Ecuación diferencial ordinaria

En matemáticas, una ecuación diferencial ordinaria (comúnmente abreviada "EDO") es una relación que contiene funciones de una sola variable independiente, y una o más de sus derivadas con respecto a esa variable.

Las ecuaciones diferenciales ordinarias se distinguen de las ecuaciones diferenciales parciales, las cuales involucran derivadas parciales de varias variables.

Las ecuaciones diferenciales ordinarias son importantes en diversas áreas de estudio como la geometría, mecánica y astronomía, además de muchas otras aplicaciones.

Se ha dedicado mucho estudio a la resolución de este tipo de ecuaciones, estando casi completamente desarrollada la teoría para ecuaciones lineales. Sin embargo la mayoría de las ecuaciones diferenciales interesantes son no-lineales, a las cuales en la mayoría de los casos no se les puede encontrar una solución exacta.

Introducción

Si F es esta relación o función, la ecuación diferencial ordinaria (EDO) es

(1a)$\ F(x,y,y',y'',\dots ,y^{(n)})=0$

La ecuación diferencial lineal más general, de orden n está dada por:

(1b)$\ a_{n}(t)y^{(n)}+a_{n-1}(t)y^{(n-1)}+\ldots +a_{1}(t)y'+a_{0}(t)y=g(t)$

Donde los $a_{i}$ representan funciones dependientes de t.

Una solución de la ecuación (1a) o (1b) será una "familia" de curvas o funciones del tipo $y=f(t)\,$ que substituida dentro de la ecuación la convierte en una igualdad en la que todos los términos son conocidos.

Definiciones

Ecuación diferencial ordinaria

Si y es una función desconocida:

$y:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$

de x siendo $y^{(n)}$ la enésima derivada de y, entonces una ecuación de la forma

(1)$F(x,y,y',\ \dots ,\ y^{(n-1)})=y^{(n)}$

es llamada una ecuación diferencial ordinara (ODE) de orden n. Para funciones vectoriales,

$y:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{m}$,

la ecuación (1) es llamada un sistema de ecuaciones lineales diferenciales de dimensión m.

Cuando una ecuación diferencial de orden n tiene la forma

$F\left(x,y,y',y'',\ \dots ,\ y^{(n)}\right)=0$

es llamada una ecuación diferencial implícita, mientras que en la forma

$F\left(x,y,y',y'',\ \dots ,\ y^{(n-1)}\right)=y^{(n)}$

es llamada una ecuación diferencial explicita.

Una ecuación diferencial que no depende de x es denominada autónoma.

Se dice que una ecuación diferencial es lineal si F puede ser escrita como una combinación lineal de las derivadas de y

$y^{(n)}=\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}(x)y^{(i)}+r(x)$

siendo, tanto a_i(x) como r(x) funciones continuas de x. La función r(x) es llamada el termino fuente (traducido del inglés source term); si r(x)=0 la ecuación diferencial lineal es llamada homogénea, de lo contrario es llamada no homogénea.

Soluciones

Dada una ecuación diferencial

$F(x,y,y',\dots ,y^{(n)})=0,$

una función u: I ⊂ R → R es llamada la solution o curva integral de F, si u es n veces derivable en I, y

$F(x,u,u',\ \dots ,\ u^{(n)})=0\quad x\in I.$

Dadas dos soluciones u: J ⊂ R → R y v: I ⊂ R → R, u es llamada una extensión de v si I ⊂ J, y

$u(x)=v(x)\quad x\in I.\,$

Una solución que no tiene extensión es llamada una solución general.

Una solución general de una ecuación de orden n es una solución que contiene n variables arbitrarias, correspondientes a n constantes de integración. Una solución particular es derivada de la solución general mediante la fijación de valores particulares para las constantes, a menudo elegidas para complir condiciones iniciales o boundary conditions. Una solución singular es una solución que no puede ser derivada de la solución general.

Tipos de EDOs y forma de resolución

Existen diversos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias, cada una con una forma de resolución distinta; para clasificarlas, hay que hacer la diferencia entre ecuaciones diferenciales de primer orden y ecuaciones de orden superior (ya que las primeras son, por lo general, de más fácil resolución).

