Paralelogramo

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Los cuatro tipos de paralelogramo. En el sentido de las agujas del reloj: cuadrado, rombo, romboide y rectángulo. El cuadrado y el rectángulo son paralelogramos rectángulos, mientras que los otros dos son paralelogramos no rectángulos.

Un paralelogramo es un tipo especial de cuadrilátero (un polígono formado por cuatro lados) cuyos lados opuestos son iguales y paralelos dos a dos.

Clasificación[editar]

Los paralelogramos se clasifican en:

  • Paralelogramos rectángulos, son aquellos cuyos ángulos internos son todos ángulos rectos. En esta clasificación se incluyen:
    • El cuadrado, que tiene todos sus lados de igual longitud.
    • El rectángulo, que tiene sus lados opuestos de igual longitud.
  • Paralelogramos no rectángulos, son aquellos que tienen dos ángulos internos agudos y dos ángulos internos obtusos. En esta clasificación se incluyen:
    • El rombo, que tiene todos sus lados de igual longitud, y dos pares de ángulos iguales.
    • El romboide, que tiene los lados opuestos de igual longitud y dos pares de ángulos iguales.

Propiedades[editar]

Conjunto y subconjuntos de la familia de los paralelogramos.Todo lo que no sea cuadrado, rectángulo o rombo es denominado romboide (zona gris).

El conjunto de los paralelogramos reúne en sí a varios subconjuntos de figuras geométricas, todas ellas con lados opuestos iguales y paralelos, por ejemplo los romboides, los rombos, los cuadrados y los rectángulos son todos subconjuntos pertenecientes al conjunto de los paralelogramos. El hecho de que varias figuras con algunas características distintas sean parte de los paralelogramos hace un poco más complejo el mencionar sus propiedades, puesto que existen propiedades que son comunes a toda la familia de paralelogramos, por ejemplo «lados opuestos iguales y paralelos», pero otras propiedades como ser «ejes de simetría de reflexión» pueden ser diferentes para cada subfamilia de paralelogramos.

Por el motivo anterior se mencionarán en primer término, las propiedades comunes a todos los paralelogramos (de cualquier subclase), luego algunas de las propiedades particulares que diferencian a las distintas clases o figuras de la familia, y finalmente algunas propiedades métricas.

Propiedades comunes a todo paralelogramo[editar]

  • Todo paralelogramo tiene cuatro vértices y cuatro lados (es un subconjunto de los cuadriláteros).
  • Los lados opuestos de un paralelogramo son paralelos (por definición), por lo cual nunca se intersecan.
  • Los lados opuestos de un paralelogramo son de igual longitud, (congruentes).
  • Los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales en medida.
  • Los ángulos de dos vértices contiguos cualesquiera son suplementarios (suman 180 °).
  • La suma de los ángulos interiores de todo paralelogramo es siempre igual a 360 °.
  • El área de un paralelogramo es el doble del área de un triángulo formado por cualquiera de sus diagonales y los lados contiguos de la figura.
  • El área de un paralelogramo es igual a la magnitud (módulo) del producto vectorial[1] de dos lados contiguos, considerados como vectores.[2]
  • Todos los paralelogramos son convexos.[3]
  • Cualquier recta secante coplanar corta al paralelogramos en dos y solo dos de sus lados.
  • Las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sí.
  • El llamado «centro» del paralelogramo se encuentra en el punto en que se bisecan sus dos diagonales.
  • El «centro» del paralelogramo es también el baricentro del mismo.[4]
  • Cualquier recta coplanar que pase por el «centro» de un paralelogramo divide a su área en dos partes iguales, o en dos trapecios congruentes.[5]
  • Cualquier recta coplanar que pase por el «baricentro»[4] de un paralelogramo es también «transversal de gravedad» del mismo.
  • Cualquier transformación afín no degenerada transforma un paralelogramo en otro paralelogramo.
  • Existe un número infinito de transformaciones afines que transforman a un paralelogramo dado en un cuadrado.

