Métodos de integración

Se entiende por métodos de integración cualquiera de las diferentes técnicas elementales usadas para calcular una antiderivada o integral indefinida de una función.

Así, dada una función f(x), los métodos de integración son técnicas cuyo uso (usualmente combinado) permite encontrar una función F(x) tal que

$F(x) = \int f(x)\,\mathrm{d}x$,

lo cual, por el teorema fundamental del cálculo equivale a hallar una función F(x) tal que f(x) es su derivada:

$\frac{d\,F(x)}{dx} = f(x)$.

Generalidades

El problema de resolver una integral indefinida o buscar una primitiva es mucho más complicado que el problema de calcular de la derivada de una función. De hecho, no existe un algoritmo determinista que permita expresar la primitiva de una función elemental, es más, la primitiva de muchas funciones elementales de hecho no es ninguna función elmental. Por ejemplo, no existe ninguna función elemental F(x) que sea tal que:

$F(x) = \int e^{-x^2}dx$

Si se consideran grupos de funciones elementales de un cierto tipo (polinómicas, fracciones racionales, trigonométricas, etc.) entonces el problema de encontrar la primitiva pude resolverse con problemas elementales llamados métodos de integración como los tratados a continuación.

Integración directa

En ocasiones es posible aplicar la relación dada por el teorema fundamental del cálculo de forma directa. Esto es, si se conoce de antemano una función cuya derivada sea igual a f(x) (ya sea por disponer de una tabla de integrales o por haberse calculado previamente), entonces tal función es el resultado de la antiderivada. La integración directa requiere una confeccionar una tabla de funciones y sus antidervidas o funciones primitivas.

Ejemplo

Calcular la integral indefinida $\int \sec^2(x) \, dx$.

En una tabla de derivadas se puede comprobar que la derivada de tan(x) es sec ²(x). Por tanto: $\int \sec^2(x)\,dx = \tan(x)+ C.$

Ejemplo

Calcular la integral indefinida$\int\frac{1}{x}\, dx$.

Una fórmula estándar sobre derivadas establece que $\frac{d\, \ln(x)}{dx} = \frac{1}{x}$. De este modo, la solución del problema es $\int \frac{1}{x}\, dx = \ln(x)+ C$.

No obstante, puesto que la función $\frac{1}{x}$ esta definida en los números negativos también ha de estarlo su integral, así que, la integral escrita de una forma rigurosa sería ln(|x|)

Funciones analíticas

El problema de integración es trivial si se consideran funciones analíticas y se admite como primitivas potencias de series formales ya que:

$f(x) = \sum_{m=0}^\infty a_m (x-x_0)^m, \qquad F(x) = \int f(x)\ dx = \sum_{m=0}^\infty \frac{a_m}{m+1}(x-x_0)^{m+1} + C$

Método de integración por sustitución

El método de integración por sustitución o por cambio de variable se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o antiderivada simple. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar a una integral de tabla para encontrar fácilmente su primitiva. Este método realiza lo opuesto a la regla de la cadena en la derivación.

Ejemplo #1

Suponiendo que la integral a resolver es:

$\int^3_{-2} x \cos (2x^2+3) dx$

En la integral se reemplaza $\ 2x^2+3$ con (u):

$\int^3_{-2} x \cos (u) dx$ (1)

Ahora se necesita sustituir también $\ dx$ para que la integral quede sólo en función de $\ u$:

Se tiene que $\ 2x^2+3=u$ por tanto derivando se obtiene $\ 4x dx=du$

Se despeja $\ dx=\frac{du}{4x}$ y se agrega donde corresponde en (1):

$\int^3_{-2} x \cos (u) \frac{du}{4x}$

Simplificando:

$\int^3_{-2} \cos (u) \frac{du}{4}$

Hay que considerar si la sustitución fue útil y por tanto se llegó a una forma mejor, o por el contrario empeoró las cosas. Luego de adquirir práctica en esta operación, se puede realizar mentalmente. En este caso quedó de una manera más sencilla dado que la primitiva del coseno es el seno.

Como último paso antes de aplicar la regla de Barrow con la primitiva, hay que modificar los límites de integración. Sustituyendo x por el límite de integración, se obtiene uno nuevo.

