en (0,1), mientras que en los casos (b) y (c) se tiene una desigualdad estricta (ya que t y (1 - t) son siempre números positivos.

Transformada de Fourier[editar]

La transformada de Fourier de la función rampa viene dada por:

 \mathcal{F}\left\{ \mbox{ramp}(x) \right\}(f) :=
\int_{-\infty}^{\infty} \mbox{ramp}(x) e^{-2\pi ifx}dx =
 \frac{i\delta '(f)}{4\pi}-\frac{1}{4\pi^{2}f^{2}}

Donde δ(x) es la delta de Dirac (en esta fórmula, aparece su derivada).

Transformada de Laplace[editar]

La transformada de Laplace de \mbox{ramp}(x) coincide con la transformada de f(x)=x ya que para x\in\R^+ ambas funciones coinciden:

\mathcal{L}\left\{ \mbox{ramp}\left( x \right)\right\} (s)
= \int_{0}^{\infty} e^{-sx}\mbox{ramp}(x)dx = \frac{1}{s^2}

Propiedades algebraicas[editar]

Invariancia de la función[editar]

La función rampa es idempotente, lo cual significa que la composición consigo misma es idéntica a la función original

 \mbox{ramp}(\mbox{ramp}(x))
= \mbox{ramp}(x)\,

  • Demostración:  \mbox{ramp}(\mbox{ramp}(x))= \frac{\mbox{ramp}(x)+|\mbox{ramp}(x)|}{2} = \frac{\mbox{ramp}(x)+\mbox{ramp}(x)}{2} = \frac{2\ \mbox{ramp}(x)}{2} = \mbox{ramp}(x)
donde se ha usado la propiedad de que la función coincide con su valor absoluto.

Referencias[editar]

Véase también[editar]