Cuadrilátero

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Clases de cuadriláteros convexos.

Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados. Los cuadriláteros pueden tener distintas formas, pero todos ellos tienen cuatro vértices y dos diagonales, y la suma de sus ángulos internos siempre es 360°.

Un cuadrilátero se llama convexo si se encuentra en un mismo semiplano respecto a la recta que contiene cualquiera de sus lados. Los segmentos que unen los vértices opuestos del cuadrilátero se denominan diagonales.[1]

Todos los cuadriláteros son cuadrángulos, ya que esta definición se aplica a los polígonos de cuatro ángulos.

Propiedades[editar]

  • Las diagonales de un polígono convexo se cortan; en otro caso no se intersecan las diagonales.
  • La suma de los ángulos de un cuadrilátero convexo es 360º o 2π radianes.
  • Todo cuadrilátero convexo puede expresarse como la unión de dos triángulos con lado común una de la diagonales.
  • Un segmento que pasa por la intersección de las diagonales de un cuadrilátero y une dos lados opuestos deteremina dos cuadriláteros con un lado común.[2]
  • En un cuadrilátero inscrito en una circunferencia la suma de sus ángulos opuestos es igual a 180º.
  • Sea ABCD un cuadrilátero inscrito, AB su diámetro, entonces las proyecciones de sus lados AD y BC sobre la recta CD son iguales.
  • El área de un cuadrilátero inscrito se obtiene con la fórmula  A = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}  donde a, b, c, d son los lados y p es el semiperímetro.
  • Si 2α es la suma de dos ángulos opuestos de un cuadrilátero circunscrito, A su área, a,b, c, d sus lados entonces cabe la fórmula A2 = (abcd)sen2α. [3]
  • Si las diagonales de un cuadrilátero convexo lo divide en cuatro triángulos y los radios de la circunferencias en estos triángulos son iguales, entonces dicho cuadrilátero es un rombo.
  • Si se unen con cuatro segmentos los puntos medios de todos los lados de un cuadrilátero, entonces dichos segmentos forman un paralelogramo.
  • Si en el cuadrilátero ABCD los radios de las circunferencias inscritas en los triángulos ABC, BCD, CDA, DAB son iguales, entonces dicho cuadrilátero es un rectángulo.
  • Si las diagonales de un cuadrilátero lo dividen en cuatro triángulos de igual perímetro, entonces el cuadrilátero original es un rombo. [4]
  • Si un cuadrilátero está inscrito entonces la suma de sus ángulos opuestos es 180º.
  • Si un cuadrilátero está circunscrito entonces la suma de sus lados opuestos con iguales.  AB + CD = BC + DA [5] .
  • Para un cuadrilátero convexo se cumple  a^2+b^2+c^2+d^2 = d_1^2+d_2^2+4m^2 donde a, b, c, d son los lados; d_1,  d_2 ,las diagonales y m, la longitud del segmento que une los puntos medios de las diagonales.
  • También se verifica:  d_1^2+d_2^2 = m_1^2 + m_2^2 donde  d_1, d_2  son las diagonales y  m_1, m_2  son los segmentos que unen los puntos medios de lados opuestos. [6] .

Elementos de un cuadrilátero[editar]

Los elementos de un cuadrilátero son los siguientes:

  • 4 vértices: puntos de intersección de los lados que conforman el cuadrilátero.
  • 4 lados: segmentos que unen los vértices contiguos.
  • 2 diagonales: segmentos cuyos extremos son dos vértices no contiguos.
  • 4 ángulos exteriores: el determinado por la prolongación de uno de los lados sobre un vértice y el contiguo en el mismo vértice.

Clasificación de los cuadriláteros[editar]

Deltoides

Los cuadriláteros se clasifican según el paralelismo de sus lados, sus longitudes y sus ángulos interiores:

1. Paralelogramo: sus lados opuestos son paralelos.

  • Cuadrado todos sus lados son iguales, todos sus ángulos interiores son rectos, sus diagonales son iguales y perpendiculares entre si. Son bisectrices.
  • Rombo todos sus lados son iguales, sus ángulos interiores no son rectos, son iguales los opuestos, agudos y obtusos, sus diagonales son distintas (mayor y menor) y perpendiculares entre sí, son bisectrices, su circunferencia es inscrita.
  • Rectángulo sus lados son iguales dos a dos (los paralelos), todos sus ángulos interiores son rectos, todas sus diagonales son iguales pero no son perpendiculares entre si y su circunferencia es circunscrita.
  • Romboide sus lados son iguales dos a dos (dos lados menores iguales y dos lados mayores iguales).

2. Trapecios: solo dos de sus lados son paralelos; los otros dos no.

  • Trapecio rectángulo es el que tiene un lado perpendicular a sus bases. Tiene dos ángulos internos rectos, uno agudo y otro obtuso.
  • Trapecio isósceles es el que tiene los lados no paralelos de igual medida. Tiene dos ángulos internos agudos y dos obtusos, que son iguales entre sí.Las diagonales son congruentes. La suma de los ángulos opuestos es 180°.
  • Trapecio escaleno es el que no es isósceles ni rectángulo, la medida de sus lados da como resultado medidas diferentes. Sus cuatro ángulos internos poseen diferentes medidas.

