Identidad de Parseval

En análisis matemático, la identidad de Parseval, también conocida como la igualdad de Parseval, es una generalización del teorema de Pitágoras aplicado a los espacios de Hilbert separables. Si B es una base ortonormal en un espacio vectorial, entonces

$\|x\|^2=\langle x,x\rangle=\sum_{v\in B}\left|\langle x,v\rangle\right|^2.$

El nombre procede de la relación de Parseval para las series de Fourier, que es un caso especial.

La identidad de Parseval se puede demostrar mediante el teorema de Riesz-Fischer.

Informalmente podemos expresar la identidad de Parseval aplicada a las series de Fourier, tanto en foma compleja como real.

Forma compleja (o exponencial):

$\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}\left|f(x)\right|^2 \mathrm dx = \sum_{n=-\infty}^\infty |c_n|^2$

Forma real (o trigonométrica):

$\frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2}\left|f(x)\right|^2 \mathrm dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n^2 + b_n^2)$

Siendo $T$ el periodo y $c_n$, $a_n$, $b_n$ los coeficientes de Fourier complejo y reales respectivamente.

Véase también

• Serie de Fourier
• Desigualdad de Bessel

Referencias

• Johnson & Riess, Numerical Analysis. ISBN 0-201-10392-3.