Ecuación diferencial exacta

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En matemáticas, una ecuación diferencial exacta es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden que presenta la forma:

M(x, y)\, dx + N(x, y)\, dy = 0, \,\!

donde las derivadas parciales de las funciones M y N: \frac{\partial M}{\partial y} \,\! y \frac{\partial N}{\partial x} \,\! son iguales. Esto es equivalente a decir que existe una función  F(x,y) tal que:

dF(x,y)=\frac{\partial F}{\partial x}dx+\frac{\partial F}{\partial y}dy \,\!

donde \frac{\partial F}{\partial x}=M(x,y)\,\! y \frac{\partial F}{\partial y}=N(x,y)\,\!.

Dado que  F(x,y) es una función diferenciable, entonces, por el teorema de Clairaut, sus derivadas cruzadas deben ser iguales. Esto significa que:

\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}= \frac{\partial^2 F}{\partial x \partial y} \,\!.

Método de resolución.[editar]

Para resolver una ecuación diferencial de este tipo, se ha de seguir los siguientes pasos:

  • Comprobar la exactitud de la ecuación, esto es, verificar si las derivadas parciales de M (con respecto a y) y de N (con respecto a x) son iguales.
  • Se integra M o N a conveniencia (M respecto a x o N respecto a y) obteniéndose de este modo la solución general de la ecuación aunque con una función incógnita g que aparece como constante de integración. Esto es:
F(x,y) = \int M\,dx + g(y) = \int N\,dy + g(x) \,\!
  • Para despejar la función g se deriva F(x,y)\,\! con respecto a la variable independiente de g.
  • Se iguala g' con M o N (si se integró M se iguala a N y viceversa.), despejando y luego integrando con respecto a la variable dependiente de g; de este modo se encontrará la función g.
  • Finalmente se reemplaza el g encontrado en la solución general F(x,y)\,\!.

Factor integrante.[editar]

Si una ecuación diferencial no es exacta, podría llegar a serlo si se multiplica por una función especial \mu(x,y)\,\! llamada factor integrante, tal que:

\mu(x,y) M(x, y)\, dx + \mu(x,y) N(x, y)\, dy = 0 \,\! sea exacta.

Cabe destacar que bajo ciertas condiciones el factor integrante siempre existe, pero sólo para algunas formas de ecuaciones diferenciales es posible encontrarlo fácilmente:

Factor integrante solo en función de x.[editar]

Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a x (es decir, \mu(x)\,\!), entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente:

\mu (x) = e^{\int \frac{M_{y}-N_{x}}{N}\, dx} \,\!

Cabe decir que para que  \mu(x) exista, es condición necesaria y suficiente que el miembro  \frac{M_{y}-N_{x}}{N} tiene que ser función únicamente de x. (Aclarando que  M_y y  N_x equivalen a las parciales de estas;  \frac{\partial{M}}{\partial{y}} y  \frac{\partial{N}}{\partial{x}} respectivamente).

Factor integrante solo en función de y.[editar]

Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a y (es decir, \mu(y)\,\!), entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente:

\mu (y) = e^{\int \frac{N_{x}-M_{y}}{M}\, dy} \,\!

Factor integrante solo en función de x+y.[editar]

Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a x+y (es decir, \mu(x+y)\,\!), entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente:

\mu (x+y) = e^{\int \frac{N_{x}-M_{y}}{M-N}\, dz} \,\! Con z=x+y

Factor integrante solo en función de x·y.[editar]

Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a x·y (es decir, \mu({x}{y})\,\!), entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente:

\mu (xy) = e^{\int \frac{M_{y}-N_{x}}{N*y-M*x}\, dz} \,\! Con z=x\cdot y

Donde M*x = M·x

Cabe mencionar que:

M_{y} = \frac{\partial M}{\partial y}, N_{x} = \frac{\partial N}{\partial x}\,\!

Bibliografía[editar]

  • Tom M. Apostol (1979): Análisis matemático. ISBN 84-291-5004-8.
  • Zill, Dennis G. (2006): Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado. Octava edición. Thomson Learning Iberoamericana. México D.F., México. ISBN 970-686-487-3.
  • Olivos, Elena; Mansilla, Angélica (2005): Ecuaciones Diferenciales, 100 Problemas Resueltos. Primera Edición. Editorial Universidad de La Frontera. Temuco, Chile.

Véase también.[editar]