Ecuación

En matemáticas, una ecuación es una igualdad​ entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud se haya establecido como resultado de otras operaciones. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar. Por ejemplo, en la ecuación:

$\overbrace {3x-1} ^{\text{primer miembro}}=\overbrace {9+x} ^{\text{segundo miembro}}$

la variable $x\,$ representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 1 y 9 son constantes conocidas. La igualdad planteada por una ecuación será cierta o falsa dependiendo de los valores numéricos que tomen ambos miembros; se puede afirmar entonces que una ecuación es una igualdad condicional, en la que solo ciertos valores de las variables la hacen cierta.

Se llama solución de una ecuación a cualquier valor individual de dichas variables que la satisfaga. Para el caso dado, la solución es:

$x=5\,$

Resolver una ecuación es encontrar su dominio solución, que es el conjunto de valores de las incógnitas para los cuales la igualdad se cumple. Todo problema matemático puede expresarse en forma de una o más ecuaciones; sin embargo no todas las ecuaciones tienen solución, ya que es posible que no exista ningún valor de la incógnita que haga cierta una igualdad dada. En ese caso, el conjunto de soluciones de la ecuación será vacío y decimos que la ecuación no es resoluble. De igual modo, puede tener un único valor, o varios, o incluso infinitos valores, siendo cada uno de ellos una solución particular de la ecuación. Si cualquier valor de la incógnita hace cumplir la igualdad (esto es, no existe ningún valor para el cual no se cumpla) la expresión se llama identidad.​

Historia

Siglos XVII-XVIII

En el siglo XVII Newton y Leibniz publican los primeros métodos de resolución de las ecuaciones diferenciales que aparecen en los problemas de la dinámica. Probablemente el primer libro sobre estas ecuaciones fue “Sobre las construcciones de ecuaciones diferenciales de primer grado” de Gabriele Manfredi (1707). Durante el siglo XVIII matemáticos ilustres como Leonhard Euler, Daniel Bernoulli, Joseph Lagrange y Pierre Laplace publican resultados sobre ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones en derivadas parciales.

Época moderna

A pesar de todos los esfuerzos de las épocas anteriores, las ecuaciones algebraicas de quinto grado y superiores se resistieron a ser resueltas; sólo se consiguió en casos particulares, pero no se encontraba una solución general. A principios del siglo XIX Niels Henrik Abel demostró que hay ecuaciones no resolubles; en particular mostró que no existe una fórmula general para resolver la ecuación de quinto grado; acto seguido Évariste Galois demostró, utilizando su teoría de grupos, que lo mismo puede afirmarse de toda ecuación de grado igual o superior a cinco.

Durante el siglo XIX las ciencias físicas utilizan en su formulación ecuaciones diferenciales en derivadas parciales y/o ecuaciones integrales, como es el caso de la electrodinámica de James Clerk Maxwell, la mecánica hamiltoniana o la mecánica de fluidos. El uso habitual de estas ecuaciones y de los métodos de solución lleva a la creación de una nueva especialidad, la Física Matemática.

Ya en el siglo XX la Física Matemática sigue ampliando su campo de acción; Schrödinger, Pauli y Dirac formulan ecuaciones diferenciales con funciones complejas para la mecánica cuántica. Einstein utiliza ecuaciones tensoriales para su Relatividad General. Las ecuaciones diferenciales tienen también un amplio campo de aplicación en teoría económica.

Debido a que la mayoría de ecuaciones que se presentan en la práctica son muy difíciles o incluso imposibles de resolver analíticamente, es habitual utilizar métodos numéricos para encontrar raíces aproximadas. El desarrollo de la informática posibilita actualmente resolver en tiempos razonables ecuaciones de miles e incluso millones de variables usando algoritmos numéricos.

Definición general

Dada una aplicación $f:A\rightarrow B$ y un elemento $b$ del conjunto $B$, resolver una ecuación consiste en encontrar todos los elementos $x\in A$ que verifican la expresión: $\displaystyle f(x)=b$. Al elemento $\textstyle x$ se le llama incógnita. Una solución de la ecuación es cualquier elemento $\textstyle a\in A$ que verifique $\textstyle f(a)=b$.

El estudio de las ecuaciones depende de las características de los conjuntos y la aplicación; por ejemplo, en el caso de las ecuaciones diferenciales, los elementos del conjunto $\textstyle A$ son funciones y la aplicación $\textstyle f$ debe incluir alguna de las derivadas del argumento. En las ecuaciones matriciales, la incógnita es una matriz.