Existencia y unicidad de soluciones

El teorema de Peano-Picard garantiza la existencia de una solución y su unicidad para toda ecuación diferencial ordinaria lineal con coeficientes continuos en un intervalo tiene solución única en dicho intervalo. Para el caso de ecuaciones diferenciales no-lineales no existen resultados análogos al de Peano-Picard.

El teorema de Peano-Picard demuestra la existencia mediante una demostración constructiva, para un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Puesto que toda ecuación diferencial lineal de orden arbitrario puede reducirse a un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, se sigue del teorema de Peano-Picard la existencia y unicidad de la solución. La idea del teorema es simple construye una sucesión de Cauchy funciones cuyo límite es precisamente la solución del sistema. La demostración de la unicidad por otra parte resulta trivial.

Soluciones analíticas

Existen métodos de resolución generales para ecuaciones diferenciales ordinarias lineales que permiten encontrar soluciones analíticas. En particular si los coeficientes de la ecuación lineal son constantes o periódicos la solución es casi siempre fácil de construir. Para coeficientes no constantes o no periódicos, pero que son desarrollables en serie de Taylor o serie de Laurent es aplicable con ciertas restricciones el método de Frobenius. Otra posibilidad es reducir una ecuación diferencial lineal de orden n a un sistema de n ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.

Para las ecuaciones diferenciales ordinarias no-lineales no existen métodos generales.

Soluciones numéricas

Algunos de los métodos de solución numérica de ecuaciones diferenciales son el método de Runge-Kutta, los métodos multipaso y los métodos de extrapolación.

Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

Una ecuación diferencial de primer orden con la condición inicial se expresa de la siguiente forma:

$[L]=\left\{{\begin{array}{*{20}c}{{\cfrac {dy}{dt}}=f(t,y)}\\{y(t_{0})=y_{0}}\\\end{array}}\right.$

Donde $y(t_{0})=y_{0}\,$ es la condición inicial.

Entre los tipos de EDOs de primer orden se encuentran:​

Ecuación de variables separables

Son EDOs de la forma:

${\frac {dy}{dt}}=f(t,y)$

En donde es posible "despejar" todos los términos con la variable dependiente en función de la variable independiente, quedando ahora la ecuación:

$\ g(y)dy=h(t)dt$

En donde se procede integrando ambos miembros de la ecuación

$\int g(y)dy=\int h(t)dt$

De donde es posible obtener la solución

Ecuación exacta

Véase también: Ecuación diferencial exacta

Una ecuación de la forma:

$M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0,\,\!$

se dice exacta si existe una función F que cumpla:

${\frac {\partial F}{\partial x}}(x,y)=M$

y

${\frac {\partial F}{\partial y}}(x,y)=N.$

Su solución es entonces:

$F(x,y)=C.\,$

• Ecuación de Coeficientes Homogéneos (llamada comúnmente homogénea).

Ecuación lineal

Véase también: Ecuación diferencial lineal

Una ecuación diferencial es lineal si presenta la forma:

$y'+P(x)y=Q(x)\,$

Y que tienen por solución:

$y(x)=e^{-\int P(x)dx}\left(C+\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx\right)$

Como se puede apreciar, esta ecuación es una ecuación diferencial de Bernoulli, con n=0.

Ecuación de Bernoulli

Véase también: Ecuación diferencial de Bernoulli

Una ecuación diferencial de Bernoulli, que es a su vez una generalización de la ecuación diferencial lineal, fue formulada por Jakob Bernoulli y resuelta por su hermano, Johann Bernoulli y presenta la forma:

$y'+P(x)y=Q(x)y^{n}\,$

En la cual, si se hace la sustitución $z=y^{1-n}$, la ecuación se transforma en una ecuación lineal con z como variable dependiente, resolviéndose de manera análoga.

Ecuación de Riccati

Véase también: Ecuación diferencial de Riccati

Una ecuación diferencial tiene la forma de la introducida por Jacobo Francesco Riccati cuando presenta la estructura:

$y'(x)+P(x)y^{2}+Q(x)y+R(x)=0\,$

Para resolverla, se debe hacer la sustitución $y=y_{p}+{\frac {1}{z}}$, donde $y_{p}$ es una solución particular cualquiera de la ecuación.