En este caso, como se hizo $\ u=2x^2+3$ :

$u_1=2(-2)^2 + 3 = 11 \,\!$ (límite inferior)

$u_2=2(3)^2 + 3 = 21 \,\!$ (límite superior)

Luego de realizar esta operación con ambos límites la integral queda de una forma final:

$\frac{1}{4} \int^{21}_{11} \cos (u) du = \frac{1}{4} (\sin(21) - \sin(11))$

Ejemplo #2

Suponiendo ahora que la integral a resolver es:

$\int \frac {1}{5+ 3\cos (x)} dx$

Cuando las integrales son de tipo racional e involucra funciones trigonométricas, dígase: $\ \sin (x)$ y $\ \cos (x)$ la sustitución conveniente resulta ser $\ u=\tan (x/2)$ :

$\ \sin (x/2)= \frac {u}{\sqrt {1+ u^2}}$, $\ \cos (x/2)= \frac {1}{\sqrt {1+ u^2}}$

Entonces (por Teorema de la suma y la resta)$\ \cos (x)= \cos^2 (x/2) - \sin^2 (x/2) = \frac {1-u^2}{1+u^2}$

por otra parte $\ du = \frac {1}{2} \sec^2 (x/2) dx$ o $\ dx = 2 \cos^2 (x/2) du = \frac {2 du}{1 + u^2}$

la integral queda después de dicha sustitución:

$\int \frac {du}{u^2 + 4} = \frac {1}{2} \arctan (u/2) + c = \frac {1}{2} \arctan (\frac {1}{2}\tan (x/2)) + c$

Método de integración por partes

El método de integración por partes es el que resulta de aplicar el siguiente teorema:

Regla mnemotécnica: "Un Día Vi Una Vaca sin rabo (menos integral) Vestida De Uniforme".

Eligiendo adecuadamente los valores de $\ u$ y $\ dv$, puede simplificarse mucho la resolución de la integral.

$\int_a^b u dv = \left. uv\right|_a^b - \int_a^b vdu$.

Existen diversos dichos mnemotécnicos para recordar la integración por partes, la cual dice así:

"Sentado ($\scriptstyle \int$) un día vi, un valiente soldado ($\int$) vestido de uniforme" .

"Un día vi un viejo sin bastón vestido de uniforme".

"un viejo soldado(-integral) vestido de uniforme" .

"Unamuno dice verdades: una verdad menos integra verdaderas dudas universales" .

Eligiendo adecuadamente los valores de $\ u$ y $\ dv$, puede simplificarse mucho la resolución de la integral.

• Para elegir la función $\ u \$ se puede usar una de las siguiente reglas mnemotécnicas:

1. Arcoseno, arcocoseno..., Logarítmicas, Polinómicas, Exponenciales, Seno, coseno, tangente... ⇒ A L P E S.

   Nota: Elegimos siempre "u" como la función situada más a la izquierda de la palabra ALPES.

2. Inversas trigonométricas, Logarítmicas, Algebráicas, Trigonométricas, Exponenciales. ⇒ I L A T E.

   Nota: Elegimos siempre "u" como la función situada más a la izquierda de la palabra ILATE.

3. Inversas trigonométricas, Logarítmicas, Potenciales, Exponenciales, Trigonométricas ⇒ I L P E T

   Nota: Elegimos siempre "u" como la función situada más a la izquierda de la palabra ILPET.

Método de integración por cambio de variables

El cambio de variables es uno de los métodos más usados en la integración. Permite expresar la integral inicial mediante un nuevo integrando y un nuevo dominio siendo la integral equivalente a la primera. Para integrales simples de una sola variable si $\scriptstyle u$ es la variable original y $\scriptstyle v =\phi(u)$ es una función invertible, se tiene:

$\int_a^b f(u)\ du = \int_{\phi(a)}^{\phi(b)} (f\circ\phi^{-1})(v) \left(\frac{d\phi^{-1}(v)}{dv}\right)^{-1} dv$

Integrales de funciones trigonométricas

Con carácter general un cambio que resulta muchas veces útil expresar las potencias funciones trigonométricas mediante funciones de ángulos múltiples, eso pude lograrse gracias a las siguientes identidades:

