Función hiperbólica

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Las funciones hiperbólicas son unas funciones cuyas definiciones se basan en la función exponencial, conectando mediante operaciones racionales y son análogas a las funciones trigonométricas.[1] Estas son:

Curvas de la funciones hiperbólicas sinh, cosh y tanh
Curvas de las funciones hiperbólicas csch, sech y coth

El seno hiperbólico

El coseno hiperbólico

La tangente hiperbólica

y otras líneas:

(cotangente hiperbólica)
(secante hiperbólica)
(cosecante hiperbólica)

Relación entre funciones hiperbólicas y funciones circulares[editar]

Las funciones trigonométricas sin(t) y cos(t) pueden ser las coordenadas cartesianas (x,y) de un punto P sobre la circunferencia unitaria centrada en el origen, donde es t el ángulo, medido en radianes, comprendido entre el semieje positivo X, y el segmento OP, según las siguientes igualdades:

También puede interpretarse el parámetro t como la longitud del arco de circunferencia unitaria comprendido entre el punto (1,0) y el punto P, o como el doble del área del sector circular determinado por el semieje positivo X, el segmento OP y la circunferencia unitaria.

Animación de la representación del seno hiperbólico.

De modo análogo, podemos definir las funciones hiperbólicas, como las coordenadas cartesianas (x,y) de un punto P de la hipérbola equilátera, centrada en el origen, cuya ecuación es

siendo t el doble del área de la región comprendida entre el semieje positivo X, y el segmento OP y la hipérbola, según las siguientes igualdades:

Sin embargo, también puede demostrarse que es válida la siguiente descripción de la hipérbola:

dado que

De modo que el coseno hiperbólico y el seno hiperbólico admiten una representación en términos de funciones exponenciales de variable real:

Relaciones[editar]

Ecuación fundamental[editar]

Duplicación del argumento[editar]

Tenemos las siguientes fórmulas[2] muy similares a sus correspondientes trigonométricas

que nos lleva a la siguiente relación:

y por otra parte

que nos lleva a:

se tiene esta otra relación

que nos permite tener

Derivación e integración[editar]

Además la integración al ser la operación inversa de la derivación es trivial en este caso.

La derivada de sinh(x) está dada por cosh(x) y la derivada de cosh(x) es sinh(x). El gráfico de la función cosh(x) se denomina catenaria.

Inversas de las funciones hiperbólicas y derivadas[editar]

Las funciones recíprocas y derivadas de las funciones hiperbólicas son:[3] [4]

Series de Taylor[editar]

Las series de Taylor de las funciones inversas de las funciones hiperbólicas vienen dadas por:

Relación con la función exponencial[editar]

De la relación del coseno y seno hiperbólico se pueden derivar las siguientes relaciones:

y

Estas expresiones son análogas a las que están en términos de senos y cosenos, basadas en la fórmula de Euler, como suma de exponenciales complejos.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Cálculo de Granville
  2. Bronshtein, I y otro (1982). Manual de Matemáticas para Ingenieros y estudiantes. Mir. p. 696. 
  3. Purcell, Edwin J. y otro (1987). Cálculo con Geometría Analítica. Prenttice-Hall Hispanoamericana S.A. p. 868. ISBN 0-13-111807-2. 
  4. Wikipedia. «Hiperbolic» (en inglés).