Distribución de probabilidad

La distribución Normal suele conocerse como la "campana de Gauss".

En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria la probabilidad de que dicho suceso ocurra. La distribución de probabilidad está definida sobre el conjunto de todos los sucesos, cada uno de los sucesos es el rango de valores de la variable aleatoria.

La distribución de probabilidad está completamente especificada por la función de distribución, cuyo valor en cada real x es la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que x.

Definición de función de distribución

Dada una variable aleatoria $\scriptstyle X$, su función de distribución, $\scriptstyle F_{X}(x)$, es

$F_{X}(x)=P(X\leq x).$

Por simplicidad, cuando no hay lugar a confusión, suele omitirse el subíndice $\scriptstyle X$ y se escribe, simplemente, $\scriptstyle F(x)$.

Propiedades

Como consecuencia casi inmediata de la definición, la función de distribución:

• Es una función continua por la derecha.
• Es una función monótona no decreciente.

Además, cumple

$\lim _{x\to -\infty }F(x)=0$

y

$\lim _{x\to +\infty }F(x)=1$

Para dos números reales cualesquiera $a$ y $b$ tal que $(a<b)$, los sucesos $(X\leq a)$ y $(a<X\leq b)$ son mutuamente excluyentes y su unión es el suceso $(X\leq b)$, por lo que tenemos entonces que:

$P(X\leq b)=P(X\leq a)+P(a<X\leq b)$

$P(a<X\leq b)=P(X\leq b)-P(X\leq a)$

y finalmente

$P(a<X\leq b)=F(b)-F(a)$

Por lo tanto una vez conocida la función de distribución $F(x)$ para todos los valores de la variable aleatoria $x$ conoceremos completamente la distribución de probabilidad de la variable.

Para realizar cálculos es más cómodo conocer la distribución de probabilidad, y sin embargo para ver una representación gráfica de la probabilidad es más práctico el uso de la función de densidad.

Distribuciones de variable discreta

Gráfica de distribución binomial.

Se denomina distribución de variable discreta a aquella cuya función de probabilidad sólo toma valores positivos en un conjunto de valores de $X$ finito o infinito numerable. A dicha función se le llama función de masa de probabilidad. En este caso la distribución de probabilidad es la suma de la función de masa, por lo que tenemos entonces que:

$F(x)=P(X\leq x)=\sum _{k=-\infty }^{x}f(k)$

que onda

Y, tal como corresponde a la definición de distribución de probabilidad, esta expresión representa la suma de todas las probabilidades desde $-\infty$ hasta el valor $x$.

Distribuciones de variable discreta más importantes

Las distribuciones de variable discreta más importantes son las siguientes:

• Distribución binomial
• Distribución binomial negativa
• Distribución Poisson
• Distribución geométrica
• Distribución hipergeométrica
• Distribución de Bernoulli
• Distribución Rademacher, que toma el valor 1 con probabilidad ½ y el valor -1 con probabilidad ½.
• Distribución uniforme discreta, donde todos los elementos de un conjunto finito son equiprobables.

Distribuciones de variable continua

Distribución normal.

Se denomina variable continua a aquella que puede tomar cualquiera de los infinitos valores existentes dentro de un intervalo. En el caso de variable continua la distribución de probabilidad es la integral de la función de densidad, por lo que tenemos entonces que:

$F(x)=P(X\leq x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)\,dt$

Distribuciones de variable continua más importantes

Las distribuciones de variable continua más importantes son las siguientes:

• Distribución ji cuadrado
• Distribución exponencial
• Distribución t de Student
• Distribución normal
• Distribución Gamma
• Distribución Beta
• Distribución F
• Distribución uniforme (continua)

Enlaces externos

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• Wikilibros: Estadística