La definición que hemos dado incluye las ecuaciones de la forma $\textstyle g(x)=h(x)$, pues, si $\textstyle B$ es un grupo basta con definir la aplicación $\textstyle f(x)=g(x)-h(x)$ y la ecuación se transforma en $\textstyle f(x)=0$.

Conjunto de soluciones

Dada la ecuación $\displaystyle f(x)=b$, el conjunto de soluciones de la ecuación viene dado por $\textstyle S=f^{-1}(b)$ , donde $\textstyle f^{-1}$ es la imagen inversa de $\textstyle f$. Si $\textstyle S$ es el conjunto vacío, la ecuación no tiene solución. Hay otras dos posibilidades: $\textstyle S$ puede tener un sólo elemento, en cuyo caso la ecuación tiene solución única; si $\textstyle S$ tiene más de un elemento, todos ellos son soluciones de la ecuación.

En la teoría de ecuaciones diferenciales, no se trata sólo de averiguar la expresión explícita de las soluciones, sino determinar si una ecuación determinada tiene solución y esta es única. Otro caso en los que se investiga la existencia y unicidad de soluciones es en los sistemas de ecuaciones lineales.

Casos particulares

Una ecuación diofántica es aquella cuya solución sólo puede ser un número entero, es decir, en este caso $\textstyle A\subseteq \mathbb {Z}$. Una ecuación funcional es aquella en la que algunas de las constantes y variables que intervienen no son realmente números sino funciones; y si en la ecuación aparece algún operador diferencial se llama ecuación diferencial. Cuando $\textstyle A$ es un cuerpo y $f$ un polinomio, hablamos de ecuación algebraica.

En un sistema de ecuaciones lineales, el conjunto $\textstyle A$ es un conjunto de vectores reales y la función es un operador lineal.

Existencia de soluciones

En muchos casos -por ejemplo en las ecuaciones diferenciales-, una de las cuestiones más importantes es determinar si existe alguna solución, es decir demostrar que el conjunto de soluciones no es el conjunto vacío. Uno de los métodos más corrientes para lograrlo consiste en aprovechar que el conjunto $A$ tiene alguna topología. No es el único: en los sistemas de ecuaciones reales, se recurre a técnicas algebraicas para averiguar si el sistema tiene solución. No obstante, el álgebra parece que carece de recursos siquiera para asegurar la existencia de soluciones en las ecuaciones algebraicas: para asegurar que toda ecuación algebraica con coeficientes complejos tiene una solución hay que recurrir al análisis complejo y, por lo tanto, a la topología.

Ecuación polinómica

Una ecuación polinómica o polinomial es una igualdad entre dos polinomios. Por ejemplo:

$x^{3}y+4x-y=5-2xy\,\!$

Forma canónica

Realizando una misma serie de transformaciones en ambos miembros de una ecuación, puede conseguirse que uno de ellos se reduzca a cero. Si además se ordenan los términos según los exponentes a los que se encuentran elevadas las incógnitas, de mayor a menor, se obtiene una expresión denominada forma canónica de la ecuación. Frecuentemente suele estudiarse a las ecuaciones polinómicas a partir de su forma canónica, es decir aquella cuyo primer miembro es un polinomio y cuyo segundo miembro es cero.

En el ejemplo dado, sumando 2xy y restando 5 en ambos miembros, y luego ordenando, obtenemos:

$x^{3}y+2xy+4x-y-5=0\,\!$

Grado

Se denomina grado de una ecuación polinomial al mayor exponente al que se encuentran elevadas las incógnitas. Por ejemplo

$2x^{3}-5x^{2}+4x+9=0\,\!$

Es una ecuación de tercer grado porque la variable x se encuentra elevada al cubo en el mayor de los casos.

Las ecuaciones polinómicas de grado n de una sola variable sobre los números reales o complejos, pueden resolverse por el método de los radicales cuando n < 5 (ya que en esos casos el grupo de Galois asociado a las raíces de la ecuación es soluble). La solución de la ecuación de segundo grado es conocida desde la antigüedad; las ecuaciones de tercer y cuarto grado se conocen desde los siglos XV y XVI, y usan el método de radicales. La solución de la ecuación de quinto grado no puede hacerse mediante el método de radicales, aunque puede escribirse en términos de la función theta de Jacobi.