Propiedades particulares de distintos paralelogramos[editar]

  • El paralelogramo «cuadrado», tiene simetría de rotación de orden 4 (90 °) grupo D4.
  • Los paralelogramos «romboide», «rombo» y «rectángulo», tiene simetría de rotación de orden 2 (180 °) grupo D2.
  • Si no tiene ningún eje de simetría de reflexión, entonces es un paralelogramo «romboide».
  • Si tiene 2 ejes de simetría de reflexión diagonales, entonces es un paralelogramo «rombo».
  • Si tiene 2 ejes de simetría de reflexión perpendiculares a sus lados, entonces es un paralelogramo «rectángulo».
  • Si tiene 4 ejes de simetría de reflexión, entonces es un paralelogramo «cuadrado».

Algunas propiedades métricas comunes[editar]

  • El perímetro de un paralelogramo es 2 (a + b), donde a y b son las longitudes de dos lados contiguos cualquiera.
  • La suma de los cuadrados de los lados es igual a la suma de los cuadrados de las diagonales (véase la ley del paralelogramo).
  • Para calcular el área de un paralelogramo, se puede considerar como una figura compuesta por dos triángulos congruentes y un rectángulo, trazando alturas de los vértices de los ángulos obtusos.

Fórmulas[editar]

Parallelogram measures.svg
Fórmulas del paralelogramo
Área A \, = \, a \cdot h_a = b \cdot h_b = \, \left| \left|\,\overrightarrow{AB} \, \times \, \overrightarrow{AD}\,\right| \right|   [1]

A \, = \, a \cdot b \cdot \sin\alpha = a \cdot b \cdot \sin\beta = \frac {e \cdot f \cdot \sin \theta}{2}

Altura de a h_a \, = \, b \cdot \sin\alpha = b \cdot \sin\beta = \frac{A}{a}
Altura de b h_b \, = \, a \cdot \sin\alpha = a \cdot \sin\beta = \frac{A}{b}
Diagonales

(ley de cosenos)

f = \sqrt{ a^2+b^2-2 \cdot a \cdot b \cdot \cos (\alpha) }

e = \sqrt{ a^2+b^2+2 \cdot a \cdot b \cdot \cos (\alpha) }

Ángulos \alpha = \gamma \;\;\;\;\; \beta = \delta \;\;\;\;\; \beta = 180^\circ - \alpha

Ley del paralelogramo[editar]

Los cuatro lados de un paralelogramo (AB, BC, CD y DA),
los cuatro vértices (A, B, C y D) y sus dos diagonales (AC y BD).

Existe una ley geométrica que relaciona los lados de un paralelogramo con sus diagonales, llamada ley del paralelogramo. Ésta dice que la suma de los cuadrados de las longitudes de los cuatro lados de un paralelogramo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de las dos diagonales. En notación matemática, se representa mediante la siguiente fórmula:

(AB)^2+(BC)^2+(CD)^2+(DA)^2=(AC)^2+(BD)^2.\,

donde A, B, C, y D son los vértices del paralelogramo.

Puesto que los lados son iguales dos a dos, la fórmula suele representarse simplificada:

2\cdot((AB)^2+(BC)^2) = 2\cdot((CD)^2+(DA)^2)=(AC)^2+(BD)^2.\,

Véase también[editar]

Notas y referencias[editar]

  1. a b Siendo rigurosos, se sabe que el producto vectorial es una operación inválida para espacios de dos dimensiones ℝ2, pero siempre podemos imaginar a las figuras geométricas bidimensionales planas, como embebidas en un espacio euclidiano tridimensional ℝ3, ubicadas en un plano horizontal de cota cero, aun así el resultado de dicho producto sería un vector perpendicular al plano de la figura, es por esta razón que se dice que: «el área de un paralelogramo es igual solo al valor absoluto de la magnitud (o norma) de dicho vector y no al vector mismo».
  2. Puede plantearse que los vértices están en ℝ3
  3. Convexidad: El segmento de recta que reúne a cualquier par de puntos de un paralelogramo está siempre totalmente incluido en el mismo.
  4. a b El centro de un paralelogramo coincide con su baricentro, si y solo si su densidad es uniforme.
  5. Fácil de comprobar gráficamente

Enlaces externos[editar]