Residuo (análisis complejo)

Se denomina residuo de una función analítica $f(z)$ en una singularidad aislada $z=z_0$ al número

$\operatorname{Res}(f,z_0)=\frac{1}{2\pi i}\int_C f(z)dz$

donde C representa una circunferencia de centro $z_0$ y radio R en cuyo interior no hay puntos singulares de la función salvo $z_0$.

Cálculo de residuos

Si $f(z)$ tiene una singularidad evitable en $z_0$, el residuo es $\operatorname{Res}(f(z),z_0)=0$. Si $f(z)$ tiene un polo de orden $N$ en $z_0$, entonces el residuo se puede calcular como:

$\operatorname{Res}(f,z_0)= \lim_{z\to z_0} \, \, \frac{1}{(N-1)!} \frac{d^{N-1}}{dz^{N-1}}[(z-z_0)^N f(z)]$

En particular, si $N=1$ (polo simple),

$\operatorname{Res}(f,z_0)= \lim_{z\to z_0} \, \, (z-z_0) f(z)$

Si el punto $z_0$ es una singularidad esencial, el residuo se calcula desarrollando la función en serie de Laurent en torno a $z_0$. El residuo es el coeficiente correspondiente a la potencia de exponente $-1$.

Véase también

• Fórmula integral de Cauchy
• Teorema integral de Cauchy

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Complex Residue» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.