Seno (trigonometría)

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Representación gráfica.

En trigonometría el seno de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa:

 \sin\ \alpha=\frac{a}{c}

O también como la ordenada correspondiente a un punto que pertenece a una circunferencia unitaria centrada en el origen (c=1):

 \sin\ \alpha=a \,

En matemáticas el seno es la función continua y periódica obtenida al hacer variar la razón mencionada, siendo una de las funciones trascendentes. La abreviatura \sin(\cdot) proviene del latín sĭnus.

Etimología[editar]

El astrónomo y matemático hindú Aria Bhatta (476550 d. C.) estudió el concepto de «seno» con el nombre de ardhá-jya,[1] siendo ardhá: ‘mitad, medio’, y jya: ‘cuerda’). Cuando los escritores árabes tradujeron estas obras científicas al árabe, se referían a este término sánscrito como jiba . Sin embargo, en el árabe escrito se omiten las vocales, por lo que el término quedó abreviado jb. Escritores posteriores que no sabían el origen extranjero de la palabra creyeron que jb era la abreviatura de jiab (que quiere decir ‘bahía’).

A finales del siglo XII, el traductor italiano Gherardo de Cremona (1114-1187) tradujo estos escritos del árabe al latín reemplazó el insensato jiab por su contraparte latina sinus (‘hueco, cavidad, bahía’). Luego, ese sinus se convirtió en el español «seno».[2]

Según otra explicación,[cita requerida] la cuerda de un círculo, se denomina en latín inscripta corda o simplemente inscripta. La mitad de dicha cuerda se llama semis inscríptae. Su abreviatura era s. ins., que terminó simplificada como sins. Para asemejarla a una palabra conocida del latín se la denominó sinus.

Relaciones trigonométricas[editar]

El seno puede relacionarse con otras funciones trigonométricas mediante el uso de identidades trigonométricas.

Relación entre el seno y el coseno[editar]

La curva del coseno es la curva del seno desplazada un cuadrante a la izquierda, por lo que puede deducirse el coseno con la siguiente expresión:

 \sin x=\cos\left(x- \frac{\pi}{2}\right)

Seno de la suma de dos ángulos[editar]

Esta identidad trigonometrica se define a partir del coseno de la diferencia de dos ángulos


   \forall\ \theta,\phi \in \mathbb{R}
  • Se sabe que las funciones trigonométricas de un ángulo son iguales a las cofunciones del ángulo complementario, es decir

   \sin
   \left (
      \phi+\theta
   \right) =
   \cos
   \left [
      \frac{\pi}{2}-(\phi + \theta)
   \right]
  • El lado derecho de esta ecuación se distribuye de manera distinta:

   \sin
   \left (
      \phi+\theta
   \right) =
   \cos
   \left [
      \left (
         \frac{\pi}{2}-\phi
      \right )
      -\theta
   \right ]
  • Se aplica la identidad trigonométrica del coseno de la diferencia de dos ángulos, entonces

   \sin
   \left (
      \phi+\theta
   \right ) =
   \cos
   \left (
      \frac{\pi}{2}-\phi
   \right )\cos\theta+
   \sin
   \left (
      \frac{\pi}{2}-\phi
   \right )
   \sin\theta
  • Volviendo a aplicar la propiedad de la funciones trigonométricas del ángulo complementario, queda

   \sin
   \left (
      \phi+\theta
   \right) =
   \sin\phi\cos\theta+\cos\phi\sin\theta

Seno de la diferencia de dos ángulos[editar]

\sin\left(\phi+(-\theta\right))=\sin\phi\cos(-\theta)+\cos\phi\sin(-\theta)
  • obtenemos la resta. Como el coseno es par, el signo no importa y como el seno es impar, el signo sale.
\sin\left(\phi-\theta\right)=\sin\phi\cos\theta-\cos\phi\sin\theta

Forma resumida[editar]

\sin\left(\phi\pm\theta\right)=\sin\phi\cos\theta\pm\cos\phi\sin\theta

Seno de un ángulo doble[editar]

Tenemos que:

\sin\left(\phi+\theta\right)=\sin\phi\cos\theta+\cos\phi\sin\theta

Hagamos \phi=\theta\, entonces:

\sin\left(2\phi\right)=2\sin\phi\cos\phi

Seno en análisis matemático[editar]

