Serie de Fourier

Las primeras cuatro aproximaciones para una funcion periódica escalonada

Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función periódica y continua a trozos (o por partes). Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinita de funciones senoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier que desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico.

Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Áreas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un sistema para la señal portadora del mismo. Refiérase al uso de un analizador de espectros.

Las series de Fourier tienen la forma:

$\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos\frac{2n\pi}{T}t + b_n\sin\frac{2n\pi}{T}t\right]$

Donde $a_n \,\!$ y $b_n \,\!$ se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la función $f(x) \,\!$

Definición

Si $f(t)\,$ es una función (o señal) periódica y su período es $T$, la serie de Fourier asociada a $f(t)\,$ es:

$f(t) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos\frac{2n\pi}{T}t + b_n\sin\frac{2n\pi}{T}t\right]$

Donde $a_0\,$ , $a_n\,$ y $b_n\,$ son los coeficientes de Fourier que toman los valores:

$a_0 = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) dt, \qquad a_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) \cos \left( \frac{2n \pi}{T} t \right) dt, \qquad b_n=\frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) \sin \left(\frac{2n\pi}{T}t\right) dt.$

Por la identidad de Euler, las fórmulas de arriba pueden expresarse también en su forma compleja:

$f(t) \sim \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n}\,e^{2\pi i\frac{n}{T}t}.$

Los coeficientes ahora serían:

$c_n=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t)\,e^{-2\pi i\frac {n}{T}t}\,dt.$

Otra forma de definir la serie de Fourier es:

$f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty\left(a_n\cos{{\omega_n}{t}} + b_n\sin{{\omega_n}{t}}\right)$

donde $\omega_n=n\omega$ y $\omega=2{\pi}f=\frac{2{\pi}}{T}$

siendo :

$a_0 = \frac{2}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) dt, \qquad a_n = \frac{2}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) \cos{{\omega_n}{t}} dt, \qquad b_n=\frac{2}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) \sin {{\omega_n}{t}} dt.$

a esta forma de la serie de Fourier se le conoce como la serie trigonométrica de Fourier.

Teorema de Dirichlet: Convergencia a una función periódica

Supongamos que f(x) es una función periódica, continua a trozos y acotada, que en un periodo tiene un número finito de máximos y mínimos locales y un número finito de discontinuidades, de período 2p. Sean

$a_n = \frac{1}{p} \int_{-p}^{p}f(x) \cos \frac{n \pi x} {p} dx,$
y
$b_n = \frac{1}{p} \int_{-p}^{p}f(x) \sin \frac{n \pi x} {p} dx,$

entonces la serie converge a
$f_p(x)=\tfrac12(f(x+)+f(x-)),$

En donde $f(x+)=\lim_{x \to x+}(f(x))$, y $f(x-)=\lim_{x \to x-}(f(x))$

Forma compacta

En ocasiones es más útil conocer la amplitud y la fase en términos cosenoidales en lugar de amplitudes cosenoidales y senoidal.

Otra forma de expresar la compleja forma de la serie de Fourier es:

$f(t)=A_0+\sum_{n=1}^{\infty} A_{n}\,\cos({{\omega_n}t}-\theta_n)$

donde

$A_0=\frac{a_0}{2}$

$A_n=\sqrt{a^2_n+b^2_n}$

$\theta_n=\tan^{-1}\frac{b_n}{a_n}$

Forma exponencial

Por la identidad de Euler para la exponencial compleja, operando adecuadamente, si

$C_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\,e^{-inx}\,dx$

la serie de Fourier se puede expresar como la suma de dos series:

$\sum_{n=1}^{\infty} C_{-n}\,e^{-inx} + \sum_{n=0}^{\infty} C_n\,e^{inx}$

En forma más compacta:

$\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_{n}\,e^{inx}$

estas ecuaciones solo son válidas cuando el periodo $T=2{\pi}$ con $\omega=1$

Otra forma de expresar la forma compleja de la serie de Fourier es:

$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n}\,e^{j{\omega_n}t}$

donde

$c_0=\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T} f(t)\,dt=\frac{a_0}{2}$

$c_n=\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T} f(t)\,e^{-j{\omega_n}t}\,dt=\frac{1}{2}(a_n-{j}{b_n})$

$c_{-n}=\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T} f(t)\,e^{j{\omega_n}t}\,dt=\frac{1}{2}(a_n+{j}{b_n})$

$|c_{n}|=\frac{1}{2}\sqrt{a^2_n+b^2_n}$

Ejemplos de series de Fourier

Grafico de una función periódica.

Animación de la suma de los 5 primeros armónicos.

