Convergencia absoluta

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En matemáticas, una serie (o a veces una integral) de números se dice que converge absolutamente si la suma de los valores absolutos de los términos (o integrandos) es finita.

Definición formal[editar]

\sum_{n=0}^\infty a_n se dice que es absolutamente convergente si la serie \sum_{n=0}^\infty \left|a_n\right|< \infty .

En otras palabras, la serie es absolutamente convergente si la serie de valores absolutos es una serie convergente.

Convergencia Absoluta y Convergencia[editar]

La convergencia absoluta implica convergencia, aunque la afirmación recíproca no es verdadera.

Supongamos que \sum_{n=0}^\infty |a_n| converge por hipótesis y que a_n\le|a_n|, entonces por el Criterio de comparación, si |a_n| converge, a_n también lo hará.


Por propiedad del Valor Absoluto, es posible considerar:


-|a_n| \le a_n \le |a_n|


Sumamos |a_n| término a término en la desigualdad:


|a_n| - |a_n| \le a_n + |a_n| \le |a_n| + |a_n|


0 \le a_n + |a_n| \le 2|a_n| o sea:


Se aplica \sum_{n=0}^\infty miembro a miembro:


\sum_{n=0}^\infty 0 \le \sum_{n=0}^\infty a_n + |a_n| \le \sum_{n=0}^\infty 2|a_n|


Pero por hipótesis, 2\sum_{n=0}^\infty |a_n| converge, entonces por el Criterio de comparación, \sum_{n=0}^\infty a_n + |a_n| también lo hará. (1)


Ahora, se considera:


a_n = a_n + |a_n| - |a_n|


\sum_{n=0}^\infty a_n = \sum_{n=0}^\infty [ a_n + |a_n| - |a_n| ]


\sum_{n=0}^\infty a_n = \sum_{n=0}^\infty [ a_n + |a_n| ] - \sum_{n=0}^\infty |a_n|


\sum_{n=0}^\infty [ a_n + |a_n| ] converge por (1).
\sum_{n=0}^\infty |a_n| converge por hipótesis.


Entonces \sum_{n=0}^\infty a_n converge por ser diferencia de series convergentes.

Convergencia condicional[editar]

Si la serie \sum_{n=0}^\infty a_n es convergente pero no absolutamente convergente, entonces se dice que la serie es condicionalmente convergente. Esto sucede cuando \sum_{n=0}^\infty |a_n| es divergente.

Véase también[editar]