Función gamma

En matemáticas, la función gamma (denotada como $\scriptstyle \Gamma (z)\,\!$ , donde $\scriptstyle \Gamma$ es la letra griega gamma en mayúscula), es una aplicación que extiende el concepto de factorial a los números reales y complejos. La notación fue propuesta por Adrien-Marie Legendre. Si la parte real del número complejo $z$ es positiva, entonces la integral

\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\;dt

converge absolutamente; esta integral puede ser extendida a todo el plano complejo, excepto a los enteros negativos y al cero. Si $n\in \mathbb {Z} ^{+}$ entonces

\Gamma (n)=(n-1)!

lo que nos muestra la relación de esta función con el factorial. De hecho, la función gamma extiende el concepto de factorial a cualquier valor complejo de $z$ . La función gamma aparece en varias funciones de distribución de probabilidad, por lo que es bastante usada tanto en probabilidad y estadística como en combinatoria.

Definición clásica

Si la parte real del número complejo $z$ es positiva $\left({\text{Re}}(z)>0\right)$ , entonces la integral

\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt

converge absolutamente. Usando integración por partes, se obtiene la siguiente propiedad:

\Gamma (z+1)=z\;\Gamma (z)

Esta ecuación funcional generaliza la relación $n!=n(n-1)!$ del factorial. Se puede evaluar $\Gamma (1)$ analíticamente:

\Gamma (1)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}dt=\lim _{k\rightarrow \infty }\left.-e^{-t}\right|_{0}^{k}=-0-(-1)=1.

Combinando estos dos resultados se deduce que el factorial es un caso particular de la función gamma:

\Gamma (n+1)=n\,\Gamma (n)=\cdots =n!\,\Gamma (1)=n!\,

para los enteros no negativos $n$ .

La función Gamma es una función meromorfa de $z\in \mathbb {C}$ con polos simples en $z=-n\,\,(n=0,\,1,\,2,\,3,\,\dots )$ y residuos $\operatorname {Res} (\Gamma (z),-n)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}$ .^[1] Estas propiedades pueden ser usadas para extender $\Gamma (z)$ desde su definición inicial a todo el plano complejo (exceptuando los puntos en los cuales es singular) por continuación analítica.

Definiciones alternativas

Las siguientes definiciones de la función gamma mediante productos infinitos, debidas a Euler y Weierstrass respectivamente, son vigentes en todo el plano complejo $z$ , excepto para valores enteros negativos:

\Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\;n^{z}}{z\,(z+1)\cdots (z+n)}}={\frac {1}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}{1+{\frac {z}{n}}}}

\Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n}

donde $\gamma$ es la constante de Euler-Mascheroni.

Es sencillo comprobar que la definición de Euler satisface la ecuación funcional, dada arriba, como sigue. Sea $z\neq 0,\,-1,\,-2,\,-3,\,\dots$

{\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\;n^{z+1}}{(z+1)\;(z+2)\cdots (z+1+n)}}\\&=\lim _{n\to \infty }\left(z\;{\frac {n!\;n^{z}}{z\;(z+1)\;(z+2)\cdots (z+n)}}\;{\frac {n}{(z+1+n)}}\right)\\&=z\;\Gamma (z)\;\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{(z+1+n)}}\\&=z\;\Gamma (z).\\\end{aligned}}

También puede obtenerse la siguiente representación integral:

\Gamma (z+1)=\int _{0}^{\infty }e^{-t^{1/z}}\,dt.\,\!

Obtención de la ecuación funcional usando integración por partes

Encontrar $\Gamma (1)$ es algo fácil:

$\Gamma (1)=\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{1-1}dx=\int _{0}^{\infty }e^{-x}dx=-e^{-\infty }-(-e^{0})=0-(-1)=1$

Luego se obtiene una fórmula para $\Gamma (n+1)$ como una función de $\Gamma (n)$ :

$\Gamma (n+1)=\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{n+1-1}dx=\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{n}dx$

Usamos integración por partes para resolver la integral:

$\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{n}dx=\left[{\frac {-x^{n}}{e^{x}}}\right]_{0}^{\infty }+n\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{n-1}dx$

En el límite inferior se obtiene directamente ${\frac {-0^{n}}{e^{0}}}={\frac {0}{1}}=0$ .