Veamos un ejemplo:

$f(x) = x, \quad \mathrm{para } -\pi < x < \pi,$

$f(x + 2\pi) = f(x), \quad \mathrm{para } -\infty < x < \infty.$

En este caso, los coeficientes de Fourier nos dan esto:

$\begin{align} a_n &{} = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x \cos(nx)\,dx = 0, \quad n \ge 0. \\ b_n &{}= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x \sin(nx)\, dx = -\frac{2}{n}\cos(n\pi) = 2 \, \frac{(-1)^{n+1}}{n}, \quad n \ge 1.\end{align}$

Si la serie de Fourier converge hacia: ƒ(x) de cada punto x donde ƒ es diferenciable:

$\begin{align} f(x) &= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos\left(nx\right)+b_n\sin\left(nx\right)\right] \\ &=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx), \quad \mathrm{para} \quad x - \pi \notin 2 \pi \mathbf{Z}. \end{align}$

Ingeniería

El análisis de señales en el dominio de la frecuencia se realiza a través de las series de Fourier, por cuanto es muy común, reemplazar la variable x por ωt, resultando las componentes:

$C_k = \frac{1}{T}\int_{t_1}^{t_2} f(t) e^{-j \omega k t}\, dt$

Por lo tanto:

$f(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} C_k e^{j \omega k t}$

Aplicaciones

• Generación de formas de onda de corriente o tensión eléctrica por medio de la superposición de senoides generados por osciladores eléctrónicos de amplitud variable cuyas frecuencias ya están determinadas.
• Análisis en el comportamiento armónico de una señal.
• Reforzamiento de señales.
• Estudio de la respuesta en el tiempo de una variable circuital eléctrica donde la señal de entrada no es senoidal o cosenoidal, mediante el uso de transformadas de Laplace y/o solución en régimen permanente senoidal en el dominio de la frecuencia.
• La resolución de algunas ecuaciones diferenciales en derivadas parciales admiten soluciones particulares en forma de series de Fourier fácilmente computables, y que obtener soluciones prácticas, en la teoría de la transmisión del calor, la teoría de placas, etc.

Formulación moderna

Realmente el desarrollo en serie de Fourier se hace para funciones de cuadrado integrable, es decir, para funciones que cumplan que:

$\int |f(x)|^2 dx < \infty$

El conjunto de todas las funciones integrables definidas en el intervalo $\scriptstyle [-\pi, \pi]$ se denota con $\scriptstyle L^2([-\pi, \pi])$. Este conjunto, tiene definido un producto interno dado por:

$\langle f, g \rangle \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\overline{g(x)}\,dx.$

que lo dota de estructura de espacio de Hilbert. De este modo, que todas las funciones de $\scriptstyle L^2([-\pi, \pi])$ puedan desarrollarse en series de Fourier. Así,el conjunto de funciones exponenciales $\{e_n = e^{i n \pi x}:n\in \mathbb{Z}\}$ es una base ortonormal del espacio $\scriptstyle L^2([-\pi,\pi])$. El desarrollo de Fourier se puede expresar como:

$f=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \langle f,c_n \rangle e_n.$

Donde $c_n = \langle f,e_n \rangle$ son los coeficientes del desarrollo de Fourier.

Por último, la identidad de Parseval dice que dada una función $f$ de cuadrado integrable y los coeficientes de Fourier $c_n$, se verifica que:

$\Vert f\Vert^2=\ \langle f,f \rangle\ =2 \pi \sum_{n=-\infty}^\infty |c_n|^2.$

En lenguaje técnico, podríamos decir que hay una isometría entre el espacio de funciones de cuadrado integrable y el espacio de sucesiones lineales indexadas en los enteros cuyos términos tienen cuadrados sumables.

Formulación general

Las propiedades útiles de las series de Fourier se deben principalmente a la ortogonalidad y a la propiedad de homomorfismo de las funciones e^{i n x}.

Otras sucesiones de funciones ortogonales tienen propiedades similares, aunque algunas identidades útiles, concerniendo por ejemplo a las convoluciones, no seguirán cumpliéndose si se pierde la "propiedad de homomorfismo".

Algunos ejemplos son las secuencias de funciones de Bessel y los polinomios ortogonales. Tales sucesiones se obtienen normalmente como soluciones de una ecuación diferencial; una gran clase de tales sucesiones útiles son soluciones de los llamados problemas de Sturm-Liouville.

Véase también

• Transformada de Fourier
• Análisis armónico
• Fenómeno de Gibbs
• Identidad de Parseval

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Fourier Series» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.