Ecuación de segundo grado

Los puntos comunes de una parábola con el eje X (recta y = 0), las raíces, son las soluciones reales de la ecuación cuadrática.

Una ecuación de segundo grado​​ o ecuación cuadrática de una variable es una ecuación que tiene la forma de una suma algebraica de términos cuyo grado máximo es dos, es decir, una ecuación cuadrática puede ser representada por un polinomio de segundo grado o polinomio cuadrático. La expresión canónica general de una ecuación cuadrática de una variable es:

$ax^{2}+bx+c=0,\quad {\mbox{para}}\;a\neq 0$

donde x representa la variable y a, b y c son constantes; a es el coeficiente cuadrático (distinto de 0), b el coeficiente lineal y c es el término independiente. Este polinomio se puede representar mediante una gráfica de una función cuadrática o parábola. Esta representación gráfica es útil, porque la intersección de esta gráfica con el eje horizontal coincide con las soluciones de la ecuación (y dado que pueden existir dos, una o ninguna intersección, esos pueden ser el número de soluciones reales de la ecuación).

Historia

El origen y la solución de las ecuaciones de segundo grado son de gran antigüedad. En Babilonia se conocieron algoritmos para resolverla.Fue encontrado independientemente en otros lugares del mundo. En Grecia, el matemático Diofanto de Alejandría aportó un procedimiento para resolver este tipo de ecuaciones (aunque su método sólo proporcionaba una de las soluciones, incluso en el caso de que las dos soluciones sean positivas). La primera solución completa la desarrolló el matemático Al-Juarismi (o Al-Khwarizmi según otras grafías), en el siglo IX en su trabajo Compendio de cálculo por reintegración y comparación, cerrando con ello un problema que se había perseguido durante siglos. Basándose en el trabajo de Al-Juarismi, el matemático judeoespañol Abraham bar Hiyya, en su Liber embadorum, discute la solución de estas ecuaciones. Hay que esperar a Évariste Galois para conseguir resolver en general las ecuaciones polinómicas, o saber cuándo son irresolubes por radicales, que viene a ser una generalización de los métodos de resolución de las ecuaciones de segundo grado.

Fórmula cuadrática

Para una ecuación cuadrática con coeficientes reales o complejos existen siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas (si los coeficientes son reales y existen dos soluciones no reales, entonces deben ser complejas conjugadas). Fórmula general para la obtención de raíces:

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

Se usa ± para indicar las dos soluciones:

$x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

y

$\ x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

Deducción de la solución

La deducción de la fórmula cuadrática viene de la fórmula de completar el cuadrado: La ecuación canónica de segundo grado se puede simplificar dividiendo por el coeficiente principal, de forma que $ax^{2}+bx+c=0\ \Leftrightarrow \ x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0$ Si usamos otras letras para simplificarlo de forma que $m={\frac {b}{a}}$ y $n={\frac {c}{a}}$ la demostración (que es algo más sencilla) queda como sigue: Desde la ecuación $x^{2}+mx+n=0\,$ Aislando n $x^{2}+mx=-n\,$ Sumando ${\frac {m^{2}}{4}}$ a ambos términos $x^{2}+mx+{\frac {m^{2}}{4}}={\frac {m^{2}}{4}}-n$ Simplificamos el primer término a un binomio cuadrado $\left(x+{\frac {m}{2}}\right)^{2}={\frac {m^{2}}{4}}-n$ Extrayendo la raíz cuadrada a los dos miembros $x+{\frac {m}{2}}=\pm {\sqrt {{\frac {m^{2}}{4}}-n}}$ Aislando $x\,$ y simplificando la fracción de la raíz $x={\frac {-m}{2}}\pm {\sqrt {\frac {m^{2}-4n}{4}}}$ Simplificando a común denominador $x={\frac {-m\pm {\sqrt {m^{2}-4n}}}{2}}$ si deshacemos el cambio de variables, obtenemos el resultado $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ La demostración sin cambio de variables se puede ver aquí: Partimos de nuestra ecuación simplificada: $x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0$ Pasamos al otro término ${\frac {c}{a}}$: $x^{2}+{\frac {b}{a}}x=-{\frac {c}{a}}$ Sumamos ${\frac {b^{2}}{4a^{2}}}$ para obtener un binomio desarrollado: $x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}$ El trinomio a la izquierda es un cuadrado perfecto; simplificando a común denominador el segundo miembro: $\,\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}$ Extrayendo las 2 posibles raíces cuadradas, obtenemos: $x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}$ Moviendo ${\frac {b}{2a}}$ y aplicando la raíz al denominador: $x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}$ Simplificando a común denominador: $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

Discriminante

Ejemplo del signo del discriminante:
■ $\Delta <0$: sin soluciones reales
■ $\Delta =0$: una solución real (multiplicidad 2)
■ $\Delta >0$: dos soluciones reales distintas.

En la fórmula anterior, la expresión dentro de la raíz cuadrada recibe el nombre de discriminante de la ecuación cuadrática. Suele representarse con la letra D o bien con el símbolo Δ (delta):

$\Delta =b^{2}-4ac.\,$

Una ecuación cuadrática con coeficientes reales tiene o bien dos soluciones reales distintas o una sola solución real de multiplicidad 2, o bien dos raíces complejas. El discriminante determina la índole y la cantidad de raíces.

