Serie de Fourier

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Las primeras cuatro aproximaciones para una función periódica escalonada

Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función periódica y continua a trozos (o por partes). Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinita de funciones sinusoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier que desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicó sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico.

Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Áreas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un sistema para la señal portadora del mismo. Refiérase al uso de un analizador de espectros.

Las series de Fourier tienen la forma:

\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos\frac{2n\pi}{T}t + b_n\sin\frac{2n\pi}{T}t\right]

Donde a_n \,\! y b_n \,\! se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la función f(x) \,\!

Definición[editar]

Si f(t)\, es una función (o señal) periódica y su período es T, la serie de Fourier asociada a f(t)\, es:

f(t) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos\frac{2n\pi}{T}t + b_n\sin\frac{2n\pi}{T}t\right]

Donde a_0\,, a_n\, y b_n\, son los coeficientes de Fourier que toman los valores:

 a_0 = \frac{2}{T} \int \limits_{-T/2}^{T/2}  f(t) dt, \qquad a_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2}  f(t) \cos \left( \frac{2n \pi}{T} t \right) dt, \qquad b_n=\frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) \sin \left(\frac{2n\pi}{T}t\right) dt.

Por la identidad de Euler, las fórmulas de arriba pueden expresarse también en su forma compleja:

 f(t) \sim \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n}\,e^{2\pi i\frac{n}{T}t}.

Los coeficientes ahora serían:

c_n=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t)\,e^{-2\pi i\frac {n}{T}t}\,dt.

Otra forma de definir la serie de Fourier es:

f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty\left(a_n\cos{{\omega_n}{t}} + b_n\sin{{\omega_n}{t}}\right)

donde \omega_n=n\omega y \omega=2{\pi}f=\frac{2{\pi}}{T}

siendo:

 a_0 = \frac{2}{T} \int_{t_0}^{t_0+T}  f(t) dt, \qquad a_n = \frac{2}{T} \int_{t_0}^{t_0+T}  f(t) \cos{{\omega_n}{t}} dt, \qquad b_n=\frac{2}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) \sin {{\omega_n}{t}} dt.

a esta forma de la serie de Fourier se le conoce como la serie trigonométrica de Fourier.

Teorema de Dirichlet: Convergencia a una función periódica[editar]

Supongamos que f(x) es una función periódica, continua a trozos y acotada, que en un periodo tiene un número finito de máximos y mínimos locales y un número finito de discontinuidades, de período 2p. Sean

a_n = \frac{1}{p} \int_{-p}^{p}f(x) \cos \frac{n \pi x} {p} dx,
y
b_n = \frac{1}{p} \int_{-p}^{p}f(x) \sin \frac{n \pi x} {p} dx,

entonces la serie converge a
f_p(x)=\tfrac12(f(x+)+f(x-)),

En donde f(x+)=\lim_{x \to x+}(f(x)), y f(x-)=\lim_{x \to x-}(f(x))

Historia[editar]

Las series de Fourier reciben su nombre en honor a Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), que hizo importantes contribuciones al estudio de las series trigonométricas, que previamente habían sido consideradas por Leonhard Euler, Jean le Rond d'Alembert y Daniel Bernoulli.[nb 1] Fourier introdujo las series con el propósito de resolver la ecuación [de conducción] del calor en una lámina de metal publicando sus resultados en 1807 Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides ('Memoria sobre la propagación del calor en los cuerpos sólidos'), y publicando su Théorie analytique de la chaleur ('Teoría analítica del calor') en 1822. Ideas previas en descomponer una función periódica en la suma de simples funciones de oscilación datan desde el siglo III a.C., cuando astrónomos antiguos propusieron un modelo empírico de movimiento planetario con base en epiciclo.

La ecuación del calor es una ecuación en derivadas parciales. Previamente al trabajo de Fourier, no se conocía solución alguna para la ecuación de calor en forma general, aunque se conocían soluciones particulares si la fuente de calor se comportaba de manera sencilla, en particular, si la fuente era una onda de seno o coseno. Estas soluciones simples a veces son llamadas valores propios. La idea de Fourier era modelar una fuente de calor compleja con una superposición (o combinación lineal) de simples ondas sinusoidales y para escribir la solución como una superposición de los correspondientes valores propios. A la superposición o combinación lineal se le llama Serie de Fourier.