En el infinito, usando la regla de L'Hôpital $n$ veces:

$\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {-x^{n}}{e^{x}}}=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {-n!}{e^{x}}}=0$ .

Por lo que se anula el primer término, $\left[{\frac {-x^{n}}{e^{x}}}\right]_{0}^{\infty }$ , lo que nos da el siguiente resultado:

$\Gamma (n+1)=n\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{n-1}dx$

La parte derecha de la ecuación es exactamente $n\;\Gamma (n)$ , con lo que hemos obtenido una relación de recurrencia:

\Gamma (n+1)=n\;\Gamma (n)

.

Apliquemos la fórmula a unos pocos valores:

\Gamma (2)=\Gamma (1+1)=1\Gamma (1)=1!=1\,

\Gamma (3)=\Gamma (2+1)=2\Gamma (2)=2\cdot 1!=2!=2\,

\Gamma (4)=\Gamma (3+1)=3\Gamma (3)=3\cdot 2!=3!=6\,

\Gamma (n+1)=n\;\Gamma (n)=n\cdot (n-1)!=n!

Propiedades

De la representación integral se obtiene:

$\lim _{z\to 0^{+}}\Gamma (z)=\lim _{z\to 0^{+}}{\frac {\Gamma (z+1)}{z}}=\infty$ .

Otras ecuaciones funcionales importantes de la función Gamma son la fórmula de reflexión de Euler

$\Gamma (1-z)\;\Gamma (z)={\pi \over \sin {(\pi z)}}\,\!$

y la fórmula de duplicación

$\Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z).\,\!$

La fórmula de duplicación es un caso especial del teorema de multiplicación

$\Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{m}}\right)\;\Gamma \left(z+{\frac {2}{m}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {m-1}{m}}\right)=(2\pi )^{(m-1)/2}\;m^{1/2-mz}\;\Gamma (mz).\,\!$

Una propiedad básica y muy útil de la función Gamma , que puede obtenerse a partir de la definición mediante productos infinitos de Euler es:

${\overline {\Gamma (z)}}=\Gamma ({\overline {z}})\,\!$

Varios límites útiles para aproximaciones asintóticas:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {\Gamma (n+\alpha )}{\Gamma (n)n^{\alpha }}}=1,\quad \lim _{n\to \infty }{\frac {\Gamma (n-\alpha )\Gamma (n+\alpha )}{\Gamma (n-\beta )\Gamma (n+\beta )}}=1;\qquad \alpha ,\beta \in \mathbb {R}$

Quizá el valor más conocido de la función Gamma con argumento no entero es:

$\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }},\,\!$

La cual puede obtenerse haciendo $z=1/2$ en la fórmula de reflexión o en la fórmula de duplicación, usando la relación de la función Gamma con la función beta dada más abajo con $x=y=1/2$ o haciendo la sustitución $u={\sqrt {t}}$ en la definición integral de la función Gamma, con lo que se obtiene una integral Gaussiana. En general, para valores impares de $n$ se tiene:

$\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)={\sqrt {\pi }}\,{\frac {n!!}{2^{(n+1)/2}}}$ ( $n$ impar)

donde $n$ !! denota al doble factorial. Las derivadas de la función Gamma vienen dadas por la función poligamma. Por ejemplo:

$\Gamma '(z)=\Gamma (z)\psi _{0}(z).\,\!$

A partir de la representación integral de la función Gamma, se obtiene que su derivada $n$ -ésima es:

${d^{n} \over (dx)^{n}}\,\Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\ln ^{n}t\,dt.$

La función Gamma tiene un polo de orden 1 en $z=-n$ para todo número entero no negativo . El residuo en cada polo es:

$\operatorname {Res} (\Gamma ,-n)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}.\,\!$

El teorema de Bohr-Mollerup dice que, entre todas las funciones que generalizan el factorial de los números naturales a los reales, sólo la función Gamma es logarítmicamente convexa, esto es, el logaritmo natural de la función Gamma es una función convexa.