Ecuación de Lagrange

Véase también: Ecuación diferencial de Lagrange

Una ecuación diferencial de Lagrange presenta la forma:

$y=g(y')x+f(y')\,$

Resolviéndose con la sustitución $y'=p$, obteniéndose una solución general y una solución particular.

Ecuación de Clairaut

Véase también: Ecuación diferencial de Clairaut

Una ecuación diferencial de Clairaut, llamada así en honor a Alexis-Claude Clairaut,tiene la forma:

$y=xy'+f(y')\,$

Como se puede apreciar, esta ecuación es una forma particular de la ecuación diferencial de Lagrange, con $g(y')=y'$, por lo cual, su resolución es análoga a la anterior.

Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden

Muchos problemas físicos importantes tanto en mecánica como en electromagnetismo conllevan la resolución de ecuaciones diferenciales de segundo orden.

Ecuación lineal con coeficientes constantes

La ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes tiene la forma:

$a{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+b{\frac {dy}{dx}}+cy=f(x)$

La resolución de esta ecuación depende de las raíces del polinomio característico:

$a\lambda ^{2}+b\lambda +c=0\,$

En función de como sean las raíces de dicho polinomio se distinguen tres casos posibles:

• Caso 1: dos raíces reales y distintas $(\lambda _{1}\neq \lambda _{2})\,$, en este caso la solución general tiene la forma:

$y(x)=C_{1}e^{\lambda _{1}x}+C_{2}e^{\lambda _{2}x}+{\frac {e^{\lambda _{1}x}}{\lambda _{1}-\lambda _{2}}}\int _{x_{0}}^{x}e^{-\lambda _{1}u}f(u)du+{\frac {e^{\lambda _{2}x}}{\lambda _{2}-\lambda _{1}}}\int _{x_{0}}^{x}e^{-\lambda _{2}u}f(u)du$

• Caso 2: dos raíces reales e iguales $(\lambda _{1}=\lambda _{2})\,$, en este caso la solución general tiene la forma:

$y(x)=C_{1}e^{\lambda _{1}x}+C_{2}xe^{\lambda _{1}x}+xe^{\lambda _{1}x}\int _{x_{0}}^{x}e^{-\lambda _{1}u}f(u)du-e^{\lambda _{1}x}\int _{x_{0}}^{x}xe^{-\lambda _{2}u}f(u)du$

• Caso 3: dos raíces complejas conjugadas $(\lambda _{1}=p+qi,\lambda _{2}=p-qi)\,$, en este caso la solución general tiene la forma:

$y(x)=e^{px}(C_{1}\cos qx+C_{2}\sin qx)+{\frac {e^{px}\sin qx}{q}}\int _{x_{0}}^{x}e^{-pu}f(u)\cos qu\ du-{\frac {e^{px}\cos qx}{q}}\int _{x_{0}}^{x}xe^{-pu}f(u)\sin qu\ du$

El último término de esta última ecuación está relacionado con la integral de Duhamel.

Ecuación diferencial de Euler o de Cauchy

Esta ecuación tiene la forma:

$x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+ax{\frac {dy}{dx}}+by=g(x)$

Y puede resolverse mediante haciendo el cambio de variable $x=e^{t}\,$ que reduce la ecuación anterior a una ecuación de coeficientes constantes resoluble por los métodos de la sección anterior:

${\frac {d^{2}{\bar {y}}}{dt^{2}}}+(a-1){\frac {d{\bar {y}}}{dt}}+b{\bar {y}}=g(e^{t}),\qquad {\bar {y}}(t)=y(e^{t})$

Ecuaciones de Bessel

La ecuación diferencial de Bessel, aparece con frecuencia en la resolución del problema de Dirichlet en coordenadas cilíndricas. Dicha ecuación tiene la forma:

$x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-n^{2})y=0$

Esta ecuación es resoluble mediante las llamadas funciones de Bessel:

$y(x)=C_{1}J_{n}(x)+C_{2}Y_{n}(x)\,$

Además de esta ecuación existe otra ecuación resoluble mediante funciones de Bessel. La ecuación diferencial de Bessel modificada, aparece con frecuencia en la resolución del problema de Dirichlet en coordenadas cilíndricas. Dicha ecuación tiene la forma:

$x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+(2p+1)x{\frac {dy}{dx}}+(\alpha x^{2r}+\beta ^{2})y=0$