Desde un punto de vista más actual, los resultados de Fourier son algo informales debido a la falta de precisión en la noción de la función matemática y la integración a inicios del siglo XIX. Después, Peter Gustav Lejeune Dirichlet[1] y Bernhard Riemann[2] [3] [4] expresaron los resultados de Fourier con mayor precisión y formalidad.

Aunque el motivo original era resolver la ecuación de calor, tiempo después fue obvio que se podía usar la misma técnica a un gran conjunto de problemas físicos y matemáticos, especialmente aquellos que involucraban ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, para los cuales sus soluciones únicas eran sinusoidales. Las series de Fourier tienen muchas aplicaciones en la ingeniería eléctrica, análisis de vibraciones, acústica, óptica, procesamiento de señales, retoque fotográfico, mecánica cuántica, econometría,[5] la teoría de estructuras con cascarón delgado,[6] etc.

Forma compacta[editar]

En ocasiones es más útil conocer la amplitud y la fase en términos cosinusoidales en lugar de amplitudes cosinusoidales y sinusoidal.

Otra forma de expresar la compleja forma de la serie de Fourier es:

 f(t)=A_0+\sum_{n=1}^{\infty} A_{n}\,\cos({{\omega_n}t}-\theta_n)

donde

A_0=\frac{a_0}{2}

A_n=\sqrt{a^2_n+b^2_n}

\theta_n=\tan^{-1}\frac{b_n}{a_n}

Forma exponencial[editar]

Por la identidad de Euler para la exponencial compleja, operando adecuadamente, si

C_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\,e^{-inx}\,dx

la serie de Fourier se puede expresar como la suma de dos series:

 \sum_{n=1}^{\infty} C_{-n}\,e^{-inx} + \sum_{n=0}^{\infty} C_n\,e^{inx}

En forma más compacta:

 \sum_{n=-\infty}^{\infty} C_{n}\,e^{inx}

estas ecuaciones solo son válidas cuando el periodo T=2{\pi} con \omega=1

Otra forma de expresar la forma compleja de la serie de Fourier es:

 f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n}\,e^{j{\omega_n}t}

donde

c_0=\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T} f(t)\,dt=\frac{a_0}{2}

c_n=\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T} f(t)\,e^{-j{\omega_n}t}\,dt=\frac{1}{2}(a_n-{j}{b_n})

c_{-n}=\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T} f(t)\,e^{j{\omega_n}t}\,dt=\frac{1}{2}(a_n+{j}{b_n})

|c_{n}|=\frac{1}{2}\sqrt{a^2_n+b^2_n}

Ejemplos de series de Fourier[editar]

Gráfico de una función periódica.
Animación de la suma de los 5 primeros armónicos.

Veamos un ejemplo:

f(x) = x, \quad \mathrm{para } -\pi < x < \pi,
f(x + 2\pi) = f(x), \quad \mathrm{para }   -\infty < x < \infty.

En este caso, los coeficientes de Fourier nos dan esto:

\begin{align}
a_n &{} = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x \cos(nx)\,dx = 0, \quad n \ge 0. \\
b_n &{}= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x \sin(nx)\, dx = -\frac{2}{n}\cos(n\pi) = 2 \, \frac{(-1)^{n+1}}{n}, \quad n \ge 1.\end{align}

Si la serie de Fourier converge hacia: ƒ(x) de cada punto x donde ƒ es diferenciable:


\begin{align}
f(x) &= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos\left(nx\right)+b_n\sin\left(nx\right)\right] \\
&=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx), \quad \mathrm{para} \quad x - \pi \notin 2 \pi \mathbf{Z}.
\end{align}

Ingeniería[editar]

El análisis de señales en el dominio de la frecuencia se realiza a través de las series de Fourier, por cuanto es muy común, reemplazar la variable x por ωt, resultando las componentes:

C_k = \frac{1}{T}\int_{t_1}^{t_2} f(t) e^{-j \omega k t}\, dt

Por lo tanto:

f(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} C_k e^{j \omega k t}

Aplicaciones[editar]

  • Generación de formas de onda de corriente o tensión eléctrica por medio de la superposición de sinusoides generados por osciladores eléctrónicos de amplitud variable cuyas frecuencias ya están determinadas.
  • Análisis en el comportamiento armónico de una señal.
  • Reforzamiento de señales.
  • Estudio de la respuesta en el tiempo de una variable circuital eléctrica donde la señal de entrada no es sinusoidal o cosinusoidal, mediante el uso de transformadas de Laplace y/o solución en régimen permanente sinusoidal en el dominio de la frecuencia.
  • La resolución de algunas ecuaciones diferenciales en derivadas parciales admiten soluciones particulares en forma de series de Fourier fácilmente computables, y que obtener soluciones prácticas, en la teoría de la transmisión del calor, la teoría de placas, etc.

