Ecuación diferencial de Clairaut

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Soluciones generales de la ecuación de Clairaut en que f(p)=p^2
Soluciones generales de la ecuación de Clairaut en quef(p)=p^3

La ecuación diferencial de Clairaut, así llamada en honor a su inventor, el matemático[1] francés Alexis-Claude Clairaut, es una ecuación diferencial ordinaria de la forma:

y(x)=x\frac{dy}{dx}+f\left(\frac{dy}{dx}\right).

Para resolver la ecuación, se diferencia respecto a x,[2] quedando:

\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dx}+x\frac{d^2 y}{dx^2}+f'\left(\frac{dy}{dx}\right)\frac{d^2 y}{dx^2},

por tanto:

0=\left(x+f'\left(\frac{dy}{dx}\right)\right)\frac{d^2 y}{dx^2}.

y así:

0=\frac{d^2 y}{dx^2}

ó

0=x+f'\left(\frac{dy}{dx}\right).

En el primer caso, C = dy/dx para cualquier constante arbitraria C. Sustituyéndolo en la ecuación de Clairaut, se tiene la familia de ecuaciones dadas por:

y(x)=Cx+f(C),\,

llamadas soluciones generales de la ecuación de Clairaut.

El otro caso,

0=x+f'\left(\frac{dy}{dx}\right),

define sólo una solución y(x), llamada solución singular, cuyo gráfico es envolvente de las gráficas de las soluciones generales. La solución singular se representa normalmente usando notación paramétrica, como: (x(p), y(p)), donde p representa dy/dx.


Ejemplo[editar]

Resolver:

xy'''+(y''')^2=y''.\,

Se hace:

y'' = p,\,

por tanto:

xp' + (p')^2 = p,\,

obteniendo la ecuación de Clairaut, cuya solución es:

p = y'' = Cx + C^2,\,

de la cual se puede obtener y integrando dos veces, así:

{{ecuación|y = \int\int y''\,dx dx = \int\int (Cx+C^2)\,dx dx = \int (\frac{Cx^2}{2}+C^2x+D)\,dx = \frac{Cx^3}{6}+\frac{C^2x^2}{2}+Dx+E,\,

siendo D y E otras dos constantes cualquiera.

Solución:

y = \frac{Cx^3}{6}+\frac{C^2x^2}{2}+Dx+E.

Notas y referencias[editar]

  1. "ecuaciones diferenciales aplicaciones" (sic) (Spiegel, Murray R. ISBN 0-13-234997-053-8, p. 60 .
  2. Se considera que f(y') define una función diferenciable de y'; Ibídem

Enlaces externos[editar]