Derivada del seno[editar]

f'(x)=\lim_{h\rightarrow0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}
  • por lo que:
\sin'x=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\sin(x + h)-\sin x}{h}
  • Usando la fórmula del seno de la suma de dos ángulos, desarrollamos así:
\sin'x=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\sin x\cdot\cos h+\cos x\cdot\sin h-\sin x}{h}
  • Factorizando:
\sin'x=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\sin x\cdot(\cos h-1)+\cos x\cdot\sin h}{h}
  • Distribuyendo el límite en una suma de funciones, se tiene
\sin'x=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\sin x\cdot(\cos h - 1)}{h}+\lim_{h\rightarrow0}\frac{\cos x\cdot\sin h}{h} =
= \sin x \cdot \lim_{h\rightarrow0}\frac{(\cos h-1)}{h} + \cos x\cdot \lim_{h\rightarrow0}\frac{\sin h}{h}
  • Por un lado:
\lim_{h\rightarrow0}\frac{\cos h-1}{h}=0


Esto es así ya que

\cos\theta-\cos\phi=-2\sin\Bigg(\frac{\theta+\phi}{2}\Bigg)\sin\Bigg(\frac{\theta-\phi}{2}\Bigg)

y reemplazando con \theta = h , \phi = 0 tenemos que:

 \cos h - 1 =   -2\sin\Bigg(\frac{h}{2}\Bigg)\sin\Bigg(\frac{h}{2}\Bigg)
-2\sin^2\Bigg(\frac{h}{2}\Bigg)

de modo que:

\lim_{h\rightarrow0}\frac{\cos h-1}{h} = \lim_{h\rightarrow0}-2\sin^2\Bigg(\frac{h}{2}\Bigg) = -2\sin^2\Bigg(\frac{0}{2}\Bigg) = 0

Otra manera de ver lo mismo es utilizar la fórmula del coseno del doble de un ángulo, para el ángulo h/2, y el hecho de que cos2 + sin2 = 1; así:

cos h - 1 = [ cos2 (h/2) - sin2 (h/2) ] - [ cos2 (h/2) + sin2 (h/2) ] = -2·sin2(h/2)
  • Por otro lado, utilizamos el límite conocido:
\lim_{h\rightarrow0}\frac{\sin h}{h}=1
  • Utilizando los últimos dos resultados, finalmente, obtenemos que la derivada de la función seno es la función coseno:
\sin'x=\cos x\,

Como serie de Taylor[editar]

El seno como Serie de Taylor en torno a x = 0 es:


   \sin x = x
   - \frac{x^3}{3!}
   + \frac{x^5}{5!}
   - \frac{x^7}{7!}
   + \cdots
  + (-1)^n \; \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}

   \sin x =
   \sum^{\infin}_{n=0} \; (-1)^n \; \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}

Con números complejos[editar]

También se puede definir de la forma:

 {\sin}\ z=\frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}

Donde e es la base del logaritmo natural, e i es la unidad de los números imaginarios.

El seno en programación[editar]

Normalmente todos los lenguajes de programación proveen una función seno. También es lo normal en todos los lenguajes que el ángulo que recibe la función deba pasarse en radianes.

Esto es importante tenerlo en cuenta ya que si no podrían derivarse errores por este concepto. Del mismo modo las calculadoras suelen aceptar el valor en grados o radianes, siendo necesario para ello (realizar dicho cálculo correctamente) activar un botón selector del tipo de grados (sexagesimales, centesimales o radianes) que se desea usar.

 ejemplos:
    seno de 45 grados   = 0,7071
    seno de 45 radianes = 0,8509

Obsérvese como la escasa diferencia entre ambos valores resultantes podría pasar desapercibida. Es necesario, por tanto, cuando sea conveniente pasar los grados a radianes o viceversa. Nótese que el símbolo π es el número π

 Rad = Deg * π/180
 Deg = Rad * 180/π

Representación gráfica[editar]

Grafico seno.gif

FunTriR100.svg

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. En el sitio Centros5.Pntic.Mec.es se refieren erróneamente a yia como 'yivá, que no significa ‘cuerda’ sino ‘ser vivo’.
  2. Howard Eves (1990). An Introduction to the History of Mathematics (6th Edition, p.237). Saunders College Publishing House, New York. 

Enlaces externos[editar]