Ecuación de primer grado

Se dice que una ecuación polinomial es de primer grado cuando la variable (aquí representada por la letra x) no está elevada a ninguna potencia, es decir que su exponente es 1.

Las ecuaciones de primer grado tienen la forma canónica:

$ax+b=0\,$

con a diferente de cero.

Su solución es sencilla: $\,x=-b/a$

Resolución de ecuaciones de primer grado

Las ecuaciones polinómicas de primer grado se resuelven en tres pasos: transposición, simplificación y despeje, desarrollados a continuación mediante un ejemplo.

Dada la ecuación:

$9x-9+108x-6x-92=16x+28+396\,$

Transposición

Primero se agrupan todos los monomios que incluyen la incógnita x en uno de los miembros de la ecuación, normalmente en el izquierdo; y todos los términos independientes (los que no tienen x) en el otro miembro. Podemos hacerlo teniendo en cuenta que:

Si sumamos o restamos un mismo monomio en los dos miembros, la igualdad no varía.

En términos coloquiales, decimos: si un término está sumando (como 16x en el miembro de la derecha) pasa al otro lado restando (−16x a la izquierda); y si está restando (como el −9 de la izquierda), pasa al otro lado sumando (+9 a la derecha)

La ecuación quedará entonces así:

$9x+108x-6x-16x=28+396+9+92\,$

Como puede verse, todos los términos que poseen la variable x han quedado en el primer miembro (a la izquierda del signo igual), y los que no la poseen, por ser sólo constantes numéricas, han quedado a la derecha.

Simplificación

El siguiente paso es convertir la ecuación en otra equivalente más simple y corta.

Realizamos la simplificación del primer miembro: $\,9x+108x-6x-16x=(9+108-6-16)x=95x$

Y simplificamos el segundo miembro: $\,28+396+9+92=525$

La ecuación simplificada será:

$95x=525\,$

Despeje

Ahora es cuando llegamos al objetivo final: que la incógnita quede aislada en un miembro de la igualdad. Para lo cual recordamos que:

Si multiplicamos o dividimos ambos miembros por un mismo número, la igualdad no varía.

En términos coloquiales: Para despejar la x, si un número la está multiplicando (Ej: 5x) se lo pasa al otro lado dividiendo (n/5) sin cambiar su signo. Y si un número la está dividiendo (Ej: x/2), entonces se lo pasa al otro lado multiplicando (n×2) sin cambiar su signo.

Lo que estamos haciendo en realidad es dividiendo ambos términos entre 5. Por lo tanto, el término que está multiplicado por 5, al dividirse entre 5 se anulan uno con el otro, desaparece multiplicando, mientras que en el otro lado vemos como dividimos entre 5 y el 5 permanece, aparece dividiendo, como si hubiera pasado de un lado a otro con una operación simétrica. Esta explicación con operaciones simétricas causa muchas confusiones a muchos estudiantes que pueden tener problemas para hallar la operación simétrica, por ejemplo no es evidente que 3^x = y pueda despejarse por x = log₃y. Por eso es importante recordar el principio fundamental por el que siempre que apliquemos una función inyectiva a ambos lados de una igualdad obtendremos otra igualdad.

En la ecuación debemos entonces pasar el número 95 al otro miembro y, como estaba multiplicando, lo hará dividiendo, sin cambiar de signo:

$x=525/95\,$

El ejercicio está teóricamente resuelto, ya que tenemos una igualdad en la que x equivale al número 525/95. Sin embargo, debemos simplificar.

Resolvemos la fracción (numerador dividido entre denominador) en caso de que el resultado diera exacto; si diera decimal, simplificamos la fracción y ése es el resultado.

En la ecuación, vemos que el resultado de la fracción es decimal (525:95 = 5,5263157894737)

Por tanto, simplificando, la solución es:

$x=105/19\,$

Ejemplo de problema

Pongamos el siguiente problema: el número de canicas que tengo, más tres, es igual al doble de las canicas que tengo, menos dos. ¿Cuántas canicas tengo? El primer paso para resolver este problema es expresar el enunciado como una ecuación:

$x+3=2x-2\,$

Donde x es la incógnita: ¿cuántas canicas tengo?

La ecuación se podría leer así: El número de canicas que tengo, más tres que me dan, es igual al doble de mis canicas, quitándome dos.

