Distribución logística

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Distribución logística
Standard logistic PDF
Función de densidad de probabilidad
Standard logistic CDF
Función de distribución de probabilidad
Parámetros \mu\, location (real)
s>0\, scale (real)
Dominio x \in (-\infty; +\infty)\!
Función de densidad (pdf) \frac{e^{-(x-\mu)/s}} {s\left(1+e^{-(x-\mu)/s}\right)^2}\!
Función de distribución (cdf) \frac{1}{1+e^{-(x-\mu)/s}}\!
Media \mu\,
Mediana \mu\,
Moda \mu\,
Varianza \frac{\pi^2}{3} s^2\!
Coeficiente de simetría 0\,
Curtosis 6/5\,
Entropía \ln(s)+2\,
Función generadora de momentos (mgf) e^{\mu\,t}\,\mathrm{B}(1-s\,t,\;1+s\,t)\!
for |s\,t|<1\!, Beta function
Función característica e^{i \mu t}\,\mathrm{B}(1-ist,\;1+ist)\,
for |ist|<1\,
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En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución logística es una distribución de probabilidad continua cuya función de distribución es la función logística, que aparece en el contexto de la regresión logística y determinados tipos de redes neuronales. Se parece a la distribución normal en su forma, pero tiene colas más pesadas (y, por lo tanto, menor curtosis).

Especificación[editar]

Función de distribución[editar]

La distribución logística recibe su nombre de su función de distribución, que pertenece a la familia de las funciones logísticas:

F(x; \mu,s) = \frac{1}{1+e^{-(x-\mu)/s}} \!
= \frac12 + \frac12 \;\operatorname{tanh}\!\left(\frac{x-\mu}{2\,s}\right).

Función de densidad[editar]

Su función de densidad es:

f(x; \mu,s) = \frac{e^{-(x-\mu)/s}} {s\left(1+e^{-(x-\mu)/s}\right)^2} \!
=\frac{1}{4\,s} \;\operatorname{sech}^2\!\left(\frac{x-\mu}{2\,s}\right).

Nótese que puede expresarse en función del cuadrado de la secante hiperbólica "sech".

Si se realiza la sustitución \sigma^2 = \pi^2\,s^2/3, la función de densidad queda de la forma:

g(x;\mu,\sigma) = f(x;\mu,\sigma\sqrt{3}/\pi) = \frac{\pi}{\sigma\,4\sqrt{3}} \,\operatorname{sech}^2\!\left(\frac{\pi}{2 \sqrt{3}} \,\frac{x-\mu}{\sigma}\right).

Función de distribución inversa[editar]

La inversa función de distribución de la distribución logística es una generalización de la función logit:

F^{-1}(p; \mu,s) = \mu + s\,\ln\left(\frac{p}{1-p}\right).

Aplicaciones[editar]

La distribución logística ha sido usada extensamente en áreas como:

? Biología: para describir cómo se comportan las especies en entornos competitivos[1]

? Epidemiología - para describir la propagación de epidemias[2]

? Sicología - para describir el proceso de aprendizaje[3]

? Tecnología - para describir cómo las tecnologías se popularizan y compiten entre sí[4]

? Márketing - para estudiar la difusión de nuevos productos[5]

? Energía - para estudiar la difusión y sustitución de unas fuentes de energía primarias por otras[6]

El cálculo del elo en ajedrez utiliza actualmente la distribución logística en lugar de la normal con la que fue diseñado originalmente.

Distribuciones relacionadas[editar]

Si log(X) sigue la distribución logística, entonces X sigue la distribución log-logística y X - a la distribución log-logística desplazada.

Demostraciones[editar]

Media[editar]

E[X]=\int_{-\infty}^{\infty} {\frac{xe^{-(x-\mu)/s}} {s\left(1+e^{-(x-\mu)/s}\right)^2}} \! dx = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{4\,s} \;\operatorname{sech}^2\!\left(\frac{x-\mu}{2\,s}\right)dx


Substituyendo: u=\frac{(x-\mu)}{2s}, du=\frac{1}{2s} dx


E[X]=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{2\,s\,u+\mu}{2} \;\operatorname{sech}^2\!\left(u\right)du
E[X]=s\int_{-\infty}^{\infty} u \;\operatorname{sech}^2\!\left(u\right)du + \frac{\mu}{2} \int_{-\infty}^{\infty} \;\operatorname{sech}^2\!\left(u\right)du
Nótese que para la función impar: \int_{-\infty}^{\infty} u \;\operatorname{sech}^2\!\left(u\right)du = 0
E[X]=\frac{\mu}{2} \int_{-\infty}^{\infty} \;\operatorname{sech}^2\!\left(u\right)du = \frac{\mu}{2}\,2 = \mu

Momentos de orden superior[editar]

El n-ésimo momento central puede expresarse así en función de la función de probabilidad inversa:

\begin{align}
    \operatorname{E}[(X-\mu)^n] 
      &= \int_{-\infty}^\infty (x-\mu)^n dF(x) = \int_0^1 \big(F^{-1}(p)-\mu\big)^n dp \\
      &= s^n \int_0^1 \ln^n\!\Big(\frac{p}{1-p}\Big)\, dp. 
  \end{align}

Esta integral es bien conocida[7] y puede expresarse en función de los números de Bernouilli:


    \operatorname{E}[(X-\mu)^n] = s^n\pi^n(2^n-2)\cdot|B_n|.


Véase también[editar]

Notas[editar]

  1. P. F. Verhulst, "Recherches mathématiques sur la loi d'accroissement de la population", Nouveaux Mémoirs de l'Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres de Bruxelles, vol. 18 (1845); Alfred J. Lotka, Elements of Physical Biology, (Baltimore, MD: Williams & Wilkins Co., 1925).
  2. Theodore Modis, Predictions: Society's Telltale Signature Reveals the Past y Forecasts the Future, Simon & Schuster, New York, 1992, pp 97-105.
  3. Theodore Modis, Predictions: Society's Telltale Signature Reveals the Past y Forecasts the Future, Simon & Schuster, New York, 1992, Chapter 2.
  4. J. C. Fisher y R. H. Pry , "A Simple Substitution Model of Technological Change", Technological Forecasting & Social Change, vol. 3, no. 1 (1971).
  5. Theodore Modis, Conquering Uncertainty, McGraw-Hill, New York, 1998, Chapter 1.
  6. Cesare Marchetti, "Primary Energy Substitution Models: On the Interaction between Energy y Society", Technological Forecasting & Social Change, vol. 10, (1977).
  7. (sucesión A001896 en OEIS)

Referencias[editar]

  • N., Balakrishnan (1992). Handbook of the Logistic Distribution. Marcel Dekker, New York. ISBN 0-8247-8587-8. 
  • Johnson, N. L., Kotz, S., Balakrishnan N. (1995). Continuous Univariate Distributions. Vol. 2 (2nd Ed. edición). ISBN 0-471-58494-0.