Método de Runge-Kutta

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En análisis numérico, los métodos de Runge-Kutta son un conjunto de métodos genéricos iterativos, explícitos e implícitos, de resolución numérica de ecuaciones diferenciales. Este conjunto de métodos fue inicialmente desarrollado alrededor del año 1900 por los matemáticos C. Runge y M. W. Kutta.

Descripción[editar]

Los métodos de Runge-Kutta (RK) son un conjuntos de métodos iterativos (implícitos y explícitos) para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias, concretamente, del problema de valor inicial.

Sea

y'(t) = f(t, y(t)) \,

una ecuación diferencial ordinaria, con  f: \Omega \subset \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n donde \Omega \, es un conjunto abierto, junto con la condición de que el valor inicial de ƒ sea

(t_0, y_0) \in \Omega.


Entonces el método RK (de orden s) tiene la siguiente expresión, en su forma más general:

y_{n+1} = y_n + h\,\sum_{i=1}^s b_ik_i,

donde h es el paso por iteración, o lo que es lo mismo, el incremento \Delta t_n entre los sucesivos puntos t_n y t_{n+1}. Los coeficientes k_i son términos de aproximación intermedios, evaluados en ƒ de manera local

k_i = f \left( t_n + h\, c_i\, , y_n + h\,\sum_{j=1}^s a_{ij}k_j \right ) \quad i=1,...,s.

con  a_{ij}, b_i,  c_i coeficientes propios del esquema numérico elegido, dependiente de la regla de cuadratura utilizada. Los esquemas Runge-Kutta pueden ser explícitos o implícitos dependiendo de las constantes  a_{ij} del esquema. Si esta matriz es triangular inferior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a cero; es decir,  a_{ij}=0 para j=i,...,s , los esquemas son explícitos.

Ejemplo[editar]

Esquema Runge-Kutta de dos etapas, una en  t=t_n y otra en t=t_n + \Delta t_n . ƒ(t,y(t)) en la primera etapa es:

 f_n=k_1 = f(t_n, y_n) \,

Para estimar ƒ(t,y) en t=t_n + \Delta t_n se usa un esquema Euler

 f_{n+1}=k_2=f( t_n + \Delta t_n\, , y_n+\Delta t_n k_1 ). \,

Con estos valores de ƒ, se sustituyen en la ecuación

 y_{n+1} = y_n + \int_{t_n}^{t_{n+1}} f(t,y(t))\,dt,

de manera que se obtiene la expresión:

y_{n+1}=y_{n} + {{\Delta t_n}\over 2} (k_1 + k_2).

Los coeficientes propios de este esquema son:  b_1=b_2=1/2; a_{21}=1; c_2=1.

Variantes[editar]

Existen variantes del método de Runge-Kutta clásico, también llamado Runge-Kutta explícito, tales como la versión implícita del procedimiento o las parejas de métodos Runge-Kutta (o métodos Runge-Kutta-Fehlberg).

Este último consiste en ir aproximando la solución de la ecuación mediante dos algoritmos Runge-Kutta de órdenes diferentes, para así mantener el error acotado y hacer una buena elección de paso.

Métodos de Runge-Kutta[editar]

El método de Runge-Kutta no es sólo un único método, sino una importante familia de métodos iterativos, tanto implícitos como explícitos, para aproximar las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.O´s); estas técnicas fueron desarrolladas alrededor de 1900 por los matemáticos alemanes Carl David Tolmé Runge y Martin Wilhelm Kutta.

Métodos de Runge-Kutta de cuarto orden[editar]

Un miembro de la familia de los métodos Runge-Kutta es usado tan comúnmente que a menudo es referenciado como «RK4» o como «el método Runge-Kutta».

Definiendo un problema de valor inicial como:

 y' = f(x, y), \quad y(x_0) = y_0

Entonces el método RK4 para este problema está dado por la siguiente ecuación:

y_{i+1} = y_i + {1 \over 6}h\left ( k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4 \right )

Donde


\begin{cases}
 k_1 & =  f \left( x_i, y_i \right) \\
 k_2 & =  f \left( x_i + {1 \over 2}h, y_i + {1 \over 2}k_1 h \right) \\
 k_3 & =  f \left( x_i + {1 \over 2}h, y_i + {1 \over 2}k_2 h \right) \\
 k_4 & =  f \left( x_i + h, y_i + k_3h \right) \\
\end{cases}


Así, el siguiente valor (yn+1) es determinado por el presente valor (yn) más el producto del tamaño del intervalo (h) por una pendiente estimada. La pendiente es un promedio ponderado de pendientes, donde k_1 es la pendiente al principio del intervalo, k_2 es la pendiente en el punto medio del intervalo, usando k_1 para determinar el valor de y en el punto \scriptstyle x_n + \frac{h}{2} usando el método de Euler. k_3 es otra vez la pendiente del punto medio, pero ahora usando k_2 para determinar el valor de y; k_4 es la pendiente al final del intervalo, con el valor de y determinado por k_3. Promediando las cuatro pendientes, se le asigna mayor peso a las pendientes en el punto medio:

 \mbox{pendiente} = \frac{k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4}{6}.

Esta forma del método de Runge-Kutta, es un método de cuarto orden lo cual significa que el error por paso es del orden de O(h^5), mientras que el error total acumulado tiene el orden O(h^4). Por lo tanto, la convergencia del método es del orden de O(h^4), razón por la cual es usado en los métodos computacionales.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  • Ascher, Uri M.; Petzold, Linda Ruth (1998). Computer methods for ordinary differential equations and differential-algebraic equations (en inglés) (1ª edición). Philadelphia (USA): SIAM. ISBN 0898714125. 
  • Richard L. Burden, J. Douglas Faires (2001). 7, ed. Análisis Numérico. Cengage Learning Latin America. ISBN 9706861343. 

Enlaces externos[editar]