Formulación moderna[editar]

Realmente el desarrollo en serie de Fourier se hace para funciones de cuadrado integrable, es decir, para funciones que cumplan que:

\int |f(x)|^2 dx < \infty

El conjunto de todas las funciones integrables definidas en el intervalo \scriptstyle [-\pi, \pi] se denota con \scriptstyle L^2([-\pi, \pi]). Este conjunto, tiene definido un producto interno dado por:

\langle f, g \rangle \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\overline{g(x)}\,dx.

que lo dota de estructura de espacio de Hilbert. De este modo, todas las funciones de \scriptstyle L^2([-\pi, \pi]) pueden desarrollarse en series de Fourier. Así,el conjunto \{e_n = e^{i n x}:n\in \mathbb{Z}\} es una base ortonormal del espacio \scriptstyle L^2([-\pi,\pi]). El desarrollo de Fourier se puede expresar como:

f=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \langle f,c_n \rangle e_n.

Donde c_n = \langle f,e_n \rangle son los coeficientes del desarrollo de Fourier.

Por último, la identidad de Parseval dice que dada una función f de cuadrado integrable y los coeficientes de Fourier c_n, se verifica que:

\Vert f\Vert^2=\ \langle f,f \rangle\ =2 \pi \sum_{n=-\infty}^\infty |c_n|^2.

En lenguaje técnico, podríamos decir que hay una isometría entre el espacio de funciones de cuadrado integrable y el espacio de sucesiones lineales indexadas en los enteros cuyos términos tienen cuadrados sumables.

Formulación general[editar]

Las propiedades útiles de las series de Fourier se deben principalmente a la ortogonalidad y a la propiedad de homomorfismo de las funciones ei n x.

Otras sucesiones de funciones ortogonales tienen propiedades similares, aunque algunas identidades útiles, concerniendo por ejemplo a las convoluciones, no seguirán cumpliéndose si se pierde la "propiedad de homomorfismo".

Algunos ejemplos son las secuencias de funciones de Bessel y los polinomios ortogonales. Tales sucesiones se obtienen normalmente como soluciones de una ecuación diferencial; una gran clase de tales sucesiones útiles son soluciones de los llamados problemas de Sturm-Liouville.

Referencias[editar]

  1. Lejeune-Dirichlet, P. "Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données". (In French), transl. "On the convergence of trigonometric series which serve to represent an arbitrary function between two given limits". Journal f¨ur die reine und angewandte Mathematik, Vol. 4 (1829) p. 157–169.
  2. «Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe» (en german). Habilitationschrift, Göttingen; 1854. Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, vol. 13, 1867. Published posthumously for Riemann by Richard Dedekind. Archivado desde el original el 20 de mayo de 2008. Consultado el 19 May 2008.
  3. D. Mascre, Bernhard Riemann: Posthumous Thesis on the Representation of Functions by Triginometric Series (1867). Landmark Writings in Western Mathematics 1640–1940, Ivor Grattan-Guinness (ed.); pg. 492. Elsevier, 20 May 2005.Accessed 7 Dec 2012.</
  4. Theory of Complex Functions: Readings in Mathematics, by Reinhold Remmert; pg 29. Springer, 1991. Accessed 7 Dec 2012.
  5. Nerlove, Marc; Grether, David M.; Carvalho, Jose L. (1995). Analysis of Economic Time Series. Economic Theory, Econometrics, and Mathematical Economics. Elsevier. ISBN 0-12-515751-7. 
  6. Flugge, Wilhelm (1957). Statik und Dynamik der Schalen. Berlin: Springer-Verlag. 
  1. Estos tres hicieron trabajo importante en la ecuación de onda, especialmente D'Alembert. El trabajo de Euler en esta área fue principalmenteen colaboración con Bernoulli, aunque el anterior hizo individualmente contribuciones a la teoría de ondas y vibraciones (see here, pg.s 209 & 210, ).

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]