Función digamma

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Función Digamma  \Psi(s) en el plano complejo. El color de un punto  s codifica el valor de  \Psi(s) .Colores fuertes denotan valores cercanos a cero y el tono codifica el valor del argumento.

En matemáticas, la función digamma se define como la derivada logarítmica de la función gamma, siendo la primera de las funciones poligamma. Se define de la siguiente manera:

\psi(z) =\frac{d\,\ln\Gamma}{dz}(z)= \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}

donde \Gamma denota la función gamma.

Representaciones[editar]

Usando la expresión

 \Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z}\prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n},

donde γ es la constante de Euler-Mascheroni, podemos tomar el logaritmo

 \ln(\Gamma(z)) = -\gamma z - \ln z - \sum_{n=1}^\infty \ln\left(1 + \frac{z}{n}\right) - z/n

y derivando respecto de z, obtenemos una representación en forma de serie


\psi(z) = -\gamma - \frac{1}{z} +
\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+z}\right)
= -\gamma + \sum_{k=1}^\infty \left( \frac{1}{k}-\frac{1}{z+k-1} \right).

Propiedades[editar]

De la expresión anterior se desprende la relación de recurrencia

\psi(z + 1) = \psi(z) + \frac{1}{z}.

De aquí que si n es un entero positivo, entonces


\psi(n) = -\gamma + \sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k} = -\gamma + H_{n-1}

donde H_{n-1} es el (n-1)-ésimo número armónico.

\Psi(1 - x) - \Psi(x) = \pi\,\!\cot{ \left ( \pi x \right ) }
  • La función digamma cumple \psi_0(x)  \sim  \ln \left( {x - \gamma } \right) + 2\gamma
  • La función digamma también se denota como \psi_0(x) o incluso \psi^0(x).

Temas relacionados[editar]

Referencias[editar]