• Si $\Delta >0$ hay dos soluciones reales y diferentes (la parábola cruza dos veces el eje de las abscisas: X):

${\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\quad {\text{y}}\quad {\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}$.

• Si $\Delta =0$ hay una solución real doble (la parábola sólo toca en un punto al eje de las abscisas: X):

$-{\frac {b}{2a}}.\,\!$

• Si $\Delta <0$ hay dos soluciones complejas conjugadas (la parábola no corta al eje de las abscisas: X):

${\frac {-b}{2a}}+i{\frac {\sqrt {-\Delta }}{2a}},\quad {\text{y}}\quad {\frac {-b}{2a}}-i{\frac {\sqrt {-\Delta }}{2a}},$

donde i es la unidad imaginaria.

Ecuación bicuadrática

Éstas son un caso particular de la ecuación de cuarto grado. Les faltan los términos a la tercera y a la primera potencia. Su forma polinómica es:

$ax^{4}+{bx^{2}}^{}+c=0$

Para resolver estas ecuaciones tan solo hay que hacer el cambio de variable ${x^{2}}^{}=u$
Con lo que nos queda: ${au^{2}}^{}+bu+c=0$ El resultado resulta ser una ecuación de segundo grado que podemos resolver usando la fórmula:

$u={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

Al deshacer el cambio de variable aparecen las cuatro soluciones:

$x_{1}=+{\sqrt {u_{1}}}$

$x_{2}=-{\sqrt {u_{1}}}$

$x_{3}=+{\sqrt {u_{2}}}$

$x_{4}=-{\sqrt {u_{2}}}$

Clasificación

La ecuación de segundo grado se clasifica de la forma siguiente:^{[cita requerida]}

1. Completa. Es la forma canónica:

$ax^{2}+bx+c=0\,$

donde los tres literales: a, b y c, son distintos de cero.

2. Incompleta pura. Puede expresarse de las dos maneras siguientes:

$ax^{2}+c=0\,$

donde los valores de a y de c son distintos de cero. Se resuelve despejando x.

Una ecuación cuadrática incompleta:

$ax^{2}=0\,$

con a distinto de cero. Su única solución de multiplicidad dos es x = 0.

3. Incompleta mixta. Se expresa como:

$ax^{2}+bx=0\,$

donde los valores de a y de b son distintos de cero. Se resuelve por factorización de x. Siempre su solución es la trivial x₁ = 0. En números imaginarios no hay solución.

Teorema de Cardano-Viète

Partiendo de que tenemos una ecuación cuadrática con raíces $x_{1},x_{2}\,$, podemos construir el binomio a partir de estas con

$(x-x_{1})\cdot (x-x_{2})=0\,$

$x^{2}-(x_{1}+x_{2})x+x_{1}x_{2}=0\,$

$ax^{2}-a(x_{1}+x_{2})x+ax_{1}x_{2}=0\,$

$ax^{2}+bx+c=0\,$

De lo que se deduce:

Suma de raíces

$x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}\,$

Demostración a partir de Cardano-Viète Partiendo de igualar los términos del mismo grado $-a(x_{1}+x_{2})x=bx\,$ Se despeja la suma y se divide por x $(x_{1}+x_{2})=-{\frac {b}{a}}\,$ Demostración usando la solución general Partiendo del uso de la fórmula resolvente $x_{1}+x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}+{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,$ Se suman los numeradores. Las raíces desaparecen, por ser opuestas $x_{1}+x_{2}={\frac {-2b}{2a}}\,$ Simplificando, queda: $x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}\,$

Producto de raíces

$x_{1}\cdot x_{2}={\frac {c}{a}}\,$

Demostración a partir de Cardano-Viète Partiendo de igualar los términos del mismo grado $ax_{1}x_{2}=c\,$ Se despeja el producto de raíces $x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}\,$ Demostración usando la solución general Partiendo del uso de la fórmula resolvente $x_{1}\cdot x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\cdot {\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,$ Realizando la multiplicación, por medio del producto de binomios conjugados en el numerador: $x_{1}\cdot x_{2}={\frac {(-b)^{2}-({\sqrt {b^{2}-4ac}})^{2}}{(2a)^{2}}}\,$ Resolviendo las potencias, resulta: $x_{1}\cdot x_{2}={\frac {b^{2}-(b^{2}-4ac)}{4a^{2}}}\,$ Distribuyendo el signo «menos» y sumando en el numerador $x_{1}\cdot x_{2}={\frac {4ac}{4a^{2}}}\,$ Simplificando, queda $x_{1}\cdot x_{2}={\frac {c}{a}}\,$

Observación:

$(x_{1}+x_{2})^{2}-(x_{1}-x_{2})^{2}=4(x_{1}\cdot x_{2})\,$

Desarrollando los binomios $x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}-(x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2})\,$ Donde finalmente queda $4x_{1}x_{2}\,$

Véase también

• Completar el cuadrado
• Función cuadrática
• Ecuación de tercer grado
• Ecuación de cuarto grado
• Ecuación de quinto grado

Referencias

Enlaces externos

• Wikilibros alberga un libro o manual sobre Ecuación cuadrática.
• Ecuaciones cuadráticas. Disfruta las matemáticas, Pierce, Rod.
• La ecuación de segundo grado, en descartes.cnice.mec.es
• Vídeo explicativo de la ecuación cuadrática
• Calculadora Ecuación de segundo grado