Cuadrilátero

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a: navegación, búsqueda
Clases de cuadriláteros convexos.

Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados. Los cuadriláteros pueden tener distintas formas, pero todos ellos tienen cuatro vértices y dos diagonales, y la suma de sus ángulos internos siempre da como resultado 360°.

Todos los cuadriláteros son cuadrángulos, ya que esta definición se aplica a los polígonos de cuatro ángulos.

Elementos y propiedades[editar]

Los componentes de un cuadrilátero son los siguientes:

  • 4 vértices: puntos de intersección de los lados que conforman el cuadrilátero.
  • 4 lados: segmentos limitados por dos vértices contiguos.
  • 2 diagonales: segmentos cuyos extremos son dos vértices no contiguos.
  • 4 ángulos interiores: conformados por dos lados y un vértice común.
  • 4 ángulos exteriores: prolongación de los lados.
  • En todo cuadrilátero convexo inscrito en una circunferencia, los ángulos opuestos son suplementarios.
  • Si un cuadritátero es cóncavo una diagonal está en el interior de la figura y la otra, en el exterior de la misma. Se intersecan en el exterior al prolongar la interior.
  • La suma de los ángulos exteriores de un cuadrilátero cualquiera es 360º o 2π radianes. [1]
  • Sea ABCD un cuadrilátero arbitrario, K, L, M, N los centros de gravedad de los triángulos ABC, BCD, CDA, DAB respectivamenete. Entonces la rectas que unen los puntos medios de los lados opuestos del cuadrilátero ABCD se cortan en el mismo punto de intersección de las rectas que unen los lados opuestos del cuadrilátero KLMN.
  • Si sus diagonales parten a un cuadrilátero en cuatro triángulos de igual perímetro, el cuadrilátero es un rombo.[2]

Con triángulo y topología[editar]

Se considera un vértice del triángulo ABC, para el caso el vértice A; de él se traza un rayo que corta el lado opuesto. Sobre el rayo se considera un punto P, en el exterior del triángulo, luego P se une con los otros vértices de triángulo con segmentos. Los puntos A,B,P,C son vértices de un cuadrilátero convexo. Si el punto P se sitúa en el interior del triangulo, al unirlos con los puntos B y C, se obtienen AB, BP, PA, CA lados de un cuadrilátero cóncavo [3] .

Teoremas con epónimos[editar]

  • De Bretscneider
  • de Tolomeo
  • de Pompeiu
  • generalizo de Tolomeo

Teorema de Wittenbauer[editar]

Previamente, se trisecan cada uno de los lados de un cuadrilátero; los segmentos que unen los puntos de trisección consecutivos forman un octógono. Al prolongar los lados del octógono, que no están en los lados del cuadrilátero, se intersecan en cuatro puntos que son vértices de un paralelogramo.[4]

Clasificación de los cuadriláteros convexos[editar]

Deltoides.

Los cuadriláteros se clasifican según el paralelismo[5] de sus lados:

1. Paralelogramo: sus lados opuestos son paralelos.Los dos pares de lados opuestos son paralelos

  • Cuadrado todos sus lados son iguales, todos sus angulos interiores son rectos, sus diagonales son iguales y perpendiculares entre si. Son bisectrices.
  • Rombo todos sus lados son iguales, sus angulos interiores no son rectos, son iguales los opuestos, agudos y obtusos, sus diagonales son distintas (mayor y menor) y perpendiculares entre sí, son bisectrises, su circunferencia es inscrita
  • Rectángulo sus lados son iguales dos a dos (los paralelos), todos sus angulos interiores son rectos, todas sus diagonales son iguales pero no son perpendiculares entre si y su circunferencia es circunscrita.
  • Romboide sus lados son iguales dos a dos (los paralelos),

2. Trapecios: solo dos de sus lados son paralelos; los otros dos no. Sólo un par de lados opuestos son paralelos

3. Trapezoide: los lados no son paralelos. Ningún par de lados opuestos son paralelos.

Taxonomía de los cuadriláteros[editar]

Cuadrelateros.svg Cuadrilátero Cuadrilátero complejo Cuadrilátero simple Cuadrilátero cóncavo Cuadrilátero convexo Trapecio (geometría) Cuadrilátero cíclico Cuadrilátero tangencial Trapecio isósceles Trapecio rectángulo Trapecio tres lados iguales Cuadrilátero bicentrico Romboide Rectángulo Cuadrado Deltoide Rombo
Acerca de esta imagen

En el gráfico ilustrativo de la taxonomía de los cuadriláteros se pasa de las definiciones más generales a las más específicas siguiendo el sentido de las flechas.