$\begin{matrix} \cos^{2n+1} x = \left( \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)^{2n+1} = \cfrac{1}{2^{2n}} \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} 2n+1 \\ k \end{pmatrix} \cos{(2k+1)x} \\ \cos^{2n} x = \left( \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)^{2n} = \cfrac{1}{2^{2n-1}} \left[1 + \sum_{k=1}^n \begin{pmatrix} 2n \\ k \end{pmatrix} \cos{(2k)x} \right] \end{matrix}$

Por ejemplo las dos fórmulas anteriores permiten substituir potencias complejas de la función coseno por el coseno de ángulos múltiplo:

$\begin{matrix} \begin{cases} \cos^2 x = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(2x) \\ \cos^4 x = \frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{8}\cos(4x) \\ \dots \end{cases} \begin{cases} \cos^3 x = \frac{3}{4}\cos(x) + \frac{1}{4}\cos(3x) \\ \cos^5 x = \frac{5}{8}\cos x + \frac{5}{16}\cos(3x) + \frac{1}{16}\cos(5x) \\ \dots \end{cases} \end{matrix}$

Integral que contiene potencias de senos y cosenos $\int \sin^{n}x\cos^{m}xdx$

• En general, se intenta escribir un integrando en el que intervienen potencias de seno y coseno en una forma donde se tiene sólo un factor seno (y el resto de la expresión en términos de coseno) o sólo un factor coseno (y el resto de la expresión en términos de seno).
• La identidad sin ²x + cos ²x = 1 permite convertir de una parte a otra entre potencias pares de seno y coseno.

Existen 3 casos:

Cuando n es impar

Cuando $\scriptstyle n=2k+1$, podemos apartar un factor del seno y sustituirlo por la identidad sin ²x = 1 − cos ²x para poder expresar los factores restantes en términos del coseno:

$\int \sin^{2k+1}x \cos^{m}x dx$

$\int \sin^{2k}x \cos^{m}x \sin x dx$

$\int (\sin^{2}x)^{k}\cos^{m}x \sin x dx$

$\int (1-\cos^{2}x)^{k} \cos^{m}x\sin x dx$

Al tener el integral de esta forma se puede resolver por medio de sustitución haciendo u = cos(x), du = − sin(x)dx. Como en la expresión no tenemos un − sin(x)dx multiplicamos ambos lados por ( − 1) y nos queda la expresión − du = sin(x)dx que ya podemos sustituir:

$-\int (1 - u^{2})^{k}u^{m} du$

Cuando m es impar

Cuando m = 2k + 1, podemos de la misma manera apartar un factor de coseno y emplear cos ²x = 1 − sin ²x para poder expresar los factores restantes en términos del sin x:

$\int \sin^{n}x \cos^{2k+1}x dx$

$\int \sin^{n}x \cos^{2k}x \;\cos x dx$

$\int \sin^{n}x \;(\cos^{2}x)^{k}\;\cos x dx$

$\int \sin^{n}x\;(1 - \sin^{2}x)^{k}\;\cos x dx$

al hacer u = sin x y du = cos xdx tendríamos

$\int u^{n}\;(1 - u^{2})^{k} du$

Cuando m y n son pares

Cuando dichas potencias son pares a la vez n = 2k y m = 2p, podemos aplicar las identidades de la mitad de ángulo:

$\sin^{2}x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2x$

$\cos^{2}x =\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 2x$

algunas veces es útil usar la identidad:

$\sin x\;\cos x =\frac{1}{2}\sin 2x$

$\int \cos^{2p}x\;\sin^{2k}x dx$

$\int (\cos^{2}x)^{p}\;(\sin^{2}x)^{k} dx$

sería igual a:

$\int [\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 2x]^{p}\; [\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2x]^{k} dx$

Ejemplo #1

• $\int \sin^5x \; \cos^2x dx.$

Solución Lo primero que tenemos que ver es que la potencia impar la tiene la función seno, esto nos hace notar que estamos en el primer caso que describimos arriba, entonces aplicamos el algoritmo,

$\sin^5x \; \cos^2 x=(\sin^2x)^2 \; \cos^2x \; \sin x= (1-\cos^2x)^2 \; \cos^2x\;\sin x$