El enunciado está expresado, pero no podemos ver claramente cuál es el valor de x; para ello se sigue este procedimiento: Primero se pasan todos los términos que dependen de x al primer miembro y los términos independientes al segundo. Para ello tenemos en cuenta que cualquier término que se cambia de miembro cambia también de signo. Así obtenemos:

$x-2x=-2-3\,$

Que, simplificado, resulta:

$-x=-5\,$

Esta expresión nos lleva a una regla muy importante del álgebra, que dice que si modificamos igualmente ambos miembros de una ecuación, el resultado es el mismo. Esto significa que podemos sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar y radicar los dos miembros de la ecuación por el mismo número, sin que ésta sufra cambios. En este caso, si multiplicamos ambos miembros por -1 obtendremos:

$x=5\,$

El problema está resuelto.

Ecuación de segundo grado

Las ecuaciones polinómicas de segundo grado tienen la forma canónica

$ax^{2}+bx+c=0\,$

Donde a es el coeficiente del término cuadrático (aquel en que la incógnita está elevada a la potencia 2), b es el coeficiente del término lineal (el que tiene la incógnita sin exponentes, o sea que está elevada a la potencia 1), y c es el término independiente (el que no depende de la variable, o sea que está compuesto sólo por constantes o números) Todas las ecuaciones de segundo grado tienen dos soluciones, las cuales pueden coincidir. Cuando esta ecuación se plantea sobre $\scriptstyle \mathbb {C}$ siempre se tienen dos soluciones:

$x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},\quad x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

Obviamente la condición para que la ecuación tenga solución sobre los números reales $\scriptstyle \mathbb {R}$ se requiere que $\scriptstyle b^{2}\geq 4ac$ y para que tenga soluciones sobre los números racionales $\scriptstyle \mathbb {Q}$ se requiere $\scriptstyle b^{2}-4ac\in \mathbb {Q} ^{+}$.

Operaciones admisibles en una ecuación

Frecuentemente en el tratamiento de ecuaciones con números reales o complejos es necesario simplificar, reagrupar o cambiar de forma la ecuación para poder resolverla más fácilmente. Se conoce que bajo ciertas operaciones el se mantiene la igualdad y el conjunto de soluciones no cambia aunque la forma de la ecuación sea diferente. Entre las operaciones de álgebra elemental que no alteran el conjunto de soluciones están están:

1. Sumar cualquier número a ambos lados de la ecuación.
2. Restar cualquier número a ambos lados de la ecuación.
3. Dividir entre un número real diferente de cero ambos lados de la ecuación.
4. Multiplicar por cualquier número ambos lados de la ecuación.
5. Si f inyectiva se puede aplicar a cada uno de los dos miembros de la ecuación.

Otras dos operaciones respetan la igualdad pero pueden alterar el conjunto de soluciones:

1. Simplificar dividiendo factores comunes presentes en ambos lados de una ecuación. Si estos factores contienen no sólo números sino también variables esta operación debe aplicarse con cuidado porque el conjunto de soluciones puede verse reducido. Por ejemplo, la ecuación y·x = x tiene dos soluciones: y = 1 y x = 0. Si se dividen ambos lados entre "x" para simplifcarla se obtiene la ecuación y = 1, pero la segunda solución se ha perdido.
2. Si se aplica una función no inyectiva a ambos lados de una ecuación, la ecuación resultante puede no tener un conjunto de soluciones más grande que la original.

Tipos de ecuación algebraica

Una ecuación algebraica en x contiene solo expresiones algebraicas, como polinomios, expresiones racionales, radicales y otras. Una ecuación de este tipo se llama ecuación condicional si hay números en los dominios de las expresiones que no sean soluciones; por ejemplo, x^2= 9 es condicional porque el número x=4 (y otros) no es una solución. Si todo número de los dominios de las expresiones de una ecuación algebraica es una solución, la ecuación se llama identidad.

Véase también

• Ecuación lineal
• Ecuación de segundo grado
• Ecuación de tercer grado
• Ecuación de cuarto grado
• Ecuación de quinto grado
• Ecuación química
• Sistema de ecuaciones
• Álgebra elemental
• Teorema fundamental del álgebra
• Función matemática

Enlaces externos

• Wikiquote alberga frases célebres de o sobre Ecuación.
• Ecuaciones de primer grado
• Ecuaciones de segundo grado
• La ecuación de primer grado, en descartes.cnice.mec.es