Así se parte de un cuadrilátero definido como un polígono cerrado de cuatro lados, sin más restricciones, para diferenciar los cuadriláteros compuestos de los simples.

En un cuadrilátero complejo, dos de sus lados se cortan. En uno simple los lados no se cruzan.

Los cuadriláteros simples se dividen en:

  1. Cuadrilátero cíclico, si se puede trazar una circunferencia que pase por sus vértices.
  2. Cuadrilátero tangencial, si se puede trazar una circunferencia tangente a cada uno de sus lados.
  3. Trapecios, si tienen dos lados paralelos. Se diferencian:
    1. Romboide, como caso más general de paralelogramo, si los lados son paralelos dos a dos.
    2. Trapecio rectángulo, que tiene un lado perpendicular a sus bases.
    3. Trapecio isósceles, cuyos lados no paralelos son de igual medida. Este trapecio también es cíclico.

A un cuadrilátero que al mismo tiempo sea cíclico y tangencial se le denomina cuadrilátero bicéntrico. El deltoide es tangencial con dos pares de lados iguales.

Un caso particular de trapecio isósceles es cuando la longitud de una de las bases es igual que la de sus lados, por lo cual se configura un trapecio de tres lados iguales.

El rectángulo es un cuadrilátero que simultáneamente cumple las características de:

  • Paralelogramo, al ser paralelos sus lados opuestos.
  • Trapecio rectángulo, porque los lados son perpendiculares a las bases.
  • Trapecio isósceles, por ser de igual longitud los lados que no constituyen las bases.

Del mismo modo se puede verificar que el rombo es un deltoide paralelogramo, pues cumple las características de ambos.

Por último, el cuadrado puede considerarse rombo, rectángulo, con lados iguales y su centro es también centro de simetría.


  • Cuadrángulo completo es una figura compuesta de cuatro puntos ( los vértices del cuadrángulo)tres de los cuales no son colineales y de seis rectas, que unen estos puntos a pares, es decir los lados del cuadrángulo [6]

Fórmulas[editar]

Los cuatro lados de un cuadrilátero: a, b, c, d ;
los cuatro vértices: A, B, C, D ;
las dos diagonales: e, f.
  • La suma de los ángulos internos es igual a 360°:
\alpha+\beta+\gamma+\delta=360^\circ
  • Si las diagonales son perpendiculares, ocurre la relación siguiente:
\theta = 90^\circ \Longleftrightarrow a^2+c^2 = b^2+d^2
  • El área de un cuadrilátero se puede calcular mediante cualquiera de estas seis fórmulas:
A=\frac {e f \sin \theta}{2}
A=\frac {a d \sin \alpha + b c \sin \gamma}{2} = \frac {a b \sin \beta + c d \sin \delta}{2}
A=\frac{1}{4}\left(b^2+d^2-a^2-c^2\right) \tan \theta
A=\frac{1}{4}\sqrt{4e^2f^2-\left(b^2+d^2-a^2-c^2\right)^2}
A=\frac{1}{2}\sqrt{|\vec e|^2 |\vec f|^2 - (\vec e \cdot \vec f)^2}

Notación[editar]

AB = a, BC = b, CD = c DA = d; lados
AC = x BD = y las diagonales
M, N puntos medios de AC y BD respectivamente
p semiperímetro
H altura
Bm base media
R radio de circunferencia inscrita
r radio de crncunferencia inscrita
S área

Fórmulas[editar]

1) a2 + b2 + c2 + d = x2 + y2 + MN2 . [7]
2) S = a la raíz cuadrada de (p-a)(p-b)(p-c)(p-d)es el área de un cuadrilátero inscrito [8]
3) S = senφ por la raíz cuadrada de abcd es el área de un cuadrilátero circunscrito, donde 2φ es la suma de dos ángulos opuestos [9]

Véase también[editar]

Textos de consulta[editar]

  1. Nichols: "geometría moderna"
  2. G. M. Bruño: "Geometría superior"
  3. Proposición constructiva del editor, usando los conceptos topológicos de exterior e interior
  4. Donaire Peña: Formas y números ISBN 978-612-45279-9-9
  5. Se toman en cuenta los tres casos de pares de lados opuestos: cero, uno o dos pares de lados opuestos paralelos
  6. Ayres: "Geometría proyectiva"
  7. Los datos y notaciones se hallan en "Formulario de ciencias Cerebrito" ISBN 978-612-4005-36-7
  8. G. M. Bruño: "Geometría superior"
  9. G.M. Bruño: la misma obra ya referida

Enlaces externos[editar]