Sustituyendo u = cos x , tenemos du = − sin xdx luego:

$\begin{matrix} \int \sin^5 x \cos^2x dx= \int \sin^4 x \cos^2 x \sin x\ dx = \\ \int (1-\cos^2 x )^2 \cos^2x \sin x\ dx = \\ \int (1-u^2)^2\;u^2\;(-du)= -\int (u^2-2u^4+u^6)du = \\ -(\frac{u^3}{3}) - \frac{2u^5}{5} + \frac{u^7}{7}+C = \\ -\frac{1}{3}\cos^3x + \frac{2}{5}\cos^5x - \frac{1}{7}\cos^7x + C \end{matrix}$

Integrales que contiene potencias de tangentes y secantes $\int \sec^{n}x\tan^{m}xdx$

• Se puede usar una estrategia similar a la anterior.

Puesto que:

$\left( \frac{d}{dx} \right)\tan x = \sec^2x$, se puede separar un factor sec ²x y convertir la potencia restante (par) de la secante en una expresión relacionada con la tangente por medio de la identidad sec ²x = 1 + tan ²x.

O bien, puesto que:

$(\frac{d}{dx})secx = \sec x \tan x$, se puede separar un factor secxtanx y convertir la potencia restante (par) de tangente a secante.

Existen 3 casos:

Cuando n es par

n = 2k separar un factor de sec ²x y utilice sec ²x = 1 + tan ²x para lograr expresar los factores restantes en términos de tan x:

$\int \sec^{2k}x\;\tan^{m}xdx$

$\int \sec^{2k-2}x\;\tan^{m}x\;\sec^{2}xdx$

$\int (\sec^{2}x)^{k-1}\;\tan^{m}x\;\sec^{2}xdx$

$\int [1 + \tan^{2}x]^{k-1}\;tan^{m}x\;sec^{2}xdx$

de esta manera podemos hacer u = tanx y du = sec²xdx y el integral quedaría así:

$\int [1 + u^{2}]^{k -1}\;u^mdu$

Cuando m es impar

m = 2k + 1 apartar un factor de secxtanx y emplear tan²x = sec²x − 1 para poder expresar los factores que restan en términos de secx:

$\int sec^{n}x\;tan^{2k+1}xdx$

$\int sec^{n-1}x\;tan^{2k}x\;secx\;tanxdx$

$\int sec^{n-1}x\;(sec^{2}x - 1)^{k}\;secx\;tanxdx$

de esta manera se puede hacer u = secx y $du= secx\;tanx\;dx$, con lo que queda

$\int u^{n-1}\;(u^2-1)^{k}du$

La tangente tiene potencia par $\int tan^{2k}xdx$

$\int tan^{2k-2}x\;tan^{2}xdx$

$\int tan^{2k-2}x\;(sec^{2}x - 1)dx$

$\int tan^{2k-2}x\;sec^{2}xdx - \int tan^{2k-2}xdx$

La Secante tiene potencia impar$\int sec^{2k+1}xdx$

En este caso se procede a integrar por partes.

Ninguno de los anteriores

Al no encontrar la forma de ninguno de los pasos anteriores, se traslada a senx y cosx, recordando que:

$\sec x = \frac{1}{\cos x}$

$\tan x= \frac{\sin x}{\cos x}$

Para otros casos, las directrices no son tan claras. Podría ser necesario usar identidades, integración por partes y, ocacionalmente, un poco de inventiva.

• A veces será necesario poder integrar tanx por medio de la fórmula establecida:

$\int \tan x dx = \ln |\sec x| + C$

• Se necesitará también la integral indefinida de la secante:

$\int \sec x dx = \ln |\sec x + \tan x| + C$

Esta última se podría comprobar mediante la derivación de lado derecho, o como sigue:

Primero se mutiplican numerador y denominador por secx + tanx :

$\int \sec x dx = \int \sec x \frac{\sec x + \tan x}{\sec x + \tan x}dx = \int \frac{\sec^2x + \sec x \tan x}{\sec x + \tan x}dx$

Si se sustituye u = sec x + tan x, después du = (sec xtan x + sec ²x)dx, también, la integral se convierte en:

