Función beta

Función beta. Representación de la función para valores reales positivos de x e y.

En matemáticas, la función beta es una función especial estrechamente relacionada con la función gamma. Fue estudiada originalmente por Euler y Legendre. No obstante, su nombre le fue dado por Jacques Binet.

Definición

Dada una función f, muchas veces es útil expresar f (x + y) en términos de f (x) y f (y). Por ejemplo, para la exponencial se tiene

$e^{(x+y)} = e^x\,e^y.$

Este análisis, aplicado a la función gamma, conduce a la definición de la función beta. Para $x$ e $y$, dos números complejos, con sus partes reales positivas, consideremos el producto $\Gamma(x) \Gamma(y)$:

$\Gamma(x)\,\Gamma(y) = \int_0^\infty s^{x-1}\,e^{-s}\,ds\,\int_0^\infty t^{y-1}\,e^{-t}\,dt = \int_0^\infty\!\!\!\int_0^\infty s^{x-1}t^{y-1}\,e^{-s-t}\,ds\,dt$

Para escribir esta integral doble en coordenadas polares, hagamos primero el cambio de variables $t = u^2$ y $s = v^2$:

$\Gamma(x)\,\Gamma(y) = 4\int_0^\infty\!\!\!\int_0^\infty u^{2x-1}v^{2y-1}\,e^{-(u^2+v^2)}\,du\,dv.$

Pasando a coordenadas polares $u = r\cos\theta$, $v=r\sin\theta$ esta integral doble arroja

$\Gamma(x)\,\Gamma(y) = 4\,\int_0^\infty\int_0^{\pi/2}r^{2(x+y-1)}e^{-r^2}\cos^{2x-1}(\theta)\sin^{2y-1}(\theta) \,r\,dr\,d\theta$

Haciendo $t = r^2$ obtenemos

$\begin{align}\Gamma(x)\,\Gamma(y) &= 2\,\int_0^\infty t^{x+y-1}e^{-t}\,dt \int_0^{\pi/2}\cos^{2x-1}(\theta)\sin^{2y-1}(\theta)\,d\theta\\ &= 2\Gamma(x+y)\int_0^{\pi/2}\cos^{2x-1}(\theta)\sin^{2y-1}(\theta) \,d\theta \end{align}$

Definiendo la función beta

$\Beta(x,y) = 2 \int_0^{\pi/2}\cos^{2x-1}(\theta)\sin^{2y-1}(\theta) \,d\theta,$

se obtiene

$\Gamma(x)\Gamma(y) = \Gamma(x+y)\,\Beta(x,y).$

Propiedades

1. La primera propiedad que satisface la función beta, ya se ha mostrado

   $\Beta(x,y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}.$

2. La función beta es simétrica

   $\Beta(x,y) = \Beta(y,x).\,$

3. Haciendo cambios de variables en la integral que define a la función beta

   $\Beta(x,y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt$

   $\mathrm{\Beta}(x,y) = \int_0^\infty\dfrac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}\,dt$

Derivadas

Las derivadas de la función beta, pueden expresarse en términos de la función digamma y las funciones poligamma

${\partial \over \partial x} \mathrm{B}(x, y) = \mathrm{B}(x, y) \left( {\Gamma'(x) \over \Gamma(x)} - {\Gamma'(x + y) \over \Gamma(x + y)} \right) = \mathrm{B}(x, y) (\psi(x) - \psi(x + y))$

donde $\psi(x)$ es la función digamma.

Aplicación

Puesto que $\Gamma(1) = 1$, se deduce de la definición de la función beta y de la primera propiedad enunciada que

$\Beta(1/2,1/2) = \pi = \Gamma^2(1/2)\,$

de donde $\Gamma(1/2) = \sqrt\pi$.

Supongamos que $n$ es un entero no negativo y queremos calcular

$\int_0^{\pi/2}\cos^n(t)dt.$

Entonces podemos

$\int_0^{\pi/2}\cos^n(t)\,dt = \int_0^{\pi/2}\cos^{2(n+1)/2-1}(t)\,\sin^{2(1/2)-1}(t)dt = \frac{1}{2}\,\Beta \left(\frac{n+1}{2},\frac{1}{2}\right).$

Usando la primera propiedad de la función beta, tenemos

$\Beta(\frac{n+1}{2},\frac{1}{2}) = \frac{\Gamma[(n+1)/2]\Gamma(1/2)}{\Gamma(n/2+1)} = \frac{\sqrt\pi\,\Gamma[(n+1)/2]}{\Gamma(n/2 + 1)}.$

De manera que

$\int_0^{\pi/2}\cos^n(t)\,dt = \frac{\sqrt\pi\,\Gamma[(n+1)/2]}{2\,\Gamma(n/2 + 1)} = \begin{cases} \displaystyle{\frac{2^{2k}(k!)^2}{(2k+1)!}}&\ \mathrm{si}\ n = 2k+1;\\ \displaystyle{\frac{\pi\,(2k)!}{2^{2k+1}(k!)^2}}&\ \mathrm{si}\ n = 2k. \end{cases}$

Véase también

• Distribución beta