Símbolo de Pochhammer

Sean z un número complejo y n un número entero, el símbolo de Pochhammer^[1] está definido por

$(z)_n = z(z+1)(z+2)\cdots(z+n-1);\qquad(z)_0 = 1.$

Si z y z+n no son enteros negativos, entonces

$(z)_n = \frac{\Gamma(z+n)}{\Gamma(z)},$

donde $Γ$ es la función gamma.

Los símbolos de Pochhammer aparecen en la expansión en series de funciones especiales.

[editar] Propiedeades

Algunas de las propiedades de los símbolos de Pochhammer son las siguientes:

$(1)_n = n!\quad\mathrm{para\ }n\ge 0,$

$(z)_{n+m} = (z)_n(z+n)_m,\,$

$(-z)_n = (-1)^n(z-n+1)_n,\,$

${z\choose n} = \frac{(-z)_n}{n!}.$

Como se mencionó más arriba, los símbolos de Pochhammer se usan en la expansión en series de potencia de funciones. He aquí un par de ejemplos:

El teorema del binomio de Newton puede expresarse:

$(1+t)^z = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-z)_k}{k!}\,t^k\qquad|t|<1$
La función hipergeométrica confluyente se puede expresar como:

$_2F_1(a,b;c;z) = \sum_{k=0}^\infty\frac{(a)_k(b)_k}{(c)_k}\,z^k$

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Seaborn, James B. (1991). Hypergeometric Functions and their applications. New York: Springer Verlag. 0-387-97558-6.