El desarrollo en Serie de Laurent de $\Gamma (z)$ para valores 0 < $z$ < 1 es:

$\Gamma (z)\approx {\frac {1}{z}}-\gamma +\left[{\frac {\gamma ^{2}}{2!}}+{\frac {\zeta (2)}{2}}\right]z+\left[{\frac {\gamma ^{3}}{3!}}+{\frac {\zeta (2)}{2}}\gamma +{\frac {\zeta (3)}{3}}\right]z^{2}+\dots$

Donde $\zeta (n)$ es la función zeta de Riemann.

Función Pi

Gauss introdujo una notación alternativa de la función Gamma denominada función Pi, que en términos de la función Gamma es:

\Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\;\Gamma (z),\,\!

Así, la relación de esta función Pi con el factorial es bastante más natural que en el caso de la función Gamma:

\Pi (n)=n!.\!

La fórmula de la reflexión toma la siguiente forma:

\Pi (z)\;\Pi (-z)={\frac {\pi z}{\sin(\pi z)}}={\frac {1}{\operatorname {sinc} (z)}}\,\!

Donde sinc es la función sinc normalizada, el teorema de la multiplicación se escribe así:

\Pi \left({\frac {z}{m}}\right)\,\Pi \left({\frac {z-1}{m}}\right)\cdots \Pi \left({\frac {z-m+1}{m}}\right)=\left({\frac {(2\pi )^{m}}{2\pi m}}\right)^{1/2}\,m^{-z}\,\Pi (z).\,\!

A veces se encuentra la siguiente definición

\pi (z)={\frac {1}{\Pi (z)}},\,\!

donde $\pi (z)$ es una función entera, definida para todo número complejo, pues no tiene polos. La razón de ello es que la función Gamma y, por tanto, la función Pi, no tienen ceros.

Relación con otras funciones

En la representación integral de la función Gamma, tanto el límite superior como el inferior de la integración están fijados. La función gamma incompleta superior $\gamma (a,x)$ e inferior $\Gamma (a,x)$ se obtienen modificando los límites de integración superior o inferior respectivamente.

\Gamma (a,x)=\int _{x}^{\infty }t^{a-1}\,e^{-t}\,dt.\,\!

\gamma (a,x)=\int _{0}^{x}t^{a-1}\,e^{-t}\,dt.\,\!

La función Gamma está relacionada con la función beta por la siguiente fórmula

\mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\;\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}.\,\!

La derivada logarítmica de la función Gamma es la función digamma $\psi ^{(0)}(z)$ . Las derivadas de mayor orden son las funciones poligamma $\psi ^{(n)}(z)$ .

\psi (x)=\psi ^{0}(x)={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}

\psi ^{(n)}(x)=\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n}\psi (x)=\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n+1}\log \Gamma (x)

El análogo de la función Gamma sobre un cuerpo finito o un anillo finito son las sumas gaussianas, un tipo de suma exponencial.
La función gamma inversa es la inversa de la función gamma, que es una función entera.
La función Gamma aparece en la definición integral de la función zeta de Riemann $\zeta (z)$ :

\zeta (z)={\frac {1}{\Gamma (z)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{z-1}}{e^{u}-1}}\;\mathrm {d} u\,\!.

Fórmula válida sólo si $\operatorname {Re} (z)>1$ . También aparece en la ecuación funcional de $\zeta (z)$ :

\pi ^{-z/2}\;\Gamma \left({\frac {z}{2}}\right)\zeta (z)=\pi ^{-{\frac {1-z}{2}}}\;\Gamma \left({\frac {1-z}{2}}\right)\;\zeta (1-z).