$\int \frac{du}{u} = \ln |u| + C$

Así, se tiene:

$\int \sec x dx = \ln |\sec x + \tan x| + C$

NOTA: Para integrales que contienen cosecantes y cotangentes, la estrategia es análoga a la del par secantes-tangentes. Recordar la identidad:

csc ²x = 1 + cot ²x

Reducción a funciones racionales

Si el integrando puede expresar como una función racional de funciones trigonométicas:

(*) $\int R(\sin(x),\cos(x))\ dx, \qquad R(x,y)=\frac{P(x,y)}{Q(x,y)},\ P,Q\in \R[x,y]$

Entonces el cambio:

$t:=\tan\left(\frac{x}{2}\right) \Rightarrow \sin(x)=\frac{2t}{1+t^2}, \cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2}$

permite reescribir la integral (*) como:

$2\int R\left(\frac{2t}{1+t^2}, \frac{1-t^2}{1+t^2}\right)\ \frac{dt}{1+t^2}$

Que resulta ser una función racional, y por tanto, de integración mecánica.

Integrales de funciones racionales

Dada una función racional expresable como el cociente de dos polinomios:

$f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}, \qquad P(x),Q(x)\in \R[x]$

Si el denominador es un polinómico mónico $\scriptstyle Q(x)$ con k raíces diferentes, entonces admitirá la siguiente factorización en términos de polinomio irreducibles:

$\begin{cases} Q(x) = (x-r_1)^{m_1} (x-r_2)^{m_2} \dots (x-r_k)^{m_k} (x^2+s_1x+t_1)^{n_1} \dots (x^2+s_lx+t_l)^{n_l}\\ k,l,m_i,n_j\in \mathbb{N},\ r_p,s_p,t_p \in \R \end{cases}$

Si $\scriptstyle \mbox{gr}(P) < \mbox{gr}(Q)$ entonces la función racional puede escribirse como combinación lineal de fracciones racionales de las formas:

$\begin{matrix} f_1(x) = \cfrac{1}{(x-r_i)} & f_2(x)= \cfrac{1}{(x-r_i)^{u}} \\ f_3(x) = \cfrac{1}{x^2+a^2} & f_4(x) = \cfrac{1}{(x^2+a^2)^{v}} \\ f_5(x) = \cfrac{x}{x^2+a^2} & f_6(x) = \cfrac{x}{(x^2+a^2)^{w}} \end{matrix}$

Por lo que la integral de la función $\scriptstyle f(x)$ es una combinación lineal de funciones de la forma:

$\begin{matrix} F_1(x) = \ln(x-r_i) & F_2(x)= \cfrac{1-u}{(x-r_i)^{u-1}} \\ F_3(x) = \cfrac{1}{a}\arctan \cfrac{x}{a} & F_4(x) = \cfrac{1}{2a^2}\left( \cfrac{x}{(v-1)(x^2+a^2)^{v-1}} + \cfrac{2v-3}{v-1} \int \cfrac{dx}{(x^2+a^2)^{v-1}} \right) \\ F_5(x) = \cfrac{1}{2}\ln(x^2+a^2) & F_6(x) = \cfrac{-1}{2(w-1)(x^2+a^2)^{w-1}} \end{matrix}$

Obsérvese que lo anterior implica que las funciones racionales constituyen un cuerpo algebraico que es cerrado bajo la derivación, pero no bajo la integración.

Integración numérica

La integración numérica comprende una amplia gama de algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida. A efectos prácticos se usa cuando no se conoce un método analítico de integración o la función primitiva resulta tan complicada que para una aplicación práctica resulta más útil buscar directamente su valor numérico. El término cuadratura numérica (a menudo abreviado a cuadratura) es más o menos sinónimo de integración numérica, especialmente si se aplica a integrales de una dimensión a pesar de que para el caso de dos o más dimensiones (integral múltiple) también se utiliza.

Referencias

Enlaces externos

• Integrales resueltas usando usando técnicas de integración en wikimatematica.org

Videos

• Área bajo la curva con sumatorias
• Cálculo del área con subintervalos
• Integración por Partes
• Integración por Sustitución Simple
• Integración por Sustitución Trigonométrica