3. Trapezoide: es un cuadrilatero convexo en el cual ningun par de lados opuestos es paralelo.

Taxonomía de los cuadriláteros[editar]

Cuadriáteros 01.svg Cuadrilátero Cuadrilátero complejo Cuadrilátero simple Cuadrilátero cóncavo Cuadrilátero convexo Trapecio (geometría) Cuadrilátero cíclico Cuadrilátero tangencial Trapecio isósceles Trapecio rectángulo Trapecio tres lados iguales Cuadrilátero bicentrico Romboide Rectángulo Cuadrado Deltoide Rombo
Acerca de esta imagen

En el gráfico ilustrativo de la taxonomía de los cuadriláteros se pasa de las definiciones más generales a las más específicas siguiendo el sentido de las flechas.

Así se parte de un cuadrilátero definido como un polígono cerrado de cuatro lados, sin más restricciones, para diferenciar los cuadriláteros compuestos de los simples.

En un cuadrilátero complejo, dos de sus lados se cortan. En uno simple los lados no se cruzan.

Los cuadriláteros simples se dividen en:

  1. Cuadrilátero cíclico, si se puede trazar una circunferencia que pase por sus vértices.
  2. Cuadrilátero tangencial, si se puede trazar una circunferencia tangente a cada uno de sus lados.
  3. Trapecios, si tienen dos lados paralelos. Se diferencian:
    1. Romboide, como caso más general de paralelogramo, si los lados son paralelos dos a dos.
    2. Trapecio rectángulo, que tiene un lado perpendicular a sus bases.
    3. Trapecio isósceles, cuyos lados no paralelos son de igual medida. Este trapecio también es cíclico.

A un cuadrilátero que al mismo tiempo sea cíclico y tangencial se le denomina cuadrilátero bicéntrico. El deltoide es tangencial con dos pares de lados iguales.

Un caso particular de trapecio isósceles es cuando la longitud de una de las bases es igual que la de sus lados, por lo cual se configura un trapecio de tres lados iguales.

El rectángulo es un cuadrilátero que simultáneamente cumple las características de:

  • Paralelogramo, al ser paralelos sus lados opuestos.
  • Trapecio rectángulo, porque los lados son perpendiculares a las bases.
  • Trapecio isósceles, por ser de igual longitud los lados que no constituyen las bases.

Del mismo modo se puede verificar que el rombo es un deltoide paralelogramo, pues cumple las características de ambos.

Por último, el cuadrado puede considerarse rombo, rectángulo, con lados iguales y bicéntrico.


Fórmulas[editar]

Los cuatro lados de un cuadrilátero: a, b, c, d ;
los cuatro vértices: A, B, C, D ;
las dos diagonales: e, f.
  • La suma de los ángulos internos es igual a 360°:
\alpha+\beta+\gamma+\delta=360^\circ
  • Si las diagonales son perpendiculares, ocurre la relación siguiente:
\theta = 90^\circ \Longleftrightarrow a^2+c^2 = b^2+d^2
  • El área de un cuadrilátero se puede calcular mediante cualquiera de estas siete fórmulas:
A=\frac {e f \sin \theta}{2}
A=\frac {a d \sin \alpha + b c \sin \gamma}{2} = \frac {a b \sin \beta + c d \sin \delta}{2}
A=\frac{1}{4}\left(b^2+d^2-a^2-c^2\right) \tan \theta
A=\frac{1}{4}\sqrt{4e^2f^2-\left(b^2+d^2-a^2-c^2\right)^2}
A=\frac{1}{2}\sqrt{|\vec e|^2 |\vec f|^2 - (\vec e \cdot \vec f)^2}

A=\tfrac{1}{2}ad\cdot\sin{\alpha}+\tfrac{1}{4}\sqrt{4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2-d^2+2ad\cdot\cos{\alpha})^2} (para un cuadrilátero con concavidad en C cambiar el primer signo + por -).

Cuadriláteros inscriptibles[editar]

d_1d_2 = ac + be
\frac{d_1}{d_2} = \frac{ad+bc}{ab+cd}
d_1 = \sqrt{\frac{(ad+bc)(ac+bd)}{ab+cd}}
d_2 = \sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc}}

[7]

Teorema de Arquímedes-Faure[editar]

Sea el cuadrilátero inscrito de lados a,b,c,d; de diagonales perpendiculares que al intersecarse determinan los segmentos m,n en uno de ellos y p, q en el otro, R radio de la circunferencia circunscrita. En tal caso son válidas las igualdades:

a^2+c^2 = b^2+d^2 = 4R^2
 m^2+n^2+p^2+q^2 = 4R^2

[8]

Referencia[editar]

  1. Keedy- Nelson. geometría. una moderna introducción. Adisson Wesley Publishing Co.
  2. Michel Helfgott. Geometría plana. Escuela Activa. S.A.
  3. G. M. Bruño Geometría superior
  4. G.M. Bruño. Op. cit.
  5. M. García Ardura. Problemas gráficos y numéricos de Geometría. Madrid
  6. . García Ardura. Obra citada.
  7. García Ardura Op. cit.
  8. Heddy Ilasaca.Formulario de Matemáticas y Ciencia

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]