Valores de la función Gamma

{\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\frac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}&\approx 2,363\\\Gamma (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\approx -3,545\\\Gamma (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\approx 1,772\\\Gamma (1)&=0!&=1\\\Gamma (3/2)&={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}&\approx 0,886\\\Gamma (2)&=1!&=1\\\Gamma (5/2)&={\frac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}&\approx 1,329\\\Gamma (3)&=2!&=2\\\Gamma (7/2)&={\frac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}&\approx 3,323\\\Gamma (4)&=3!&=6\\\end{array}}

Aproximaciones

La función Gamma se puede calcular numéricamente con precisión arbitraria usando la fórmula de Stirling, la aproximación de Lanczos o la aproximación de Spouge.

Para argumentos que sean múltiplos enteros de 1/24, la función Gamma puede ser evaluada rápidamente usando iteraciones de medias aritmético geométricas (véase Valores de la función Gamma).

Debido a que tanto la función Gamma como el factorial crecen muy rápidamente para argumentos moderadamente grandes, muchos programas de computación incluyen funciones que devuelven el logaritmo de la función Gamma. Este crece más lentamente, y en cálculos combinatorios es muy útil, pues se pasa de multiplicar y dividir grandes valores a sumar o restar sus logaritmos.

Aplicaciones de la función gamma

Cálculo fraccionario

Artículo principal: Cálculo fraccional

La $n$ -ésima derivada de $ax^{b}$ (donde n es un número natural) se puede ver de la siguiente manera:

{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(ax^{b}\right)=\left(b-n+1\right)\cdots \left(b-2\right)\left(b-1\right)bax^{b-n}={\frac {b!}{\left(b-n\right)!}}ax^{b-n}

como $n!=\Gamma (n+1)$ entonces

{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(ax^{b}\right)={\frac {\Gamma \left(b+1\right)}{\Gamma \left(b-n+1\right)}}ax^{b-n}

donde $n$ puede ser cualquier número donde gamma esté definido o se pueda definir mediante límites. De esta manera se puede calcular por ejemplo, la 1/2 derivada de $x$ , de $x^{2}$ e inclusive de una constante $c=cx^{0}$ :

{\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}\left(x\right)={\frac {2{\sqrt {x}}}{\sqrt {\pi }}}

{\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}\left(x^{2}\right)={\frac {8{\sqrt {x^{3}}}}{3{\sqrt {\pi }}}}

{\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}\left(c\right)={\frac {c}{{\sqrt {\pi }}{\sqrt {x}}}}

Véase también

Referencias

↑ George Allen, and Unwin, Ltd., The Universal Encyclopedia of Mathematics. United States of America, New American Library, Simon and Schuster, Inc., 1964. (Forward by James R. Newman)

Bibliografía utilizada

Artin, Emil (2006). «Exposition by Emil Artin: a selection». En Rosen, Michael, ed. The Gamma function. History of Mathematics (Providence, RI: American Mathematical Society) (30).
Davis, Philip J. (1959). «Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function». Am. Math. Monthly (66): 849-869.
Haible, Bruno; Papanikolaou, Thomas (1997). «Fast multiprecision evaluation of series of rational numbers». Technical Report (Darmstadt University of Technology) (TI-7/97). Archivado desde el original el 30 de junio de 2006. Consultado el 12 de agosto de 2008.
Havil, Julian (2003). Gamma, Exploring Euler's Constant. ISBN 0-691-09983-9.
Sebah, Pascal; Gourdon, Xavier. «Introduction to the Gamma Function». Formato HTML

Bibliografía adicional

Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1972). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Nueva York: Dover.
Arfken, G.; Weber, H. (2000). «Chapter 10». Mathematical Methods for Physicists. Harcourt/Academic Press.
Hochstadt, Harry (1986). «Chapter 3». The Functions of Mathematical Physics. Nueva York: Dover.
Press, W.H.; Flannery, B.P.; Teukolsky, S.A.; Vetterling, W.T. (1988). «Section 6.1». Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press.
Murray R. Spiegel: Transformadas de Laplace, ediciones Schaumm.
Makárenko, Krasnov y Kiselev: Funciones de variable compleja, Cálculo operacional, Teoría de la estabilidad, editorial Mir.