Identidad de Parseval

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En análisis matemático, la identidad de Parseval, también conocida como la igualdad de Parseval, es una generalización del teorema de Pitágoras aplicado a los espacios de Hilbert separables. Si B es una base ortonormal en un espacio vectorial, entonces

\|x\|^2=\langle x,x\rangle=\sum_{v\in B}\left|\langle x,v\rangle\right|^2.

El nombre procede de la relación de Parseval para las series de Fourier, que es un caso especial.

La identidad de Parseval se puede demostrar mediante el teorema de Riesz-Fischer.

Relación con series de Fourier[editar]

Informalmente podemos expresar la identidad de Parseval aplicada a las series de Fourier, tanto en forma compleja como real.

Forma compleja (o exponencial):

 \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}\left|f(x)\right|^2 \mathrm dx = \sum_{n=-\infty}^\infty |c_n|^2

Forma real (o trigonométrica):

 \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2}\left|f(x)\right|^2 \mathrm dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n^2 + b_n^2)

Siendo  T el periodo y  c_n ,  a_n ,  b_n los coeficientes de Fourier complejos y reales respectivamente.

Véase también[editar]

Referencias[editar]