Distribución exponencial

Distribución exponencial
Función de densidad de probabilidad
Función de distribución de probabilidad
Parámetros	$\lambda >0\,$
Dominio	$[0,\infty )\!$
Función de densidad (pdf)	$\lambda e^{-\lambda x}$
Función de distribución (cdf)	$1-e^{-\lambda x}$
Media	$1/\lambda \,$
Mediana	$\ln(2)/\lambda \,$
Moda	$0\,$
Varianza	$1/\lambda ^{2}\,$
Coeficiente de simetría	$2\,$
Curtosis	$9\,$
Entropía	$1-\ln(\lambda )\,$
Función generadora de momentos (mgf)	$\left(1-{\frac {t}{\lambda }}\right)^{-1}\,$
Función característica	$\left(1-{\frac {it}{\lambda }}\right)^{-1}\,$

En estadística la distribución exponencial es una distribución de probabilidad continua con un parámetro $\lambda >0$ cuya función de densidad es:

$f(x)=\left\{{\begin{matrix}\lambda e^{-\lambda x}&\quad {\text{para }}x\geq 0\\0&\quad {\text{en caso contrario}}\end{matrix}}\right.$

Su función de distribución acumulada es:

$F(x)=P(X\leq x)=\left\{{\begin{matrix}0&{\text{para }}x<0\\1-e^{-\lambda x}&{\text{para }}x\geq 0\end{matrix}}\right.$

Donde $e$ representa el número e.

De forma adicional esta distribución presenta una función adicional que es función Supervivencia (S), que representa el complemento de Función de distribución.

$S(x)=P(X>x)=\left\{{\begin{matrix}1&{\text{para }}x<0\\e^{-\lambda x}&{\text{para }}x\geq 0\end{matrix}}\right.$

El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X con distribución exponencial son:

$E(X)={\frac {1}{\lambda }},\qquad V(X)={\frac {1}{\lambda ^{2}}}$

La distribución exponencial es un caso particular de distribución gamma con k = 1. Además la suma de variables aleatorias que siguen una misma distribución exponencial es una variable aleatoria expresable en términos de la distribución gamma.

Ejemplo

Ejemplos para la distribución exponencial es la distribución de la longitud de los intervalos de una variable continua que transcurren entre dos sucesos, que se distribuyen según la distribución de Poisson.

• El tiempo transcurrido en un centro de llamadas hasta recibir la primera llamada del día se podría modelar como una exponencial.
• El intervalo de tiempo entre terremotos (de una determinada magnitud) sigue una distribución exponencial.
• Supongamos una máquina que produce hilo de alambre, la cantidad de metros de alambre hasta encontrar una falla en el alambre se podría modelar como una exponencial.
• En fiabilidad de sistemas, un dispositivo con tasa de fallo constante sigue una distribución exponencial.

Calcular variables aleatorias

Se pueden calcular una variable aleatoria de distribución exponencial $x$ por medio de una variable aleatoria de distribución uniforme $u=U(0,1)$:

$x=-{\frac {1}{\lambda }}\ln(1-u)$

o, dado que $(1-u)$ es también una variable aleatoria con distribución $U(0,1)$, puede utilizarse la versión más eficiente:

$x=-{\frac {1}{\lambda }}\ln(u)$

Relaciones

La suma de $k$ variables aleatorias independientes de distribución exponencial con parámetro $\lambda$ es una variable aleatoria de distribución de Erlang.

Distribución cumulativa ajustada a máximos anuales de lluvias diarias​

Aplicación

En la hidrología, la distribución exponencial se emplea para analizar variables aleatorias extremos de variables como máximos mensuales y anuales de la precipitación diaria.​

• La imagen azul ilustra un ejemplo de ajuste de la distribución exponencial a lluvias máximas diárias anuales ordenadas, mostrando también la franja de 90% de confianza, basada en la distribución binomial. Las observaciones presentan los marcadores de posición, como parte del análisis de frecuencia acumulada.

Véase también

• Proceso de Poisson
• Distribución Poisson

Software

Se puede usar software y un programa de computadora para el ajuste de una distribución de probabilidad, incluyendo la exponencial, a una serie de datos:

• Easy fit, "data analysis & simulation"
• MathWorks Benelux (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última).
• ModelRisk, "risk modelling software"
• Ricci distributions, fitting distrubutions with R , Vito Ricci, 2005
• Risksolver, automatically fit distributions and parameters to samples
• StatSoft distribution fitting
• CumFreq [2] , libre sin costo, incluye intervalos de confianza a base de la distribución binomial

Enlaces externos

• Calculadora Distribución exponencial
• [http://cajael.com/mestadisticos/T7DContinuas/node20.php (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última).] Calcular la probabilidad de una distribución exponencial con R (lenguaje de programación)

• Datos: Q237193
• Multimedia: Exponential distribution / Q237193