Cuya solución viene dada por:

$y(x)=x^{-p}\left[C_{1}J_{q/r}\left({\frac {\alpha }{r}}x^{r}\right)+C_{2}Y_{q/r}\left({\frac {\alpha }{r}}x^{r}\right)\right],\qquad q:={\sqrt {p^{2}-\beta ^{2}}}$

Ecuación de Legendre

La ecuación diferencial de Legendre, aparece con frecuencia en la resolución del problema de Dirichlet en coordenadas esféricas. La ecuación tiene la forma:

$(1-x^{2}){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-2x{\frac {dy}{dx}}+n(n+1)y=0$

Cuando n es un entero una de las dos soluciones independientes que conforman la solución general de la ecuación anterior es el polinomio de Legendre de grado n:

$P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}\ {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{2}-1)^{n}$

Las solución general puede expresarse en la forma:

$y(x)=C_{1}U_{n}(x)+C_{2}V_{n}(x)\,$, o bien, $=y(x)={\bar {C}}_{1}P_{n}(x)+{\bar {C}}_{2}Q_{n}(x)$

Donde:

${\begin{cases}U_{n}(x)=1-{\cfrac {n(n+1)}{2!}}x^{2}+{\cfrac {n(n-1)(n+1)(n+3)}{4!}}x^{4}-\ldots \\V_{n}(x)=x-{\cfrac {(n-1)(n+2)}{3!}}x^{3}+{\cfrac {(n-1)(n-3)(n+2)(n+4)}{5!}}x^{5}-\ldots \end{cases}}$

$P_{n}(x)={\begin{cases}U_{n}(x)/U_{n}(1)&n=0,2,4,\ldots \\V_{n}(x)/V_{n}(1)&n=1,3,5,\ldots \end{cases}}$, y $Q_{n}(x)={\begin{cases}V_{n}(x)U_{n}(1)&n=0,2,4,\ldots \\-U_{n}(x)V_{n}(1)&n=1,3,5,\ldots \end{cases}}$

Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior

Ecuación lineal de orden n con coeficientes constantes

La ecuación diferencial lineal de orden n con coeficientes constantes es de la siguiente forma:

$\ a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\ldots +a_{1}y'+a_{0}y=g(t)$

Donde los términos $a_{i}\,$ representan constantes $\forall i\in \mathbb {N}$ En el caso homogéneo cuando el segundo miembro es idénticamente nulo, las soluciones de esta ecuación se pueden obtener a partir de la raíces del polinomio característico de la ecuación:

$\ a_{n}\lambda ^{n}+a_{n-1}\lambda ^{n-1}+\ldots +a_{1}\lambda +a_{0}=0$

En el caso de que todas las raíces sean diferentes la solución viene dada por:

$y(x)=C_{1}e^{\lambda _{1}x}+\ldots +C_{n}e^{\lambda _{n}x}=\sum _{i=1}^{n}C_{i}e^{\lambda _{i}x}$

En el caso de que existan varias raíces repetidas, siendo $m_{i}$ la multiplicidad de la raíz i-ésima, la solución es de la forma:

$y(x)=\sum _{i=1}^{k}\left(C_{i,0}+C_{i,1}x+\ldots +C_{i,m_{i}-1}x^{m_{i}-1}\right)e^{\lambda _{i}x}=\sum _{i=1}^{k}\left(\sum _{j=0}^{m_{i}-1}C_{i,j}x^{j}\right)e^{\lambda _{i}x},\quad k\leq n,\ \sum _{j=1}^{k}m_{j}=n$

Las multiplicidades de cada raíz son el exponente de la siguiente descomposición:

$a_{n}(\lambda -\lambda _{1})^{m_{1}}\ldots (\lambda -\lambda _{k})^{m_{k}}=a_{n}\lambda ^{n}+a_{n-1}\lambda ^{n-1}+\ldots +a_{1}\lambda +a_{0}=0$

Bibliografía

• José Ignacio Aranda Iriarte (2007). Apuntes de ecuaciones diferenciales I. Universidad Complutense de Madrid.

Véase también

• Ecuación diferencial
• Ecuaciones en derivadas parciales
• Teorema de Picard

Enlaces externos

• Soluciones exactas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
• Métodos de resolución de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias